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Mouvement brownien

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Mouvement brownien d'une particule.
Simulation de mouvement brownien pour cinq particules (jaunes) qui entrent en collision avec un lot de 800 particules. Les cinq chemins bleus représentent leur trajet aléatoire dans le fluide.

Lemouvement brownien, ouprocessus de Wiener, est une description mathématique du mouvementaléatoire d'une « grosse » particule immergée dans un liquide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que deschocs avec les « petites » molécules du fluide environnant. Il en résulte un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a été décrit pour la première fois en1827 par le botanisteRobert Brown en observant les mouvements spontanés de fines particules[a] éjectées par des grains depollen deClarkia pulchella ensuspension, puis de diverses autres plantes[1].

La description physique la plus élémentaire du phénomène est la suivante :

  • entre deux chocs, la grosse particule se déplace en ligne droite avec une vitesse constante ;
  • la grosse particule est accélérée lorsqu'elle rencontre unemolécule de fluide ou une paroi.

Ce mouvement permet de décrire avec succès le comportementthermodynamique desgaz (théorie cinétique des gaz), ainsi que le phénomène dediffusion. Il est aussi très utilisé dans des modèles demathématiques financières.

Aspects historiques

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Le philosophe et poète latinLucrèce (60 av. J.-C.) donne une remarquable description du mouvement des particules selon les principes d'Épicure dans son œuvreDe la nature des choses :

« [2,80] Si tu penses que les atomes, principes des choses, peuvent trouver le repos et dans ce repos engendrer toujours de nouveaux mouvements, tu te trompes et t'égares loin de la vérité. Puisqu'ils errent dans le vide, il faut qu'ils soient tous emportés, soit par leur pesanteur propre, soit par le choc d'un autre corps. Car s'il leur arrive dans leur agitation de se rencontrer avec choc, aussitôt ils rebondissent en sens opposés : ce qui n'a rien d'étonnant puisqu'ils sont des corps très durs, pesants, denses, et que rien derrière eux ne les arrête. Et pour mieux comprendre comment s'agitent sans fin [2,90] tous les éléments de la matière, souviens-toi qu'il n'y a dans l'univers entier aucun fond ni aucun lieu où puissent s'arrêter les atomes, puisque l'espace sans limite ni mesure est infini en tous sens, ainsi que je l'ai montré abondamment avec la plus sûre doctrine. Puisqu'il en est ainsi, il ne peut y avoir aucun repos pour les atomes à travers le vide immense ; au contraire agités d'un mouvement continuel et divers, ils se heurtent, puis rebondissent, les uns à de grandes distances, les autres faiblement, et s'éloignent peu. »

Mouvement de sphères (20 nm de diamètre) de latex fluorescentes dans de l'eau.

À l'été 1827, lenaturaliste écossaisRobert Brown aperçut dans le fluide situé à l’intérieur des grains de pollen de laClarkia pulchella, de très petites particules agitées de mouvements apparemment chaotiques et non pas les grains de pollen eux-mêmes comme souvent mentionné. Brown n'est pas exactement le premier à avoir fait cette observation. Il signale lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l’existence d’un tel mouvement (en lien avec les théoriesvitalistes de l'époque). Parmi ceux-ci, certains l’avaient effectivement décrit. On peut mentionner en particulier l’abbéJohn Turberville Needham (1713-1781), célèbre à son époque pour sa grande maîtrise du microscope, qui attribua ce mouvement à une activité vitale.

La réalité des observations de Brown a été discutée tout au long duXXe siècle. Compte tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait, certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques micromètres au plus. Les expériences ont été refaites par l’Anglais Brian Ford au début des années 1990, avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les plus semblables possibles[2]. Le mouvement a bien été observé dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown (et justifie le nom de Mouvement Brownien).

En 1900,Louis Bachelier propose un premiermodèle mathématique du mouvement brownien et l'applique à lafinance.

Reproduction d'un dessin de Perrin dansMouvement brownien et réalité moléculaire. Sont représentées ici trois trajectoires de particules de mastic d'environ 1 µm de diamètre. Les positions successives des particules, pointées toutes les 30 secondes, sont reliées par des segments.

En 1905,Albert Einstein donne une description quantitative du mouvement brownien et indique notamment que des mesures faites sur le mouvement permettent d'en déduire leur dimension moléculaire.Jean Perrin réalise ce programme et publie en 1909 une valeur dunombre d'Avogadro, ce qui lui vaut un prix Nobel en 1926. Il décrit également l'extrême irrégularité des trajectoires qui n'ont de tangente en aucun point. On peut trouver uncélèbre dessin de Perrin d'observations de particules.

« C’est un cas où il est vraiment naturel de penser à ces fonctions continues sans dérivées que les mathématiciens ont imaginées, et que l’on regardait à tort comme de simples curiosités mathématiques, puisque l’expérience peut les suggérer. »

— Jean Perrin

Dans cette même période, lephysicien françaisPaul Langevin développe une théorie du mouvement brownien suivant sa propre approche (1908).

Norbert Wiener donne une définition mathématique en 1923 en construisant une mesure de probabilité sur l'espace des fonctions continues réelles. Il étudie, de manière mathématique, la continuité et non-dérivabilité des trajectoires du mouvement brownien. Il définit également l'intégrale de Wiener (l'intégrale par rapport au mouvement brownien).

