Lesmathématiques mésopotamiennes sont les mathématiques pratiquées par les peuples de l'ancienneMésopotamie (dans l’Irak actuel), depuis l'époque desSumériens jusqu'à la chute deBabylone en. Alors que l'on ne dispose que de très rares sources sur lesmathématiques en Égypte antique, notre connaissance desmathématiques babyloniennes s'appuie sur environ 400tablettes d'argile mises au jour depuis lesannées 1850. Écrites encunéiforme, ces tablettes furent travaillées sur de l'argile encore humide, puis cuites dans un four ou séchées au soleil. La plupart des tablettes qui nous sont parvenues datent de 1800 à, et traitent defractions, d’équations algébriques (équations du second degré etdu troisième degré), decalculs d'hypoténuse et detriplets pythagoriciens voire, peut-être, de certaineslignes trigonométriques (cf. notamment latablette Plimpton 322). La tabletteYBC 7289 fournit une approximation de√2 précise à six décimales près. Ces tablettes dérivent de la technique ayant donné les premières écritures de nombres : lesbulles-enveloppe ou bulles comptables qui contenaient initialement les calculi.
À côté desystèmes de numérations hybrides utilisés enmétrologie, les Mésopotamiens possédaient un système de numérationsavante destiné aux calculs. Cesystème de numération était detype sexagésimal (« base 60 »). C'est d'ailleurs des Babyloniens que nous avons hérité l'usage de diviser lesheures en soixante minutes, et chaque minute en 60 secondes, et aussi de diviser la circonférence d'un cercle en 360 degrés représentant 6 angles de triangle équilatéral de 60° (360=6×60) . Le développement des mathématiques chez les Babyloniens tient à deux choses ; tout d'abord, au fait que le nombre 60 est unnombre hautement composé, dont les nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, et 30, facilitent les calculs defractions[1] ; ensuite, à ceci que, contrairement aux Égyptiens et auxRomains, les Babyloniens (comme plus tard lesIndiens) disposaient d'un authentique système ànumération de position[2], où les chiffres les plus à gauche représentent les plus grandes valeurs (exactement comme dans notre système décimal : 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1).
Pour écrire en base soixante, il faut disposer de 59 signes ou « chiffres » (le zéro étant représenté par une place vide). Pour écrire ces « chiffres », deux symboles étaient utilisés :
(unclou) pour désigner l'unité et
(unchevron) pour la dizaine, combinés de manière additive (par juxtaposition de 1 (clou) et de 10 (chevron)). On écrivait plusieurs pour les « chiffres » jusqu'à neuf et plusieurs pour les dizaines, jusqu'à cinq dizaines.
pour le « chiffre » 9.
pour le « chiffre » 17.Le nombre 557 qui correspond à 9 soixantaines et 17 unités, est alors écrit. Par la suite, les spécialistes de mathématiques babyloniennes le noteront 9:17 (on retrouve ici la notation usuelle pour les heures, ainsi 9h et 17 minutes correspondent à 557 minutes).
Il est à noter que les Babyloniens écrivaient de la même manière les nombres égaux à un facteur 60 près. Ainsi, la notation précédente est également utilisée pour écrire 557×60,557/60 ou557/3600.
Les premières traces d'écrits mathématiques remontent auxanciens Sumériens, qui développèrent la première civilisation deMésopotamie. Ils mirent au point unemétrologie élaborée dès À partir de, ils dressent destables de multiplication sur des tablettes d'argile[3] et mettent par écrit des énoncés de problèmesgéométriques et dedivision. C'est aussi de cette période que datent les premiers témoignages de numération babylonienne[4].
C’est à lapériode paléo-babylonienne que se rattachent la plupart des tablettes à contenu mathématique, ce qui explique d'ailleurs pourquoi on a coutume d'appeler les mathématiques de Mésopotamie « mathématiques babyloniennes ». Certaines tablettes comportent des listes ou des tableaux de nombres, d'autres des énoncés de problèmes et leur solution.
Une des tâches des scribes consistait à convertir les nombres écrits à l'aide des divers systèmes métrologiques en notation sexagésimalesavante afin de pouvoir effectuer les calculs. On trouve, à cet effet, de nombreuses tables de conversions métrologiques[5].
Le fait d'effectuer des additions ou des soustractions ne présente pas de difficulté particulière[6].
