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Machine de Turing

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Pour les articles homonymes, voirTuring.

Fig. 1 : Une hiérarchie d'automates.
Vue d’artiste d’une Machine de Turing (sans la table de transition)
Fig. 2 : Vue d’artiste d’une machine de Turing : un ruban infini muni d'une tête de lecture/écriture. La machine dispose également d'une table de transition, non représentée sur l'image.

Eninformatique théorique, unemachine de Turing est un modèle abstrait du fonctionnement desappareils mécaniques de calcul, tel unordinateur. Ce modèle a été imaginé parAlan Turing en 1936, en vue de donner une définition précise au concept d’algorithme ou de « procédure mécanique ».Il est toujours largement utilisé eninformatique théorique, en particulier dans les domaines de lacomplexité algorithmique et de lacalculabilité.

À l'origine, le concept de machine de Turing, inventé avant l'ordinateur, était censé représenter une personne virtuelle exécutant une procédure bien définie, en changeant le contenu des cases d'un ruban infini, en choisissant ce contenu parmi unensemble fini desymboles. D'autre part, à chaque étape de la procédure, la personne doit se placer dans un état particulier parmi un ensemble fini d'états. La procédure est formulée en termes d'étapes élémentaires du type : « si vous êtes dansl'état 42 et que le symbole contenu sur la case que vous regardez est « 0 », alors remplacer ce symbole par un « 1 », passer dansl'état 17, et regarder maintenant la case adjacente à droite ».

Lathèse de Church postule que tout problème de calcul fondé sur une procédure algorithmique peut être résolu par une machine de Turing. Cette thèse n'est pas un énoncé mathématique, puisqu'elle ne suppose pas une définition précise des procédures algorithmiques. En revanche, il est possible de définir une notion de « système acceptable de programmation » et de démontrer que le pouvoir de tels systèmes est équivalent à celui des machines de Turing (ils sontTuring-complets).

Définition

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Quoique son nom de « machine » puisse conduire à croire le contraire, une machine de Turing est un concept abstrait, c'est-à-dire un objet mathématique. Une machine de Turing comporte les éléments suivants :

  1. Unruban infini divisé en cases consécutives. Chaque case contient un symbole d'unalphabet fini donné. L'alphabet contient un symbole spécial appelé « symbole blanc » ('0' dans les exemples qui suivent), et un ou plusieurs autres symboles. Le ruban est supposé être de longueur illimitée vers la gauche et vers la droite, en d'autres termes la machine doit toujours avoir assez de longueur de ruban pour son exécution. On considère que les cases du ruban contiennent par défaut le « symbole blanc » ;
  2. Unetête de lecture/écriture qui peut lire et écrire les symboles sur le ruban, et se déplacer vers la gauche ou vers la droite du ruban ;
  3. Unregistre d'état qui mémorise l'état courant de la machine de Turing. Le nombre d'états possibles est toujours fini, et il existe un état spécial appelé « état de départ » qui est l'état initial de la machine avant son exécution ;
  4. Unetable d'actions qui indique à la machine quel symbole écrire sur le ruban, comment déplacer la tête de lecture (par exemple « ←{\displaystyle \leftarrow } » pour une case vers la gauche, « →{\displaystyle \rightarrow } » pour une case vers la droite), et quel est le nouvel état, en fonction du symbole lu sur le ruban et de l'état courant de la machine. Si aucune action n'existe pour une combinaison donnée d'un symbole lu et d'un état courant, la machine s'arrête.

Définition formelle

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Plusieurs définitions formelles proches les unes des autres peuvent être données d'une machine de Turing. L'une d'elles[1], relativement courante, est choisie ici. Une machine de Turing est un quintuplet(Q,Γ,q0,δ,F){\displaystyle (Q,\Gamma ,q_{0},\delta ,F)} où :

Il s'agit d'un modèle de machine de Turing complète et déterministe ; i.e∀q∈Q,∀γ∈Γ,δ(q,γ){\displaystyle \forall q\in Q,\forall \gamma \in \Gamma ,\delta (q,\gamma )} est définie et unique[3].

Les flèches dans la définition deδ{\displaystyle \delta } représentent les deux déplacements possibles de la tête de lecture/écriture, à savoir le déplacement à gauche et le déplacement à droite. La signification de cette fonction de transition peut être expliquée sur l'exemple suivant :δ(q1,x)=(q2,y,←){\displaystyle \delta (q_{1},x)=(q_{2},y,\leftarrow )} signifie que si la machine de Turing est dans l'étatq1{\displaystyle q_{1}} et qu'elle lit le symbolex{\displaystyle x}, alors elle écrity{\displaystyle y} à la place dex{\displaystyle x}, va dans l'étatq2{\displaystyle q_{2}}, puis déplace sa tête de lecture vers la gauche.