En 1933,Paul Lévy démontre que le mouvement brownien est un cas particulier demartingale continue, notion inventée parJean Ville en 1933, celui où le carré de ce mouvement soustrait de sa valeur temps reste une martingale. Il démontre également que ce cas particulier est le seul parmi les martingales à avoir ces deux propriétés. Ce faisant, il donne la définition du mouvement brownien, c'est-à-dire ses conditions nécessaires et suffisantes. En 1948, il publie le premier grand ouvrage sur le mouvement brownienProcessus stochastiques et mouvement brownien. Il apporte alors de nombreux résultats.

Depuis, des études fines sur le mouvement brownien ont été réalisées par de nombreux auteurs. CitonsVolker Strassen ainsi queKiyoshi Itō, lequel développe uncalcul différentiel spécifique au mouvement brownien : lecalcul stochastique.

Plus récemment,David Baker etMarc Yor ont démontré, à partir du processusCarr-Ewald-Xiao décrit en 2008, que les descriptions de processus aléatoires temporels et continus, en particulier les flux financiers, par le mouvement brownien procédaient bien souvent d'une naïveté basée sur une définition empirique du mouvement brownien[3], les aléas ne pouvant pas toujours être définis de manières indépendantes c'est-à-dire que ledrap brownien àn dimensions utilisé l'est abusivement dans un phénomène qui ne possède pas cesn dimensions.

Approche mathématique

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Notion de processus stochastique

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La difficulté de modélisation du mouvement brownien réside dans le fait que ce mouvement estaléatoire et que statistiquement, le déplacement est nul : il n'y a pas de mouvement d'ensemble, contrairement à un vent ou un courant. Plus précisément :

  • à un instant donné, la somme vectorielle des vitesses de toutes les particules s'annule (il n'y a pas de mouvement d'ensemble) ;
  • si l'on suit une particule donnée au cours du temps, lebarycentre de sa trajectoire est son point de départ, elle « virevolte » autour du même point.

Il est difficile dans ces conditions de caractériser le mouvement. La solution fut trouvée parLouis Bachelier, et présentée dans sa thèse soutenue le. Il démontra que ce qui caractérise le mouvement, ce n'est pas lamoyenne arithmétique des positions mais leurmoyenne quadratique.

Ainsi, notonsX(t){\displaystyle X(t)} lavariable aléatoire modélisant la position d'une particule. Si celle-ci se déplace dans un espace de dimensiond{\displaystyle d} (1 sur une ligne, 2 sur un plan, 3 dans l'espace),X(t){\displaystyle X(t)} est à valeurs dansRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}. Si on prend par conventionX(t=0)=0{\displaystyle X(t=0)=0}, la distance quadratique moyenne parcourue par la particule au cours d'un tempst{\displaystyle t} vaut :⟨X2(t) ⟩ =E[‖X‖2(t)]{\displaystyle \langle \,X^{2}(t)\ \rangle \ =\mathbb {E} \left[{\|X\|}^{2}(t)\right]}On démontre alors que ce déplacement quadratique moyen estproportionnel au temps[4] :

⟨X2(t) ⟩ = 2dDt{\displaystyle \langle \,X^{2}(t)\ \rangle \ =\ 2\,d\,D\,t}

oùD lecoefficient de diffusion qui caractérise le mouvement brownien. Par souci d'homogénéité, on préfère souvent manipuler la moyenne quadratique du déplacement :⟨X2(t)⟩=2dDt{\displaystyle {\sqrt {\langle \,X^{2}(t)\,\rangle }}={\sqrt {2dDt}}}À l'inverse, la moyenne arithmétique des positions est nulle, le mouvement des particules n'ayant pas de direction privilégiée :⟨X(t)⟩ =0{\displaystyle \langle \,X(t)\,\rangle \ =0}

Définition

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Un mouvement brownien est unemartingale(Mt){\displaystyle (M_{t})} telle que

  1. (Mt){\displaystyle (M_{t})} est continue,
  2. (Mt2−t){\displaystyle (M_{t}^{2}-t)} est une martingale.

Descriptions dimensionnelles

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Approximation d'un mouvement brownien bidimensionnel par une marche aléatoire de 3 000 pas dont chaque pas est gaussien en abscisse et en ordonnée.
Approximation d'un mouvement brownien tridimensionnel par une marche aléatoire de 1 000 pas dont chaque pas est gaussien en abscisse, en ordonnée et en cote.

Définition uni-dimensionnelle

Le mouvement brownien unidimensionnel(Bt)t≥0{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}} est unprocessus stochastique dépendant du tempst et vérifiant :

  1. (accroissements indépendants) Quels que soient les tempst ets tels quet >s, l'accroissementBt−Bs{\displaystyle B_{t}-B_{s}} est indépendant du processus(Bu)0≤u≤s{\displaystyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}} avant le tempss.
  2. (accroissements stationnaires et gaussiens) Quels que soient les tempst ets tels quet >s, l'accroissementBt−Bs{\displaystyle B_{t}-B_{s}} est unevariable aléatoire normale de moyenne nulle et de variancet−s.
  3. (Bt)t≥0{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}} est presque sûrement continu, c'est-à-dire pour presque toute réalisation, la fonctiont↦Bt(ω){\displaystyle t\mapsto B_{t}(\omega )} est continue.
  4. Il est souvent supposé queB0=0{\displaystyle B_{0}=0}. On dit alors que le mouvement brownien eststandard.