La multiplication nécessite l'apprentissage de tables qui constitue une part non négligeable de l'étude des scribes[7]. Les Babyloniens utilisaient massivement lestables numériques pour le calcul et la résolution de problèmes d'arithmétique. Par exemple, deux tablettes trouvées à Senkerah sur l’Euphrate en1854, datées de, sont des listes descarrés d’entiers jusqu'à 59 et decubes jusqu’à 32. On trouve même une demi-douzaine de tables listant les 10 premières puissances de certains entiers[8]. La formule connue de nos jours commedifférence de deux carrés permet aux Babyloniens des multiplications plus aisées[9], comme :
Les tablettes en argile des écoles de scribes sont assez peu explicites sur les méthodes de calcul utilisées : la plupart du temps le résultat d'une multiplication est fourni sans aucune trace de calcul. Comme les tables de multiplication trouvées ne concernent pas les 59 chiffres du système sexagésimal, des calculs intermédiaires devaient souvent être nécessaires. Leur absence sur les tablettes laisse supposer l'existence d'un instrument de calcul auxiliaire[10].
Les Babyloniens neposaient pas de division. Pour ce genre de calcul, ils se ramenaient au produit :
et recouraient à une table d’inverses. L’inverse des nombres n'ayant commefacteurs premiers que 2, 3 ou 5 (appelés « nombres 5-lisses » ou « nombres réguliers ») s'écrit avec un nombre fini de chiffres en écriture sexagésimale : or on a retrouvé un grand nombre de tables donnant les inverses de telsnombres entiers.
Il faut se souvenir que pouvait désigner aussi bien ce que nous noterions 1 que 60 ou 60². Deux nombres étaient inverses l'un de l'autre lorsque leur produit était une puissance de soixante. Ainsi, l'« inverse » de
(2) était
(30) car 2×30 = 60. La table d'inverses classique[11] était (en base 60 avec deux points ':' pour séparateur des chiffres) :
2 30 16 3:45 45 1:20 3 20 18 3:20 48 1:15 4 15 20 3 50 1:12 5 12 24 2:30 54 1: 6:40 6 10 25 2:24 1 1 8 7:30 27 2:13:20 1: 4 56:15 9 6:40 30 2 1:12 50 10 6 32 1:52:30 1:15 48 12 5 36 1:40 1:20 45 15 4 40 1:30 1:21 44:26:40
où 6:40, qui désigne 6×60+40 est mis en relation avec 9 car 9×(6×60+40) = 3600 = 60². Donc 9 est l'inverse de 6×60+40 au sens babylonien du terme.
Pour les inverses de nombres réguliers plus complexes, les Babyloniens se ramenaient aux inverses des tables. Ainsi trouve-t-on une méthode détaillée[12] pour trouver l'inverse de 2:05 : sachant que l'inverse de 5 est 12, on sait que 2:05 × 12 = 25 ; par conséquent l'inverse de 2:05 est la fraction12/25= 12 × 2:24 = 28:48. Certaines tablettes comme la CBS1215[13] utilisent des techniques de factorisation pour trouver l'inverse de nombres réguliers complexes[14].
Au contraire, des inverses comme 1/7, 1/11, 1/13, etc. n'ont pas de représentation finie en écriture sexagésimale. Il arrive qu'une division par ces nombres irréguliers apparaissent dans des problèmes sur tablettes. Pour une division par 13 par exemple, le scribe remarque que 13 ne possède pas d'inverse et se pose la question « En tel nombre combien de fois 13 ? » Comme ces problèmes sont préfabriqués, dans un but didactique, une réponse sous forme exacte est fournie sans explication[15]. On répertorie seulement deux tablettes (M10[16] et YBC 10529[17]) présentant des valeurs approchées d'inverses de nombres irréguliers.
Les calculs d'intérêts composés sont utilisés pour calculer le temps nécessaire au doublement d'uncapital, mais cela nécessite derésoudre des équations exponentielles. On n'en trouve qu'unesolution approchée, parinterpolation linéaire[6].
Outre les calculs d'arithmétique, les mathématiciens Babyloniens imaginèrent aussi des algorithmes pour résoudre certaineséquations algébriques. Là encore, ils recouraient à des tables numériques.
