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Enlogique mathématique, unelogique modale est un type delogique formelle qui étend lalogique propositionnelle, lalogique du premier ordre ou lalogique d'ordre supérieur avec desmodalités. Une modalité spécifie desqualités duvrai[pas clair]. Par exemple, une proposition comme « il pleut » peut être précédée d'une modalité :
Il existe toutes sortes de logiques modales comme leslogiques temporelles, lalogique épistémique (logique de connaissance). Eninformatique, la logique modale est utilisée pour son expressivité et les aspectsalgorithmiques. Par exemple, la logique temporelle est utilisée pour spécifier desprogrammes puis lesvérifier.
En logique modale aléthique (ou aristotélicienne, ou classique), on dégage essentiellement quatre modalités :
Ces 4 modalités sont liées, il suffit d'une pour définir les trois autres.
L'interprétation intuitive (non partagée par l'ensemble de la communauté philosophico-logicienne) est la suivante :
On distingue donc deux connecteurs unaires duaux l'un de l'autre :
p signifie que p est nécessairement vrai, tandis quep signifie que p est possiblement vrai, c'est-à-dire compatible avec les connaissances actuelles.
Exemples :
En logique modale aléthique (ou aristotélicienne, ou classique), nous pouvons exprimer les quatre opérateurs à l’aide d’un seul (ici la nécessité) et de la négation. Ainsi :
Une proposition nécessaire ne peut pas êtrefausse sans impliquer decontradiction,a contrario d’une propositioncontingente qui peut être fausse sans pour autant impliquer une contradiction.
D'autres types de logiques modales sont également utilisées, dont les modes sont :
Chaque logique modale est munie d'une série d'axiomes qui définissent le fonctionnement des modalités.
On peut ainsi construire différents systèmes en fonction des axiomes admis.
On dit qu'un système est plus faible qu'un autre lorsque tout ce qui se démontre dans le premier système se démontre dans le second, mais pas réciproquement.
Ceci hiérarchise, du plus faible au plus fort, les systèmes K, T, S4 et S5. De même, K est plus faible que D et T est plus faible que B.[1]
La suite de systèmes K à S5 forme une hiérarchie imbriquée qui compose le noyau de la logique modale normale. L'axiome(D), quant à lui, est principalement utilisé dans les logiques déontique, doxastique et épistémique.
Les modèles de Kripke, ou modèles demondes possibles, donnent une sémantique aux logiques modales.Un modèle de Kripke est la donnée :
La sémantique d'un opérateur modal est définie à partir d'une relation d'accessibilité de la façon suivante : la formule est vraie dans un monde w si, et seulement si la formule est vraie dans tous les mondes accessibles depuis w par la relation.
Les systèmes de logiques modales sont organisés en fonction des règles d'inférence et des axiomes qui les caractérisent.
Les systèmes de logique modale classiques sont ceux qui acceptent la règle d'inférence suivante :
L'usage veut que l'on donne à un tel système un nom canonique du type, où les sont les noms des axiomes du systèmes.
Les systèmes de logique modale monotones sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RM :
L'ensemble des systèmes monotones est inclus dans l'ensemble des systèmes classiques.
Les systèmes de logique modale réguliers sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RR :
L'ensemble des systèmes réguliers est inclus dans l'ensemble des systèmes monotones.
Les systèmes de logique modale normaux sont ceux qui acceptent la règle d'inférence RK :
L'ensemble des systèmes normaux est inclus dans l'ensemble des systèmes réguliers.
Une définition équivalente et plus courante des systèmes normaux est la suivante : un système de logique modal est dit normal s'il comporte l'axiome (K) et accepte la règle de nécessitation (RN) comme règle d'inférence :
Les systèmes normaux sont les plus utilisés, car ce sont ceux qui correspondent auxsémantiques de Kripke. Il est cependant possible de trouver des sémantiques pour des logiques classiques non normales, mais elles présentent en général de moins bonnes propriétés.
Lalogique intuitionniste peut être construite sur la logique aléthique comme une logique modale. La logique modale est un fragment de la logique du premier ordre.
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