Définition équivalente

Le mouvement brownien unidimensionnel(Bt)t≥0{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}} est unprocessus stochastique dépendant du tempst et vérifiant :

  1. Le processus(Bt)t≥0{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}} est unprocessus gaussien, c'est-à-dire pour tous tempst1≤t2≤...≤tn{\displaystyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}}, le vecteur(Bt1,Bt2,...,Btn){\displaystyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})} est unvecteur gaussien.
  2. (Bt)t≥0{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}} est presque sûrement continu. C'est-à-dire pour toute réalisation, la fonctiont↦Bt(ω){\displaystyle t\mapsto B_{t}(\omega )} est continue.
  3. pour touss ett, la moyenne estE[Bt]=0{\displaystyle \mathbb {E} [B_{t}]=0} et la covariance estE[BsBt]=min(s,t){\displaystyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=\min(s,t)}.

Définition multi-dimensionnelle

Le mouvement browniend-dimensionnel est un processus(Bt)t≥0:=(Bt1,Bt2,...,Btd)t≥0{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}} où les processusB1,B2,...,Bd{\displaystyle B^{1},B^{2},...,B^{d}} sont des mouvements browniens indépendants.

Autrement dit le mouvement browniend-dimensionnel est à valeurs dansRd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} et ses projections sur les espacesR,R2,...,Rd−1{\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}} sont respectivement des mouvements browniens uni-, bi-, ...,d-1-dimensionnels.

Définition de la mesure de Wiener

ConsidéronsC(R+,R){\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} l'espace des fonctions continues deR+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} dansR{\displaystyle \mathbb {R} } et(Ω,T,P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )} unespace probabilisé. Le mouvement brownien est l'application

B:Ω⟶C(R+,R)ω↦(t↦Bt(ω)){\displaystyle {\begin{array}{lccl}B:&\Omega &\longrightarrow &C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )\\&\omega &\mapsto &\left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)\end{array}}}.

La mesure de Wiener (ou loi du mouvement brownien), souvent notéeW(dω){\displaystyle W(\mathrm {d} \omega )}, est la mesure-image deP(dω){\displaystyle \mathbb {P} (\mathrm {d} \omega )} par cette applicationB.

Autrement dit, c'est la mesure de probabilitéW surC(R+,R){\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} telle que pour toutA⊂C(R+,R){\displaystyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )},

W(A)=P((Bt)t≥0∈A){\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)}.

Remarques

  • Le mouvement brownien est unprocessus de Lévy à accroissements gaussiens.
  • Cette définition permet de démontrer des propriétés du mouvement brownien, par exemple sa continuité (presque sûre), le fait que presque sûrement, la trajectoire n'est différentiable nulle part, et de nombreuses autres propriétés.
  • On pourrait également définir le mouvement brownien par rapport à savariation quadratique moyenne. Cette définition, classiquement appelée théorème de Lévy, donne la caractérisation suivante : un processus stochastique à trajectoires continues dont la variation quadratique estt est un mouvement brownien. Ceci se traduit mathématiquement par le fait que pour une filtration donnée,(Bt)t≥0{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}} et(Bt2−t)t≥0{\displaystyle (B_{t}^{2}-t)_{t\geq 0}} sont desmartingales.

Propriétés

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       sid∈{1,2}{\displaystyle d\in \{1,2\}}, l'ensemble{t≥0,||Bt−x||≤r}{\displaystyle \{t\geq 0,||B_{t}-x||\leq r\}} est non borné pour toutx∈Rd{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}} et toutr⪈0{\displaystyle r\gneq 0},
       sid≥3,limt→∞‖Bt‖=+∞{\displaystyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }\|B_{t}\|=+\infty } presque sûrement.
  • Principe de réflexion
      P[sup0≤s≤tBs≥a]=2P[Bt≥a]=P[|Bt|≥a].{\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}

Construction mathématique

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Donnons d'autres manières de construire le mouvement brownien.

Au moyen du théorème de consistance de Kolmogorov

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Soit(ft)t∈R+{\displaystyle (f_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}} une famille de fonctions à valeurs réelles appartenant àL2(R+){\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}. Posons alors :

∀(u,v)∈R+2, s(u,v)=⟨fu,fv⟩L2(R+)=∫R+fu(x)fv(x)dx{\displaystyle \forall (u,v)\in \mathbb {R} _{+}^{2}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}(\mathbb {R} _{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)\mathrm {d} x}

Alors, la fonction satisfait la propriété suivante :

∀k∈N∗{\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}} et toust1,...,tk∈R+{\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}}, la matrice(s(ti,tj))1≤i,j≤k{\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}} est symétrique et semi-définie positive.

Au moyen du théorème de consistance de Kolmogorov, on peut construire un processus gaussien{Yt}t∈R+{\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}} dont la fonction moyennem est arbitraire et dont la fonction de covariance ests définie au-dessus.

Lorsque(ft)t∈R+=(c11[0,t])t∈R+{\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} _{+}}}=\left({\sqrt {c}}\,1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}} oùc>0{\displaystyle c>0} est une constante ne dépendant pas det, et où11[0,t]{\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}} est la fonction indicatrice sur [0,t], il résulte de l'expression des que pour tout(u,v)∈R+2{\displaystyle (u,v)\in {\mathbb {R} _{+}^{2}}} :

s(u,v)=c∫R11[0,u](s)11[0,v](s)ds=cmin(u,v){\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)\mathrm {d} s=c\,\min(u,v)}

Dans ce cas-là, la matrice(s(ti,tj))1≤i,j≤k{\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}} est symétrique et définie positive pour toutk∈N∗{\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{*}} ett1,...,tk{\displaystyle t_{1},...,t_{k}} 2 à 2 distincts.