Pour résoudre uneéquation du second degré, les Babyloniens se ramenaient fondamentalement à laforme canonique
où lescoefficientsb etc ne sont pas nécessairement des entiers, mais oùc est toujours positif. Ils savaient que la solution positive (la seule qui avait un sens pour eux) à une équation de cette forme s'obtient par la formule
et se servaient de tables de carrés pour trouver les racines carrées intervenant dans cette formule. Parmi les énoncés concrets pouvant se ramener à ce type de calcul, il y avait celui demandant de trouver les dimensions d’un rectangle connaissant sa surface et l’excédent de sa longueur sur sa largeur.
Certaineséquations du troisième degré pouvaient être résolues à l'aide de tables den3+n2. Par exemple, soit l’équation
Multipliant l’équation para2 et la divisant parb3, on obtient
Substituanty =ax/b, cela donne
équation que l'on peut résoudre en consultant une table den3+n2 pour trouver la valeur la plus proche du second membre. Les Babyloniens exécutaient ces calculs sans véritablement poser les opérations algébriques, ce qui témoigne d'une remarquable capacité de concentration. Cependant, ils n'avaient pas d'algorithme général pour résoudre uneéquation du troisième degré quelconque.
Il est possible que les Babyloniens aient disposé de règles générales pour calculer l'aire et le volume de certaines figures géométriques. Ils calculaient la circonférence du cercle en prenant trois fois le diamètre, et l'aire du cercle en prenant un douzième du carré de la circonférence, ce qui revenait à prendre 3 pour la valeur deπ, ce que l'on retrouve dans laBible. Le volume d'uncylindre était calculé en formant le produit de sa base par sa hauteur ; par contre, le calcul du volume ducône tronqué ou de la pyramide à base carrée était incorrect : les Babyloniens formaient le produit de la hauteur par la demi-somme (c'est-à-dire la moyenne) des bases[18]. Ils connaissaient lethéorème de Pythagore en tant que formule[19], sans que l'on ait trace d'une démonstration en tant que telle. On a découvert à Suse, en 1933, une tablette dans laquelle E. M. Bruins et M. Rutten, ont pensé déceler[20] un rapport qui prouverait l'utilisation du nombre sexagésimal 3:07:30 (ou3 + 1/8) comme meilleure approximation deπ.Otto Neugebauer valide cette interprétation dans son livre,The exact Science of antiquity[21] tandis qu'Eleanor Robson émet des doutes sur cette interprétation[22].
Les Babyloniens mesuraient les distances en utilisant lemille babylonien, représentant environ 10 km. Cette unité de mesure avait un équivalent horaire[Lequel ?], ce qui permettait de convertir les positions du soleil dans le ciel en heure du jour[23].
Si les anciens Babyloniens connaissaient depuis des siècles l’égalité des rapports entre les côtés detriangles semblables, le concept d’angle leur était étranger : aussi se ramenaient-ils à des considérations sur les longueurs des côtés[24].
Lesastronomes babyloniens tenaient une chronique précise des levers et couchers desétoiles, du mouvement desplanètes et deséclipses solaires et lunaires, autant de précisions qui supposent une familiarité avec les distancesangulaires mesurées sur lasphère céleste[25].
Les Babyloniens paraissent avoir été les premiers à utiliser leslignes trigonométriques, comme en témoigne une table de nombres portés sur une tablette enécriture cunéiforme, laTablette Plimpton 322 (vers 1900 av. J.-C.), qu'on peut interpréter comme unetable trigonométrique desécantes[26].
Avec la redécouverte de la civilisation babylonienne, il est apparu que les mathématiciens et les astronomes grecs de lapériode classique ethellénistique, en particulierHipparque de Nicée, ont beaucoup emprunté auxChaldéens.
Franz Xaver Kugler, par exemple, a montré[27] la chose suivante : Ptolémée, dans l’Almageste, indique[28] qu’Hipparque a corrigé la durée des phases de la Lune transmises par « des astronomes encore plus anciens » en rapportant les observations des éclipses faite auparavant par « les Chaldéens » aux siennes. Or, Kugler a montré que les périodes que Ptolémée attribue à Hipparque étaient déjà utilisées dans deséphémérides babyloniens, à savoir le recueil nommé « Système B » (parfois attribué àKidinnu). Apparemment, Hipparque s'est borné à confirmer par ses observations l'exactitude des valeurs de périodes qu'il avait lues dans les écrits des Chaldéens.
