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Module d'Young

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Module d'Young

Données clés
Unités SI	pascal (Pa)
Autres unités	N/m²,J/m³,kg m⁻¹ s⁻²
Dimension	M L^-1 T^-2
Nature
Symbole usuel	E

Diagramme contrainte-déformation d'un matériauductile.
Aux faibles déformations, la pente E de la partie linéaire est lemodule de Young. R_e est la limite dʼélasticité, R_e0,2 la limite conventionnelle dʼélasticité pour une déformation résiduelle de 0,2 %, et R_m la résistance mécanique, ou contrainte ultime en traction.

Unmodule d'élasticité peut être déterminé à partir de la géométrie, de la raideur et de l'angle de phase de l'échantillon.

Lemodule d'Young (oude Young),module d’élasticité (longitudinale) oumodule de traction est laconstante qui relie lacontrainte detraction (ou decompression) et ladéformation d'unmatériau élastique isotrope. Il mesure donc la rigidité du matériau vis-à-vis d'une (petite)déformation uniaxiale.

Le physicien britanniqueThomas Young (1773-1829) avait remarqué que le rapport entre la contrainte de traction appliquée à un matériau et ladéformation qui en résulte (un allongement relatif) est constant, tant que cette déformation reste petite et que lalimite d'élasticité du matériau n'est pas atteinte. Cetteloi d'élasticité est laloi de Hooke :

\sigma =E\ \varepsilon

où :

σ est la contrainte (enunité de pression) ;
E est lemodule d'Young (en unité de pression) ;
ε est l'allongement relatif, oudéformation (adimensionnel) ; (ε =ℓ – ℓ₀/ℓ₀).

Le module d'Young est la contrainte mécanique qui engendrerait un allongement de 100 % de la longueur initiale d'un matériau (il doublerait donc de longueur), si l'on pouvait l'appliquer réellement : la plupart des matériaux sedéforment de façon permanente, ou serompent, bien avant que cette valeur ne soit atteinte. Le module d'Young est lapente initiale de la courbe de déformation-contrainte.

Un matériau dont le module d'Young est très élevé est ditrigide. L'acier, l'iridium et lediamant, sont des matériaux très rigides, dont les coefficients d'Young valent plusieurs centaines degigapascals (GPa), l'aluminium et leplomb le sont moins. Lesmatières plastiques etorganiques, lesmousses sont au contrairesouples, élastiques ou flexibles (pour un effort de flexion), comme le sont lesgels dont le module d'Young peut descendre dans la gamme deskilopascals (kPa).

La rigidité est distincte de

larésistance : la résistance mécanique d'un matériau est caractérisée par salimite d'élasticité et/ou sarésistance à la traction ;
laraideur : la raideur d'une poutre (par exemple) dépend de son module d'Young (de sa rigidité) mais aussi du rapport de sa section à sa longueur^[1]. La rigidité caractérise les matériaux, la raideur concerne les structures et les composants : une pièce mécaniquemassive en matière plastique peut être beaucoup plus raide qu'un ressort en acier ;
ladureté : la dureté d'un matériau définit la résistance relative qu'oppose sa surface à la pénétration d'un corps plus dur.

Letenseur des rigidités généralise le module d'Young aux matériauxanisotropes.

Unités

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D'après l'analyse dimensionnelle, le module d'Young est homogène à unepression, ou plus précisément unecontrainte. L'unité internationale correspondante est donc lepascal (Pa). En raison des valeurs élevées que prend ce module, il est en général exprimé engigapascals (GPa) oumégapascals (MPa).

Expressions théoriques

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Dans le cas d'un matériaucristallin et de certains matériaux amorphes, le module d'Young exprime la « force de rappel » électrostatique qui tend à maintenir les atomes à distance constante. Il peut s'exprimer en fonction de ladérivée seconde dupotentiel interatomique.

Dans lesystème d'unités « naturelles » atomique, le module d'Young, pour un matériau isotrope, est homogène à^[2]

E=E_{0}={\frac {m^{4}q_{e}^{10}}{\hbar ^{8}}}

où

q_{e}^{2}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}

et où

\hbar ={\frac {h}{2\pi }}

est laconstante de Planck réduite.