On dit qu'un processus gaussien à valeurs réelles indexé parR+{\displaystyle \mathbb {R} _{+}} est unmouvement brownien lorsque le processus est centré (i.e. l'applicationt↦EXt{\displaystyle t\mapsto \mathbb {E} X_{t}} est identiquement nulle) et que sa fonction de covariances est donnée ci-dessus. D'habitude, un mouvement brownien est noté par{Bt}t∈R+{\displaystyle \{B_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}.Signalons quec=Var⁡(B1){\displaystyle c=\operatorname {Var} (B_{1})}. Lorsquec = 1, le mouvement brownien est ditstandard.

Au moyen d'une marche aléatoire

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Lethéorème de Donsker (1951) montre qu'une marche aléatoire convenablement renormalisée converge en loi vers le mouvement brownien.

(1σn(∑k=1[nt]Uk+(nt−[nt])U[nt]+1))0≤t≤1⟶n→∞(Bt)0≤t≤1{\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}

où [.] est lapartie entière et les variables aléatoires (Un,n ≥ 1) sont iid, centrées, decarré intégrable et devarianceσ{\displaystyle \sigma }2. La convergence⟶n→∞{\displaystyle {\underset {n\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}} est laconvergence en loi dans l'espaceC([0,1]) des fonctions continues sur [0,1] muni de satribu borélienne.

Cette convergence donne une définition du mouvement brownien comme l'unique limite (en loi) de marches aléatoires renormalisées.

Au moyen d'une série de Fourier

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Donnons une construction du mouvement brownien fondée sur lesséries de Fourier.

Soient deux suites indépendantes(Nk,k∈N){\displaystyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )} et(Nk′,k∈N){\displaystyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )} de variables aléatoires indépendantes deloi normaleN(0,1){\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}. Le processus(Bt)t≥0{\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}} défini par la série

Bt:=tN0+∑k=1+∞22πk(Nk(cos⁡(2πkt)−1)+Nk′sin⁡(2πkt)){\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}(\cos(2\pi kt)-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)}

est un mouvement brownien.

Excursion brownienne

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Article détaillé :Excursion brownienne.
en haut : simulation d'unpont brownien standard.
en bas : simulation d'une excursion brownienne normalisée.

ConsidéronsB:={t≥0,Bt=0}{\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{t\geq 0,B_{t}=0\}} l'ensemble des zéros du mouvement brownien unidimensionnel (ensemble des temps où le mouvement brownien s'annule). Le complémentaire deB{\displaystyle {\mathcal {B}}} est une suite d'intervalles ouverts que l'on note⋃n≥1Bn{\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}{\mathcal {B}}_{n}}. Chaque intervalle a une longueur notée|Bn|{\displaystyle |{\mathcal {B}}_{n}|}.

Pour chaquen ≥ 1, on définit les processusen:=(en(t),0≤t≤|Bn|){\displaystyle e_{n}:=(e_{n}(t),0\leq t\leq |{\mathcal {B}}_{n}|)} etennorm:=(ennorm(t),0≤t≤1){\displaystyle e_{n}^{norm}:=(e_{n}^{norm}(t),0\leq t\leq 1)} par

en(t):=Bt+infBn{\displaystyle e_{n}(t):=B_{t+\inf {\mathcal {B}}_{n}}} pour tout0≤t≤|Bn|{\displaystyle 0\leq t\leq |{\mathcal {B}}_{n}|},
ennorm(t):=Bt|Bn|+infBn|Bn|{\displaystyle e_{n}^{norm}(t):={\frac {B_{t|{\mathcal {B}}_{n}|+\inf {\mathcal {B}}_{n}}}{\sqrt {|{\mathcal {B}}_{n}|}}}} pour tout0≤t≤1{\displaystyle 0\leq t\leq 1}.

en{\displaystyle e_{n}} est appelée l'excursion brownienne,ennorm{\displaystyle e_{n}^{norm}} est l'excursion brownienne normalisée (voir le livre de Itô et McKean[5]).

Les excursions sont soit "au-dessus" de 0 (s'il existe unt tel queen(t)>0{\displaystyle e_{n}(t)>0}) soit "au-dessous" de 0 (s'il existe unt tel queen(t)<0{\displaystyle e_{n}(t)<0}).

Propriétés

P0[e1norm(t)∈dx|sgn⁡(e1)>0]=2x22πt2(1−t)2e−x22t(1−t)dx{\displaystyle \mathbb {P} _{0}[e_{1}^{norm}(t)\in \mathrm {d} x|\operatorname {sgn} (e_{1})>0]={\frac {2x^{2}}{\sqrt {2\pi t^{2}(1-t)^{2}}}}e^{\frac {-x^{2}}{2t(1-t)}}\mathrm {d} x}.

Estimation du nombre d'Avogadro

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La formule suivante permet de calculer le coefficient de diffusion d'un couple particule-fluide par laloi de Stokes-Einstein :

D=kBT6πηr{\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \eta r}}}

oùT est latempérature, η laviscosité dynamique du fluide,r le rayon de la particule,kB laconstante de Boltzmann.