Le fonctionnement de la machine de Turing est alors le suivant : à chaque étape de son calcul, la machine évolue en fonction de l'état dans lequel elle se trouve et du symbole inscrit dans la case du ruban où se trouve la tête de lecture. Ces deux informations permettent la mise à jour de l'état de la machine grâce à la fonction de transition. À l'instant initial, la machine se trouve dans l'étatq0{\displaystyle q_{0}}, et le premier symbole du ruban est l'entrée du programme. La machine s'arrête lorsqu'elle rentre dans un état terminal. Le résultat du calcul est alors le mot formé par les symboles successivement lus par la machine.

On peut contraindre un alphabet des entrées possiblesΣ{\displaystyle \Sigma } dans la définition. On peut ainsi travailler plus précisément sur cet alphabet en réservant certains symboles de l'alphabet completΓ{\displaystyle \Gamma } pour les étapes de calcul de la machine. En particulier,le symbole blancB{\displaystyle B} ne doit pas faire partie de l'entrée et peut donc définir la fin de cette dernière[pas clair].

Le premier exemple ci-dessous utilise une version très légèrement différente de machine de Turing dans laquelle une machine s'arrête si elle est dans un état terminal et qu'elle lit un certain caractère sur le ruban (ici le symbole blanc). Le deuxième exemple ci-dessous est le premier exemple historique donné par Turing dans son article de 1936 : c'est une machine qui ne s'arrête pas.

Exemples

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Doubler le nombre de ‘1’

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La machine de Turing qui suit possède un alphabet {‘0’, ‘1’}, ‘0’ étant le « symbole blanc ». On suppose que le ruban contient une série de ‘1’, et que la tête de lecture/écriture se trouve initialement au-dessus du ‘1’ le plus à gauche. Cette machine a pour effet de doubler le nombre de ‘1’, en intercalant un ‘0’ entre les deux séries. Par exemple, « 111 » devient « 1110111 ».
L’ensemble d’états possibles de la machine est {e1, e2, e3, e4, e5} et l’état initial est e1.
La table d’actions est la suivante :

Exemple de table de transition
Ancien étatSymbole luSymbole écritMouvementNouvel état
e10(Arrêt)
10Droitee2
e211Droitee2
00Droitee3
e311Droitee3
01Gauchee4
e411Gauchee4
00Gauchee5
e511Gauchee5
01Droitee1

L’exécution de cette machine pour une série de deux '1' serait (la position de la tête de lecture/écriture sur le ruban est inscrite en caractères gras et rouges) :

Exécution (1)
ÉtapeÉtatRuban
1e111
2e201
3e2010
4e30100
Exécution (2)
ÉtapeÉtatRuban
5e40101
6e50101
7e50101
8e11101
Exécution (3)
ÉtapeÉtatRuban
9e21001
10e31001
11e310010
12e410011
Exécution (4)
ÉtapeÉtatRuban
13e410011
14e510011
15e111011
 (Arrêt)

Le comportement de cette machine peut être décrit comme une boucle :

  • Elle démarre son exécution dans l’état e1, remplace le premier 1 par un 0.
  • Puis elle utilise l’état e2 pour se déplacer vers la droite, en sautant les 1 (un seul dans cet exemple) jusqu'à rencontrer un 0 (ou un blanc), et passer dans l'état e3.
  • L’état e3 est alors utilisé pour sauter la séquence suivante de 1 (initialement aucun) et remplacer le premier 0 rencontré par un 1.
  • L'état e4 permet de revenir vers la gauche jusqu’à trouver un 0, et passer dans l’état e5.
  • L'état e5 permet ensuite à nouveau de se déplacer vers la gauche jusqu’à trouver un 0, écrit au départ par l’état e1.
  • La machine remplace alors ce 0 par un 1, se déplace d’une case vers la droite et passe à nouveau dans l’état e1 pour une nouvelle itération de la boucle.

Ce processus se répète jusqu’à ce que e1 tombe sur un 0 (c’est le 0 du milieu entre les deux séquences de 1) ; à ce moment, la machine s’arrête.

Calculer un tiers en binaire

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Dans l'exemple qui suit, la machine de Turing possède un ruban vide et permet de construire la suite 01010101010101...

Exemple de table infinie
Ancien étatSymbole écritMouvementNouvel état
a0Droiteb
b1Droitea

L’exécution de cette machine serait (la position de la tête de lecture/écriture sur le ruban est inscrite en caractères gras etmagenta) :

Exécution de la Machine infinie
ÉtapeÉtatRuban
1a0
2b01
3a010
4b0101
5a01010
6b010101
7a0101010
8b01010101
......01010101...

Le comportement de cette machine peut être décrit comme une boucle infinie :

  • Elle démarre son exécution dans l’état a, ajoute un 0 et se déplace à droite.
  • Puis elle passe à l'état b, ajoute un 1 et se déplace à droite.
  • Elle revient dans l'état a et réitère la première étape.

Cette machine est la contrepartie du calcul de un tiers dont l'écriture en binaire est 0,010101010101...; en effet dans le système binaire0.0101=14+116{\displaystyle 0.0101={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}} et

0.01010101...=∑k=1+∞14k=14∑k=0+∞14k=14∗43=13{\displaystyle 0.01010101...=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{4^{k}}}={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {1}{4^{k}}}={\frac {1}{4}}*{\frac {4}{3}}={\frac {1}{3}}} soit un tiers écrit dans le système binaire.