Cela dit, compte tenu des problèmes où il apparaît (bilaplacien), il paraît assez naturel de le rationaliser :

soit commeE₁ =E₀/16π² ;
soit commeE₂ =E₀/64π⁶ ;

les ordres de grandeur deE₁ ouE₂ sont à comparer aux valeurs tabulées, de l'ordre de100 GPa, qui apparaissent alors relever de cecorpus théorique.

Dans le cas des polymères, l'énergie thermique « tortille » la chaîne carbonée qui tend à maintenir la longueur de la chaîne constante. Le module d'Young peut alors s'exprimer en fonction de l'entropie.

Cette différence de comportement est flagrante lorsque l'on considère l'influence de la température ; si l'on soumet une éprouvette à une charge constante (essai defluage) :

lorsque l'on augmente la température, une éprouvette de métal s'allonge (dilatation), donc son module d'Young diminue, tandis que l'éprouvette en polymère se raccourcit (les chaînes s'agitent, s'entortillent) doncson module d'Young augmente^{[réf. nécessaire]} ;
lorsque l'on diminue la température, on observe le phénomène inverse : l'éprouvette de métal se raccourcit (contraction) donc son module d'Young augmente, tandis que l'éprouvette de polymère s'allonge (les chaînes sont moins agitées et se laissent étirer) doncson module d'Young diminue^{[réf. nécessaire]}.

Relations

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Pour un matériau isotrope :

L'expression deE en fonction dumodule de cisaillement (G) et ducoefficient de Poisson ( $\nu$ ) s'écritE = 2G(1 +ν).
L'expression deE en fonction deλ etμ, appeléscoefficients de Lamé, est

E={\frac {(3{\lambda }+2{\mu }){\mu }}{{\lambda }+{\mu }}}

.

Méthodes de mesure

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Le plus simple reste bien sûr de réaliser unessai de traction. Et, connaissant les dimensions de l'éprouvette, d'en déduire le module d'Young $E {\displaystyle E}$ . Cependant, il est difficile de réaliser cette mesure avec une bonne précision.

C'est pourquoi on préfère, lorsque cela est possible, déduire le module d'Young de lafréquence propre de vibration d'une tige de matériau maintenue à ses extrémités et chargée en son milieu.

Article connexe :Méthode de Oberst.

On peut aussi mesurer la vitesse duson dans le matériau qui nous intéresse, et en déduire le module d'Young sachant qu'on a la relation suivante.

V_{\rm {son}}\propto {\sqrt {\frac {E}{\rho }}}

.

Cependant, cette loi est approchée : la vitesse du son dépend aussi ducoefficient de Poisson.

Le module d'Young augmente avec lavitesse de déformation. Voir aussiPrincipe d'équivalence temps-température.

Le module d'Youngcomplexe peut être déterminé paranalyse mécanique dynamique.

Quelques valeurs numériques

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Cette sectionne cite pas suffisamment ses sources (avril 2016).

Pour l'améliorer, ajoutezdes références de qualité et vérifiables (comment faire ?) ou le modèle{{Référence nécessaire}} sur les passages nécessitant une source.

Les caractéristiques mécaniques des matériaux sont variables d'un échantillon à l'autre.D'un point de vue global, selon M. Ashby, on trouve des matériaux dont la valeur est comprise entre10 kPa (mousses) et1 000 GPa (céramiques techniques).

Métaux purs
Matériaux	Module (GPa)
Aluminium (Al)	69
Argent (Ag)	83
Baryum (Ba)	13
Béryllium (Be)	240
Bismuth (Bi)	32
Cadmium (Cd)	50
Césium (Cs)	1,7
Chrome (Cr)	289
Cobalt (Co)	209
Cuivre (Cu)	124
Étain (Sn)	41,5
Fer (Fe)	196
Germanium (Ge)	89,6
Indium (In)	11
Iridium (Ir)	528
Lithium (Li)	4,9
Magnésium (Mg)	45
Manganèse (Mn)	198
Molybdène (Mo)	329
Nickel (Ni)	214
Niobium (Nb)	105
Or (Au)	78
Palladium (Pd)	121
Platine (Pt)	168
Plomb (Pb)	18
Plutonium (Pu)	96
Rhodium (Rh)	275
Rubidium (Rb)	2,4
Ruthénium (Ru)	447
Scandium (Sc)	74
Sélénium (Se)	10
Sodium (Na)	10
Tantale (Ta)	186
Titane (Ti)	114
Tungstène (W)	406
Uranium (U)	208
Vanadium (V)	128
Zinc (Zn)	78
Zirconium (Zr)	68