Considérations énergétiques

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La quantité d'énergie mise en œuvre par le mouvement brownien est négligeable à l'échelle macroscopique. On ne peut pas en tirer de l'énergie pour réaliser unmouvement perpétuel de seconde espèce, et violer ainsi ledeuxième principe de la thermodynamique.

Toutefois, il a été démontré que certains processus biologiques à l'échelle cellulaire peuvent orienter le mouvement brownien afin d'en soutirer de l'énergie[6]. Cette transformation ne contrevient pas audeuxième principe de la thermodynamique tant et aussi longtemps qu'un échange de rayonnement peut maintenir la température du milieu (système dissipatif) donc la vitesse moyenne des particules. Il faut aussi considérer que la dissipation de ce mouvement brownien sous forme d'énergie utilisable engendre une croissance de l'entropie globale du système (ou de l'univers).

Généralisations

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Approche expérimentale

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Expérience de Jean Perrin et Léon Brillouin (1908)

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Jean Perrin réalisera avecLéon Brillouin une expérience qui confirmera l'interprétation décrite parAlbert Einstein.

Courbe représentant le carré du nombre de grains déposés sur une aire 𝑆 = 2.1×10−4cm2{\displaystyle \times 10^{-4}cm^{2}} de la paroi couvre-objet en fonction du temps exprimé en heures.

Elle consiste à préparer une solution degrainscolloïdaux dont le rayon est de 0.52μm{\displaystyle \mu m} dans un mélange eau-glycérol. On place ensuite cette solutioncolloïdale pour laquelle le nombre de grains par unité de volume est initialement uniforme, entre deux lames de microscope séparées d'un millimètre. Cette distance entre les deux lames suffit pour considérer que l'évolution de la densité de grains au voisinage des parois se fait dans unmilieu semi-infini. Le tout est placé dans un thermostat de température égale à 38,7degrés Celsius[7].

Perrin remarque que les particules qui viennent en contact avec les parois du récipient y restent collées, ce qui entraîne unedéplétion en particules des régions proches des parois. Il comprend alors qu'on peut déterminer lecoefficient de diffusion de ces particules en enregistrant au cours du temps, le nombre departicules par unité de surface qui se déposent sur le couvre-objet[7].

Quelques modélisations dans un espace euclidien

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Équation de Langevin (1908)

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Article détaillé :Équation de Langevin.

Dans l'approche deLangevin[8], la grosse particule brownienne de massem animée à l'instantt d'une vitessev(t){\displaystyle v(t)} est soumise à deux forces :

Bruit blanc gaussien :

Unbruit blanc gaussienη(t){\displaystyle \eta (t)} est unprocessus stochastique de moyenne nulle :

⟨η(t)⟩ = 0{\displaystyle \langle \,\eta (t)\,\rangle \ =\ 0}

et totalement décorrélé dans le temps ; sa fonction de corrélation à deux points vaut en effet :

⟨η(t1) η(t2)⟩ = Γ δ(t1−t2){\displaystyle \langle \,\eta (t_{1})\ \eta (t_{2})\,\rangle \ =\ \Gamma \ \delta (t_{1}-t_{2})}

Dans cette formule,Γ{\displaystyle \Gamma } est une constante positive, etδ(t){\displaystyle \delta (t)} est ladistribution de Dirac.

Dans ces deux formules, la moyenne est prise surtoutes les réalisations possibles du bruit blanc gaussien. On peut formaliser ceci en introduisant une intégrale fonctionnelle, encore appeléeintégrale de chemin d'aprèsFeynman, définie pour lamesure gaussienne dite « mesure de Wiener »[9]. Ainsi, on écrit :

⟨η(t1) η(t2)⟩ = ∫[Dη(t)] η(t1) η(t2) e−12Γ∫t1t2η˙2(τ)dτ{\displaystyle \langle \,\eta (t_{1})\ \eta (t_{2})\,\rangle \ =\ \int \left[\,{\mathcal {D}}\eta (t)\,\right]\ \eta (t_{1})\ \eta (t_{2})\ {\textrm {e}}^{-{\frac {1}{2\Gamma }}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {\eta }}^{2}(\tau )d\tau }}

oùη˙{\displaystyle {\dot {\eta }}} est la dérivée deη{\displaystyle \eta } par rapport au tempst.

Leprincipe fondamental de la dynamique de Newton conduit à l'équation stochastique de Langevin :

mdv(t)dt = −kv(t) + η(t){\displaystyle m\,{\frac {dv(t)}{dt}}\ =\ -\,k\,v(t)\ +\ \eta (t)}

Processus d’Ornstein-Uhlenbeck

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Article détaillé :Processus d'Ornstein-Uhlenbeck.

Leprocessus d'Ornstein-Uhlenbeck est un processus stochastiquedécrivant (entre autres) la vitesse d'une particule dans un fluide, en dimension 1.

On le définit comme étant la solutionXt{\displaystyle X_{t}} de l'équation différentielle stochastique suivante :dXt=2dBt−Xtdt{\displaystyle dX_{t}={\sqrt {2}}dB_{t}-X_{t}dt},oùBt{\displaystyle B_{t}} est un mouvement brownien standard,et avecX0{\displaystyle X_{0}} une variable aléatoire donnée.Le termedBt{\displaystyle dB_{t}} traduit les nombreux chocs aléatoires subis par la particule,alors que le terme−Xtdt{\displaystyle -{X_{t}}dt} représente la force de frottement subie par la particule.