Il est évident qu’Hipparque (et Ptolémée à sa suite) disposait d'une liste complète des observations d’éclipses sur plusieurs siècles. Celles-ci avaient très probablement été compilées à partir des « tablettes-journaux », tablettes d'argile contenant toutes les observations significatives effectuées au jour le jour par les Chaldéens. Les exemplaires préservés datent de652 av. J.-C. à130 de notre ère, mais les événements célestes qui y sont consignés remontent très probablement au règne du roiNabonassar : car Ptolémée fait commencer sa chronologie au premier jour du calendrier égyptien, la première année du règne de Nabonassar, c’est-à-dire le
Il n'a pas dû être facile d'exploiter toute cette masse d'observations, et il n'est pas douteux que les Chaldéens eux-mêmes se servaient de tables abrégées contenant, par exemple, uniquement les éclipses observées (on a trouvé quelques tablettes portant une liste de toutes les éclipses sur une période correspondant à un « saros »). Ces tables leur permettaient déjà de constater le retour périodique de certains phénomènes. Parmi les périodes utilisées dans le recueil du « Système B » (cf.Almageste IV.2), on trouve :
Les Babyloniens exprimaient toutes les périodes enmois synodiques, probablement parce qu'ils utilisaient uncalendrier luni-solaire. Le choix des intervalles entre les phénomènes célestes périodiques survenant en l'espace d'une année donnait différentes valeurs pour la longueur d'une année.
De même, on connaissait plusieurs relations entre les périodes desplanètes. Les relations que Ptolémée attribue à Hipparque[29] avaient déjà servi pour des prédictions retrouvées sur des tablettes babyloniennes.
Toutes ces connaissances passèrent auxGrecs, sans doute peu après la conquête d’Alexandre le Grand (-331). Selon le philosopheSimplicius (début duVIe siècle), Alexandre avait ordonné la traduction des éphémérides astronomiques chaldéens, et en avait confié la supervision à son biographeCallisthène d’Olynthos, qui les envoya à son oncleAristote. Si Simplicius ne nous offre qu'un témoignage tardif, son récit n'en est pas moins fiable, car il passa quelque temps en exil à la cour desSassanides, et a pu avoir accès à des sources documentaires ayant disparu en Occident. Ainsi il est frappant qu'il emploie le titretèresis (en grec: « veille »), étrange pour un livre d'histoire, mais qui constitue une traduction précise du babylonienmassartu qui signifie « monter la garde » mais également « observer ». Quoi qu'il en soit, c’est vers cette époque queCalippe de Cyzique, un élève d’Aristote, proposa l’emploi d'un cycle de 76 ans, qui améliore lecycle de Méton, d'une durée de 19 ans. Il faisait démarrer la première année de son premier cycle ausolstice d’été (28 juin) de l'an330 av. J.-C. (datejulienneprolepse), mais par la suite il semble qu'il ait compté les mois lunaires à partir du mois suivant la victoire d’Alexandre à labataille de Gaugamèles, à l'automne331 av. J.-C. Ainsi, Calippe a pu obtenir ses données de sources babyloniennes, et il est donc possible que son calendrier soit antérieur à celui de Kidinnu. On sait par ailleurs que le prêtre babylonien connu sous le nom deBérose écrivit vers281 av. J.-C. une histoire (à caractère plutôt mythologique) en grec de la Babylonie, lesBabyloniaca, dédiées au nouveau monarqueAntiochosIer ; et l’on dit qu’il fonda par la suite une école d’astrologie sur l’île grecque deCos. Parmi les autres auteurs qui ont pu transmettre aux Grecs les connaissances babyloniennes enastronomie-astrologie, citonsSoudinès qui vivait à la cour du roiAttaleIer Sôter à la fin duIIIe siècle av. J.-C.
Quoi qu’il en soit, la traduction de ces annales astronomiques exigeait une connaissance profonde de l’écriture cunéiforme, de la langue et des méthodes, de sorte qu’il est vraisemblable qu'on a confié cette tâche à un Chaldéen dont le nom ne nous est pas parvenu. Les Babyloniens, en effet, dataient leurs observations dans leur calendrier luni-solaire, dans lequel la durée des mois et des années n'est pas fixe (29 ou 30 jours pour les mois ; 12 ou 13 mois pour les années). Qui plus est, à cette époque il n'utilisaient pas encore de calendrier régulier (fondé par exemple sur un cycle, comme lecycle de Méton), mais faisaient démarrer un mois à chaquenouvelle lune. Cette pratique rendait fastidieux le calcul du temps séparant deux événements.