Alliages
Matériaux	Module (GPa)
Acier de construction	210
Acier à ressorts	220
Acier inoxydable 18-10	203
Bronze (cuivre + 9 à 12 % d'étain)	124
Bronze au béryllium	130
Cuivre laminé U4 (recuit)	90
Cuivre laminé U4 (écroui dur)	150
Duralium AU4G	75
Fontes	83 à 170
Hastelloy B2 (Ni +Mo)	217
Hastelloy C 2000 (Ni + Cr + Mo)	206
Inconel X-750 (Ni + Cr + Fe)	212 à 218
Invar	140
Laiton (Cu + Zn)	100 à 130
Monel 400 (Ni + Cu)	173
Nimonic 90 (Ni + Cr + Co)	213 à 240
Nispan (Ni + Cr + Ti)	165 à 200
Phynox (Co + Cr + Ni + Mo)	203

Verres,céramiques,oxydes,carbures métalliques,minéraux
Matériaux	Module (GPa)
Alumine (oxyde d'aluminium Al₂O₃)	+0390,
Arsenic (As)	~~+000~~8,
Arséniure de gallium (AsGa)	~~+00~~85,5
Béton	~~+00~~20, à 50
Brique	~~+00~~14,
Calcaire (carbonate de calcium, CaCO₃, roche sédimentaire)	~~+00~~20, à 70
Carbure de chrome (Cr₃C₂)	+0373,
Carbure de silicium (SiC)	+0450,
Carbure de titane (TiC)	+0440,
Carbure de tungstène (WC)	+0650,
Carbure de zirconium (ZrC)	+0380, à 440
Diamant (C)	+1 000,
Dioxyde de silicium (SiO₂)	~~+00~~70,
Glace (H₂O)	~~+000~~9,3
Graphite	~~+00~~30,
Granite	~~+00~~60,
Marbre	~~+00~~26,
Mullite (Al₆Si₂O₁₃)	+0145,
Neige (glace H₂O + air)	~~+000~~0, à 0,015
Oxyde de béryllium (BeO)	+0350,
Oxyde de magnésium (MgO)	+0250,
Oxyde de zirconium (ZrO₂)	+0200,
Saphir	+0420,
Aluminure de titane (Ti₃Al)	+0140,
Titanate de baryum (BaTiO₃)	~~+00~~67,
Verre	~~+00~~69,

Bois
Matériaux	Module (GPa)
Acajou (Afrique)	12
Bambou	20
Bois de rose (Brésil)	16
Bois de rose (Inde)	12
Chêne	12
Contreplaquéglaw	12,4
Épicéa	10 à 13
Érable	10
Frêne	10
Papier	3 à 4
Sequoia	9,5

N.B. Ces valeurs sont celles du module d'élasticité dans le sens parallèle au fil (matériau anisotrope). Dans une mêmeessence, celui-ci varie en fonction de l'humidité, de ladensité (qui n'est pas constante) et d'autres caractéristiques (longueur desfibres…).

Polymères,fibres
Matériaux	Module (GPa)
Caoutchouc	~~+000~~0,001 à 0,1
Fibre de carbone haut module	+0640,
Fibre de carbone haute résistance	+0240,
Kevlar	~~+00~~34,5
Nanotube de carbone	+1 100,
Nylon	~~+000~~2, à 5
Plexiglas (poly(méthacrylate de méthyle))	~~+000~~2,38
Polyamide	~~+000~~3, à 5
Polycarbonate	~~+000~~2,3
Polyéthylène	~~+000~~0,2 à 0,7
Polystyrène	~~+000~~3, à 3,4
Résine époxyde (durcie)	~~+000~~3,5
Polypropylène	~~+000~~1,1 à 1,6

Biomatériaux
Matériaux	Module (GPa)
Émail dentaire	82,5
Bec depoussin	50
Cartilage	0,024
Cheveu	10
Collagène	0,006
Laine	14
Nacre	40 à 70
Piquant d'oursin	15 à 65
Radius	18,6
Soie d'araignée	25
Soie du ver à soie	17
Vertèbre cervicale	0,23
Vertèbre lombaire	0,16

Utilisations

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Le module d'Young est bien évidemment extrêmement utilisé en mécanique des structures ou en résistance des matériaux. Ces deux domaines apparaissent dans la conception d'édifices architecturaux ou même dans le dimensionnement des ailes d'un avion pour prendre cet exemple. À l'heure actuelle, l'accent est porté sur la recherche de nouveaux matériaux possédant un module d'Young élevé tout en restant léger, les références aéronautiques étant l'aluminium, le titane, et plus récemment les polymères tels que les fibres de carbone.