Laformule d'Itô appliquée au processusetXt{\displaystyle {e^{t}}X_{t}} nous donne :d(etXt)=etXtdt+et(2dBt−Xtdt)=et2dBt{\displaystyle d({e^{t}}X_{t})={e^{t}}{X_{t}}dt+{e^{t}}({\sqrt {2}}{dB_{t}}-{X_{t}}dt)={e^{t}}{\sqrt {2}}{dB_{t}}},soit, sous forme intégrale :Xt=X0e−t+2e−t∫0tesdBs{\displaystyle X_{t}={X_{0}}e^{-t}+{\sqrt {2}}e^{-t}\int _{0}^{t}{e^{s}}dB_{s}}

Par exemple, siX0{\displaystyle X_{0}} vautpresque sûrementx{\displaystyle x}, la loi deXt{\displaystyle X_{t}} est une loi gaussienne de moyennexe−t{\displaystyle xe^{-t}} et de variance1−e−2t{\displaystyle 1-e^{-2t}},ce qui converge en loi quandt{\displaystyle t} tend vers l'infini vers la loi gaussienne centrée réduite.

Marches aléatoires

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Article détaillé :Marche aléatoire.

On peut aussi utiliser un modèle demarche aléatoire (ou au hasard), où le mouvement se fait par sautsdiscrets entre positions définies (on a alors des mouvements en ligne droite entre deux positions), par exemple dans le cas de la diffusion dans les solides. On modélise alors les sauts successifs par des variables aléatoiresZi{\displaystyle Z_{i}} oùi∈N∗{\displaystyle i\in \mathbb {N} ^{*}}, et la position d'une particule au temps discretn∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } est donnée par :Xn=∑i=1nZi{\displaystyle X_{n}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}Sous certaines hypothèses (typiquement, lesZi{\displaystyle Z_{i}} sonti.i.d., de moyenne nulle et de variance finieσ2=2D{\displaystyle \sigma ^{2}=2D}), l'expression de la moyenne quadratique deXn{\displaystyle X_{n}} est analogue au cas continu :⟨Xn2⟩=2dDn{\displaystyle \langle \,X_{n}^{2}\,\rangle =2dDn}

Marche aléatoire à une dimension d'espace (Exemple)

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Considérons la marche aléatoire d'une particule sur l'axeOx. On suppose que cette particule effectue des sauts de longueura entre deux positions contigües situées sur le réseau :{na ,n∈Z}{\displaystyle \{\,n\,a\ ,n\in \mathbb {Z} \,\}} de maillea sur l'axe, chaque saut ayant une duréeτ{\displaystyle \tau }.

Il faut encore se donner un nombrep tel que :0 < p < 1. L'interprétation physique de ce paramètre est la suivante :

  • p représente la probabilité que la particule fasse un sautvers la droite à chaque instant ;
  • q = 1 - p représente la probabilité que la particule fasse un sautvers la gauche à chaque instant.

Le cas du mouvement brownien correspond à faire l'hypothèse d'isotropie spatiale. Toutes les directions de l'espace physique étanta priori équivalentes, on pose l'équiprobabilité :

p = q = 12{\displaystyle p\ =\ q\ =\ {\frac {1}{2}}}

La figure ci-dessous montre un exemple typique de résultat : on trace les positions successivesx(k) de la particule aux instantsk, partant de la condition initialex(0)=0.

Probabilités de transition conditionnelle

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On définit laprobabilité de transition conditionnelle :

P(n|m,s) = P(na|ma,sτ){\displaystyle P(n|m,s)\ =\ P(na|ma,s\tau )}

comme étant la probabilité de trouver la particule au sitema à l'instantsτ{\displaystyle s\tau } sachant qu'elle était au sitena à l'instant initial0.

L'hypothèse d'isotropie conduit à écrire la loi d'évolution de cette probabilité de transition conditionnelle :

P(n|m,s+1) = 12 [ P(n|m+1,s) + P(n|m−1,s) ]{\displaystyle P(n|m,s+1)\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left[\ P(n|m+1,s)\ +\ P(n|m-1,s)\ \right]}

On en déduit la relation suivante :

P(n|m,s+1)−P(n|m,s) = 12 [ P(n|m+1,s)+P(n|m−1,s)−2 P(n|m,s) ]{\displaystyle P(n|m,s+1)\,-\,P(n|m,s)\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left[\ P(n|m+1,s)\,+\,P(n|m-1,s)\,-\,2\ P(n|m,s)\ \right]}

Convergence vers le mouvement brownien. Équation de Fokker-Planck

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Prenons la limite continue de l'équation précédente lorsque les paramètres :

On verra à la fin du calcul que la combinaisona2/2τ{\displaystyle a^{2}/2\tau } doit en fait rester constante dans cette limite continue.