Trois exemples de programmes qui fonctionnent sur une machine avec 11 états.

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1) Établir une bijection entre les entiers naturels et les points du plan de coordonnées entières et positives[4].

2) Inversion d'une chaîne de caractères en utilisant une suite de transpositions

3) Vérification de la conjecture de Collatz

Machines de Turing universelles

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Article détaillé :Machine de Turing universelle.
Un modèle de la machine de Turing.

Comme Alan Turing le montre dans son article fondateur, il est possible de créer une machine de Turing qu'on appelle « machine de Turing universelle » et qui est capable de « simuler » le comportement de n'importe quelle autre machine de Turing. « Simuler » signifie que si la machine de Turing universelle reçoit en entrée un codage d'une machineT et des donnéesD, elle produit le même résultat que la machineT à laquelle on donnerait en entrée les donnéesD.

Une machine de Turing universelle a la capacité de calculer tout ce qui est calculable : on dit alors qu'elle estTuring-complète. En lui fournissant le codage adéquat, elle peut simuler toutefonction récursive, analyser toutlangage récursif, et accepter toutlangage partiellement décidable. Selon lathèse de Church-Turing, les problèmes résolubles par une machine de Turing universelle sont exactement les problèmes résolubles par unalgorithme ou par uneméthode concrète de calcul.

Réalisation d'une machine de Turing

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La machine de Turing de Marc Raynaud.Voir

Une machine de Turing est un objet de pensée : son ruban est infini, et donc la mémoire d'une machine de Turing est infinie. Une machine de Turing n'engendre jamais dedébordement de mémoire, contrairement à un ordinateur dont la mémoire est finie. En oubliant ce problème de mémoire, on peutsimuler une machine de Turing sur un ordinateur moderne.

Il est aussi possible de construire des machines de Turing purement mécaniques. La machine de Turing, objet de pensée, a pu ainsi êtreréifiée à de nombreuses reprises en utilisant des techniques parfois assez originales, dont voici quelques exemples.

Illustration d’une réalisation de machine de Turing en Lego créée pour l’année Turing
La machine de Turing en Lego créée à l’occasion du projet Rubens de l'ENS-Lyon.
  • En, Jim MacArthur a réalisé une machine de Turing mécanique compacte, à 5 symboles, avec des billes comme support d'informations sur le ruban[5].
  • En, à l’occasion de l’année Turing (en), une équipe d'étudiants de l'École normale supérieure de Lyon a réalisé une machine de Turing entièrement faite de piècesLego sans électronique[6],[7].
  • En novembre 2013, Marc Raynaud élabore un prototype électromécanique de la machine de Turing à 3 symboles, 12 états et 100 cases sur le ruban. Il fonctionne à la fréquence de 1 Hertz[8]. Facilement transportable, ce prototype est utilisé régulièrement , dans le cadre de recherches algorithmiques, par des professeurs, des étudiants et des lycéens.
  • En 2019, des chercheurs anglo-saxons réalisent une machine de Turing à l'aide d'uncombo dans le jeu de cartesMagic : L'Assemblée[9].
Machine de Turing programmable avec 3 symboles et au plus 12 états.
  • En octobre 2020, une machine de Turing pédagogique conçue par Thierry Delattre (Dunkerque), programmable pour des algorithmes ayant au maximum 12 états et avec un alphabet de 3 symboles. 50 algorithmes peuvent être stockés en mémoire. Une version ayant 22 états et 8 symboles date de février 2021[10].

Références et bibliographie

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Références

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  1. ↑(en)Harry R. Lewis etChristos Papadimitriou,Elements of the Theory of Computation.Prentice-Hall, 1982; second edition September 1997.
  2. ↑« FINAL », d'après le TLFi :« En fait, il y a flottement entrefinals etfinaux : le1er semble être le plur. de la lang. cour. et des écrivains, le second celui des linguistes et des économistes ».
  3. ↑Kévin Perrot, « Calculabilité. Cours 1 : machines de Turing », suruniv-mrs.fr,(consulté en)
  4. ↑Marc RAYNAUD, « Machine de Turing expérimentale »,
  5. ↑(en) Jim MacArthur, « Turing machine », sursrimech.blogspot.fr,(consulté le).
  6. ↑« Projet RUBENS », surrubens.ens-lyon.fr,(consulté le).
  7. ↑David Larousserie,Le Monde, « Une machine entièrement mécanique qui ne manque pas d'air », surlemonde.fr,(consulté le).
  8. ↑« Images des mathématiques », surimages-archive.math.cnrs.fr(consulté le)
  9. ↑(en) JenniferOuellette, « It’s possible to build a Turing machine within Magic: The Gathering », surArs Technica,(consulté le)
  10. ↑« Machine de Turing – Codez puis faites exécuter des animations lumineuses attrayantes, des calculs mathématiques sur des nombres binaires, des séries de nombres, ou tout autre application que vous inventerez à loisir ! »(consulté le).

Bibliographie

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Document utilisé pour la rédaction de l’article : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Manuels
Turing
Kleene

Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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