La mesure du module d'Young permet également de quantifier l'avancement de l'état de dégradation de matériaux comme lebéton à la suite de différentespathologies comme celle de laréaction alcali-granulat et des réactions sulfatiques internes ou externes se caractérisant par un gonflement interne du béton. La mesure peut se faire par essais destructifs (essais de compression, de fendage ou de flexion) ou par examens non destructifs (examensacoustiques ou parultrasons). En effet, la vitesse de propagation des ondes sonores ou ultra-sonores dans unmilieu continu dépend de l'élasticité de ce milieu, fonction elle-même de son module d'Young.

En médecine également, la mesure des variations du module d'Young dans un organe est une possibilité de l'imagerie médicale (essentiellement paréchographie) qui permet de représenter l'élasticité des tissus même profonds, par exemple pour donner l'étendue de lafibrose d'unfoie ou détecter dans unsein uncarcinome petit ou profond, peu décelable à la palpation (élastographie de2^e génération).

Références

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↑SophieTrachte,Matériau, matière d'architecture soutenable : Choix responsable des matériaux de construction, pour une conception globale de l'architecture soutenable, Presse universitaire de Louvain,coll. « thèse de doctorat en architecture »,juin 2012, 534 p.(ISBN 978-2-87558-081-8 et2-87558-081-7,lire en ligne),p. 75.
↑CharlesKittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb),Physique de l’état solide [« Solid state physics »],1998[détail des éditions],chap. 3.

Voir aussi

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Bibliographie

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Ch. Kittel,Physique du solide, éd. Dunod,chap. « Constantes d'élasticité ».
Michael F. Ashby et David R. H. Jones,Matériaux 1. Propriétés et applications, éd. Dunod,chap. 3 « Les constantes d'élasticité ».

Articles connexes

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Liens externes

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Module d'Young, avec exercices corrigés [PDF], sur4geniecivil.com.

v ·m

Modules d'élasticité pour des matériaux homogènes et isotropes

Module d'Young (E)
Module de cisaillement (G)
Module d'élasticité isostatique (K)
Premier coefficient de Lamé (λ)
Coefficient de Poisson (ν)
Module d'onde de compression (M,P-wave modulus)

Formules de conversion

Les propriétés élastiques des matériaux homogènes, isotropes et linéaires sont déterminées de manière unique par deux modules quelconques parmi ceux-ci. Ainsi, on peut calculer chacun à partir de deux d'entre eux en utilisant ces formules.

formules en 3D	$(\lambda ,G)$	$(E,G)$	$(K,\lambda )$	$(K,G)$	$(\lambda ,\nu )$	$(G,\nu )$	$(E,\nu )$	$(K,\nu )$	$(K,E)$	$(M,G)$
$K\,[\mathrm {Pa} ]=$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$			${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$			$M-{\tfrac {4G}{3}}$
$E\,[\mathrm {Pa} ]=$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$	${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$	$2G(1+\nu )\,$		$3K(1-2\nu )\,$		${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$
$\lambda \,[\mathrm {Pa} ]=$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$	${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	$M-2G$
$G\,[\mathrm {Pa} ]=$			${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$
$\nu \,[1]=$	${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$					${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$M\,[\mathrm {Pa} ]=$	$\lambda +2G$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$	$3K-2\lambda \,$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$	${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
formules en 2D	$(\lambda _{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(E_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },\lambda _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$	$(\lambda _{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(G_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(E_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },\nu _{\mathrm {2D} })$	$(K_{\mathrm {2D} },E_{\mathrm {2D} })$	$(M_{\mathrm {2D} },G_{\mathrm {2D} })$
$K_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$			${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$			$M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$
$E_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	$2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,$		$2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })$		${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}$
$\lambda _{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$		$K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	$M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }$
$G_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$			$K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$		${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}$		${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$
$\nu _{\mathrm {2D} }\,[1]=$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}$					${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}$
$M_{\mathrm {2D} }\,[\mathrm {N/m} ]=$	$\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$	$2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }$	$K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }$	${\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1-\nu _{\mathrm {2D} })(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}$	${\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}$	${\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}$

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