Il vient, en réintroduisant le paramètre adéquat pour faire un développement limité :

P(n|m,(s+1)τ) − P(n|m,sτ) = τ ∂P(n|m,sτ)∂t + O(τ2){\displaystyle P(n|m,(s+1)\tau )\ -\ P(n|m,s\tau )\ =\ \tau \ {\frac {\partial P(n|m,s\tau )}{\partial t}}\ +\ O(\tau ^{2})}

D'autre part, on peut écrire :

P(n|(m±1)a,s) = P(n|ma,s)±a ∂P(n|ma,s)∂x+a22 ∂2P(n|ma,s)∂x2+O(a3){\displaystyle P(n|(m\pm 1)a,s)\ =\ P(n|ma,s)\,\pm \,a\ {\frac {\partial P(n|ma,s)}{\partial x}}\,+\,{\frac {a^{2}}{2}}\ {\frac {\partial ^{2}P(n|ma,s)}{\partial x^{2}}}\,+\,O(a^{3})}

de telle sorte que le crochet se réduise à :

P(n|m+1,s)+P(n|m−1,s)−2 P(n|m,s) = a2 ∂2P(n|ma,s)∂x2+O(a3){\displaystyle P(n|m+1,s)\,+\,P(n|m-1,s)\,-\,2\ P(n|m,s)\ =\ a^{2}\ {\frac {\partial ^{2}P(n|ma,s)}{\partial x^{2}}}\,+\,O(a^{3})}

On en déduit l'équation de Fokker-Planck :

τ ∂P(x0|x,t)∂t = a22 ∂2P(x0|x,t)∂x2{\displaystyle \tau \ {\frac {\partial P(x_{0}|x,t)}{\partial t}}\ =\ {\frac {a^{2}}{2}}\ {\frac {\partial ^{2}P(x_{0}|x,t)}{\partial x^{2}}}}

qu'on peut réécrire :

∂P(x0|x,t)∂t = D ∂2P(x0|x,t)∂x2{\displaystyle {\frac {\partial P(x_{0}|x,t)}{\partial t}}\ =\ D\ {\frac {\partial ^{2}P(x_{0}|x,t)}{\partial x^{2}}}}

en introduisant le coefficient de diffusion :

D = a22τ{\displaystyle D\ =\ {\frac {a^{2}}{2\tau }}}

Solution de l'équation de Fokker-Planck

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En plus de l'équation de Fokker-Planck, la densité de probabilité de transition conditionnelleP(x0|x,t){\displaystyle P(x_{0}|x,t)} doit vérifier les deux conditions supplémentaires suivantes :

  • la normalisation des probabilités totales :
∀ t > 0 ,∫−∞+∞dx P(x0|x,t) = 1{\displaystyle \forall \ t\ >\ 0\ ,\quad \int _{-\infty }^{+\infty }dx\ P(x_{0}|x,t)\ =\ 1}
  • la condition initiale :
limt→0P(x0|x,t) = δ(x−x0){\displaystyle \lim _{t\to 0}P(x_{0}|x,t)\ =\ \delta (x-x_{0})}

oùδ(x){\displaystyle \delta (x)} est ladistribution de Dirac.

La densité de probabilité de transition conditionnelleP(x0|x,t){\displaystyle P(x_{0}|x,t)} est donc essentiellement unefonction de Green de l'équation de Fokker-Planck. On peut démontrer qu'elle s'écrit explicitement :

P(x0|x,t) = 14πDt exp[ − (x−x0)24Dt ]{\displaystyle P(x_{0}|x,t)\ =\ {\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\ \exp \,\left[\ -\ {\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\ \right]}

Moments de la distribution :

Posonsx0=0{\displaystyle x_{0}=0} pour simplifier. La densité de probabilité de transition conditionnelleP0(x,t)=P(0|x,t){\displaystyle P_{0}(x,t)=P(0|x,t)} permet le calcul des divers moments :

⟨xn(t) ⟩ = ∫−∞+∞dx xn P0(x,t){\displaystyle \langle \,x^{n}(t)\ \rangle \ =\ \int _{-\infty }^{+\infty }dx\ x^{n}\ P_{0}(x,t)}

La fonctionP0{\displaystyle P_{0}} étantpaire, tous les moments d'ordre impair sont nuls. On peut facilement calculer tous les moments d'ordre pair en posant :

α = 14Dt{\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{4Dt}}}

et en écrivant que :

⟨x2n(t) ⟩ = απ ∫−∞+∞dx x2n e−αx2 = (−1)n απ dn dαn [∫−∞+∞dx e−αx2]{\displaystyle \langle \,x^{2n}(t)\ \rangle \ =\ {\sqrt {\frac {\alpha }{\pi }}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }dx\ x^{2n}\ \mathrm {e} ^{-\alpha x^{2}}\ =\ (-1)^{n}\ {\sqrt {\frac {\alpha }{\pi }}}\ {\frac {d^{n}~}{d\alpha ^{n}}}\ \left[\,\int _{-\infty }^{+\infty }dx\ \mathrm {e} ^{-\alpha x^{2}}\,\right]}

On obtient explicitement :

⟨x2n(t) ⟩ = (−1)n απ dn dαn [πα] = (−1)n α dn dαn [1α]{\displaystyle \langle \,x^{2n}(t)\ \rangle \ =\ (-1)^{n}\ {\sqrt {\frac {\alpha }{\pi }}}\ {\frac {d^{n}~}{d\alpha ^{n}}}\ \left[\,{\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,\right]\ =\ (-1)^{n}\ {\sqrt {\alpha }}\ {\frac {d^{n}~}{d\alpha ^{n}}}\ \left[\,{\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,\right]}

On retrouve notamment pour le moment d'ordre deux :

⟨x2(t) ⟩ = −αd dα[1α] = (−α)×(−12α3/2) = 12α = 2Dt{\displaystyle \langle \,x^{2}(t)\ \rangle \ =\ -\,{\sqrt {\alpha }}\,{\frac {d~}{d\alpha }}\,\left[\,{\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,\right]\ =\ (-\,{\sqrt {\alpha }})\,\times \,\left(-\,{\frac {1}{2\alpha ^{3/2}}}\right)\ =\ {\frac {1}{2\alpha }}\ =\ 2Dt}

Mouvement brownien sur unevariété riemannienne

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On appelle mouvement brownien sur unevariété riemannienneV le processus stochastique continu markovien dont lesemigroupe de transition à un paramètre est engendré par1/2ΔV{\displaystyle 1/2\,\Delta _{V}}, oùΔV{\displaystyle \Delta _{V}} est l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la variétéV[réf. souhaitée].