La contribution d’Hipparque a dû consister à convertir ces données en dates ducalendrier égyptien, qui est fondé sur une année d'une durée fixe de 365 jours (soit 12 mois de 30 jours et 5 jours supplémentaires) : ainsi le calcul des intervalles de temps est beaucoup plus simple. Ptolémée datait toutes ses observations dans ce calendrier. Il écrit d’ailleurs que « Tout ce qu'il (=Hipparque) a fait, c'est une compilation des observations des planètes ordonnée de façon plus commode[30]. »Pline l'Ancien, traitant de la prédiction des éclipses écrit[31] : « Après eux(=Thalès) les positions des deux astres (=le Soleil et la Lune) pour les 600 années à venir furent annoncées par Hipparque, … » Cela doit vouloir dire qu'Hipparque a prédit les éclipses pour une période de 600 ans, mais étant donné l'énorme quantité de calculs que cela représente, c'est très peu probable. Plus vraisemblablement, Hipparque aura compilé une liste de toutes les éclipses survenues entre le temps de Nabonasser et le sien.
Voici d'autres traces de pratiques babyloniennes dans l’œuvre d’Hipparque :
À l’époque hellénistique, les mathématiques et l’astronomie babylonienne exerçaient une influence profonde sur les mathématiciens d’Alexandrie, dans l’Égypte des Ptolémée(−321 à −31) comme pendant lapériode romaine de l'Égypte(−30 à 641). Cette influence est particulièrement évidente dans les écritsastronomiques et mathématiques d’Hipparque, dePtolémée, deHéron d'Alexandrie et deDiophante. Dans le cas de Diophante, l’héritage babylonien est tellement visible dans sesArithmetica que certains chercheurs ont avancé qu'il avait pu être un « Babylonienhellénisé[32] ». De même, l'empreinte babylonienne sur l'œuvre de Héron a laissé soupçonner que ce savant était peut-être d'originephénicienne[33].
Après laconquête musulmane de la Perse, la Mésopotamie prit le nomarabe d’Irak. Sous lecalifatabbasside, la capitale de l’empire fut transférée àBagdad, ville fondée en Irak auVIIIe siècle. DuVIIIe siècle auXIIIe siècle, période fréquemment désignée comme l’ « Âge d'or de l’Islam », l’Irak-Mésopotamie retrouva le statut de centre de l’activité mathématique. Nombre des plus grands mathématiciens de l'époque travaillaient en Irak, parmi lesquelsAl-Khawarizmi,Al-Abbās ibn Said al-Jawharī,'Abd al-Hamīd ibn Turk,Al-Kindi (Alkindus),Hunayn ibn Ishaq (Johannitius), lesfrères Banou Moussa, la dynastie desThābit ibn Qurra,Albatenius, lesFrères de Pureté,Al-Saghani (en),Abū Sahl al-Qūhī,Ibn Sahl,Abu Nasr Mansur ibn Iraq,Alhazen,Ibn Tahir al-Baghdadi, etIbn Yahyā al-Maghribī al-Samaw'al. L’activité mathématique en Irak s'interrompit après lesac de Bagdad en 1258.
« De l’époque d’Alexandre le Grand au moins jusqu'à la décadence de la civilisation classique, il y eut indubitablement d'intenses échanges entre Grèce et Mésopotamie, et il paraît clair que l'arithmétique et l'algèbre géométrique babylonienne continuèrent d’exercer une influence considérable sur le monde hellénistique. Ainsi, cette facette des mathématiques transparaît si visiblement chez Héron d'Alexandrie (dont l’acmè se situe vers 100 de notre ère) qu'on a pu le croire égyptien ou phénicien plutôt que grec. On pense aujourd'hui que Héron représente un type de mathématiques qui a toujours été pratiqué en Grèce mais qui n'a pas eu de représentant parmi les grandes figures - sauf peut-être le Ptolémée duTetrabiblos. »
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