Notes et références

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Notes

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  1. ↑On sait aujourd'hui que ces particules sont desorganites d'amidon (amyloplastes) et delipides (sphérosomes (en)).

Références

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  1. ↑Robert Brown ;A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies. Philosophical Magazine 4 (1828), 161-173. Fac-similé disponible au formatpdf.
  2. ↑Brian J. Ford ;Brownian movement in Clarkia pollen: a reprise of the first observations, The Microscope, 40 (4): 235-241, 1992Reproduction en ligne de l'article.
  3. ↑F. Hirschet al., Peacocks ans associated martingales with explicit constructions, Bocconi & Springer, 2011.
  4. ↑Pour un mouvement rectiligne régulier, c'est le déplacementx(t) qui serait proportionnel au temps.
  5. ↑(en) K.ITO et H.P.McKean,Diffusion Processes and their sample paths : Reprint of the 1974 Edition, Berlin, Springer Verlag - Classics in Mathematics,,2e éd., 323 p., poche(ISBN 978-3-540-60629-1,LCCN 95049024,lire en ligne).
  6. ↑(PESKIN C. S. (1); ODELL G. M.;OSTER G. F.; Biophysical journal (Biophys. j.),(CODENBIOJAU) ; 1993, vol. 65, no1, pp. 316-324 (42 ref.) ; Cellular motions and thermal fluctuations : the Brownian ratchet)(ISSN 0006-3495).
  7. ↑a etbJean Perrin,Notice sur les travaux scientifiques de M. Jean Perrin, Toulouse, Imprimerie et librairie Édouard Privat,, 102 p.,p. 43-45
  8. ↑Paul Langevin, « Sur la théorie du mouvement brownien »,Comptes-rendus de l'Académie des Sciences146 (1908), 530-532.Lire en ligne sur Gallica.
  9. ↑Cf. e.g. : Mark Kac ;Integration in Function Space and some of Its Applications, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Texte au formatpdf.

Voir aussi

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Bibliographie

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Aspects historiques
Mouvement brownien dans l'espace euclidien
  • Bertrand Duplantier ;Le mouvement brownien, Séminaire Poincaré :Einstein, 1905-2005 (Paris, 8 avril 2005). Texte complet disponibleici.
  • Bernard Derrida et Eric Brunet,Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation, dans : Michèle Leduc & Michel Le Bellac (éditeurs) ;Einstein aujourd'hui, EDP Sciences (janvier 2005),(ISBN 2-86883-768-9).
  • Jean-François Le Gall,Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique, Springer, 2013
  • Jean-François Le Gall,Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires, cours du Magistère de mathématiques de l'ENS (2005). Le dernier chapitre (14) est une introduction au mouvement brownien.Format pdf.
  • Jean-François Le Gall,Mouvement brownien et calcul stochastique, cours de DEA donné à l'université Paris 6 (1996 et 1997).Format pdf.
  • Jean-François Le Gall,Mouvement brownien, processus de branchement et superprocessus, cours de DEA donné à l'université Paris 6 (1994).Format pdf.
  • Paul Lévy,Processus stochastiques et mouvement brownien, Gauthier-Villars (2e édition - 1965). Réédité par Jacques Gabay (1992),(ISBN 2-87647-091-8).
  • Mark Kac,Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly54(7) (1947), 369-391. Texte au formatpdf.
  • Mark Kac,Integration in Function Space and some of Its Applications, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Scuola Normale Superiore, Pisa, Italy (1980). Texte au formatpdf.
  • Edward Nelson,Dynamical Theories of Brownian Motion, Princeton University Press (1967). Texte au formatpdf.
  • Daniel Revuz etMarc Yor,Continuous martingales and Brownian motion,3e ed., New York Springer (1999)(ISBN 3-540-64325-7).
Mouvement brownien sur unevariété riemannienne
  • Elton P. Hsu ;Stochastic Analysis on Manifolds, American Mathematical Society (janvier 2002),(ISBN 0-8218-0802-8).
  • Elton P. Hsu ;A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold, (2003). Cours donné à Kyoto, disponible au formatpdf.
  • Mark A. Pinsky ;Isotropic transport process on a Riemannian manifold, Transaction of the American Mathematical Society218 (1976), 353-360.
  • Mark A. Pinsky ;Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ?, Expositiones Mathematicae2 (1984), 263-271.
  • Nicolas Th. Varopoulos ;Brownian motion and random walks on manifolds,Annales de l'Institut Fourier34(2) (1984), 243-269. Texte disponible auformat pdf.
  • Alexander Grigor'yan ;Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds, Bulletin of the American Mathematical Society36(2) (1999), 135-249.Texte en ligne.

Articles connexes

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