Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Aller au contenu
Wikipédial'encyclopédie libre
Rechercher

Logarithme népérien

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Fonction logarithme népérien ou naturel
Notation
Réciproque
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Valeurs particulières
Limite en +∞
+∞
Particularités
Asymptotes
Zéros
1

modifier -modifier le code -modifier WikidataDocumentation du modèle

Lelogarithme népérien, oulogarithme naturel, ou encore jusqu'auXXe sièclelogarithme hyperbolique, transforme, comme les autresfonctions logarithmes, les produits en sommes. L'utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à despuissances rationnelles. Il est souvent notéln().

Le logarithme naturel ou népérien est dit de basee carln(e) = 1.

Le logarithme népérien d'un nombrex peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élevere pour obtenirx. La fonction logarithme népérien est donc labijection réciproque de lafonction exponentielle. C'est également laprimitive définie sur les réels strictement positifs et qui s'annule en 1 de lafonction inversex ↦1/x.

Cette fonction fut notéel. oul, dès le début duXVIIIe siècle[1], et jusque dans la première moitié duXIXe siècle[2], puislog.[3] oulog[4] dès la fin duXVIIIe siècle, puisLog pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrementlogarithme décimal)[5], ou encorelogh (« logarithme hyperbolique »)[6], avant que ne tente de s'imposer la notation préconisée par les normesAFNOR de 1961[7] etISO 80000-2[8] : la notationln. Avec un succès cependant très relatif : la notationlog est encore aujourd'hui utilisée dans plusieurs branches desmathématiques, et tout particulièrement enthéorie des nombres[9], ainsi que dans plusieurslangages de programmation, commeC,C++,SAS,R,MATLAB,Mathematica,Fortran, etBASIC.

Historique

[modifier |modifier le code]
Article connexe :Histoire des logarithmes et des exponentielles.
Table des logarithmes naturels de 0,01 à 100 avec cinq chiffres après la virgule.

Ce logarithme est appelé népérien, en hommage au mathématicien écossaisJohn Napier qui établit les premièrestables logarithmiques (lesquelles ne sont en fait pas des tables de logarithmes népériens[10]). On date en général l'origine des logarithmes népériens en 1647, lorsqueGrégoire de Saint-Vincent travaille sur laquadrature de l'hyperbole et démontre que la fonction obtenue vérifie la propriété d'additivité desfonctions logarithmes. Saint-Vincent ne voit cependant pas de lien avec les logarithmes de Napier, et c'est son discipleAlphonse Antoine de Sarasa qui l'expliquera en1649[11]. Le logarithme népérien s'est tout d'abord appelé « logarithme hyperbolique », en référence à l'aire sous l'hyperbole qu'il représente[12]. L’appellation « logarithme naturel », due àPietro Mengoli en 1659[13], est reprise en 1668 dans une note deNicolaus Mercator sur la série qui porte son nom[14]. Cette série, exploitée parNewton en 1671[15], permet de calculer assez simplement les valeurs du logarithme de Grégoire de Saint-Vincent[16]. Le calcul des autres logarithmes apparaît alors bien compliqué et, naturellement, celui de Grégoire de Saint-Vincent devient alors le logarithme le plusnaturel.

Pour tout réel a > 0, ln(a) peut être défini comme l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction x↦1/x, l'axe des abscisses et les droites d'abscisses 1 et a.

La fonction logarithme naturel comme primitive de la fonction inverse

[modifier |modifier le code]

La fonctioninversex ↦1/x estcontinue sur]0, +∞[. Elle admet donc desprimitives dont une seule s'annule en 1. Cette primitive est appelée logarithme naturel et est donc définie par :

∀x∈R+∗ln⁡(x)=∫1x1t dt.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}~\mathrm {d} t.}

Étude de la fonction

[modifier |modifier le code]

Propriétés algébriques

[modifier |modifier le code]
Article détaillé :Identités logarithmiques.

Le logarithme naturel vérifie la mêmeéquation fonctionnelle que toutefonction logarithme. C'est une fonction continue vérifiant, pour tous réelsx ety strictement positifs,

ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y).{\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).}

En effet, poury > 0 fixé, la fonctionx ↦ ln(xy) (définie sur]0, +∞[) a la même dérivée que le logarithme naturel, donc en diffère d'une constante réellek :ln(xy) = ln(x) +k, aveck = ln(y) puisqueln(1y) = ln(1) +k =k.

De cette propriété algébrique, on déduit les suivantes, pour tous réelsa etb strictement positifs :

Puis par continuité

Le fait que toutes les fonctions logarithmes soient proportionnelles entre elles permet d'obtenir, pour tout réela strictement positif, lelogarithme de basea en fonction du logarithme népérien :

loga⁡(x)=ln⁡(x)ln⁡(a).{\displaystyle \log _{a}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(a)}}.}

La fonction logarithme naturel comme réciproque de la fonction exponentielle

[modifier |modifier le code]

L'étude de la fonction logarithme naturel a montré que c'est unebijection de]0, +∞[ dans ℝ. Sabijection réciproque, de ℝ dans]0, +∞[, coïncide avec lafonction exponentielle, puisqu'elle est sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Ceci fournit une définition possible de la fonction exponentielle à partir du logarithme. Inversement, on aurait pu définir le logarithme comme la bijection réciproque de l'exponentielle et vérifier alors sacaractérisation ci-dessus.

Démonstration

Soientf : ]0, +∞[ → ℝ etg : ℝ → ]0, +∞[ deux bijections, réciproques l'une de l'autre. On a bien sûr :f(1) = 0 si et seulement sig(0) = 1. Montrons, grâce au théorème sur ladérivée d'une bijection réciproque, quef est une primitive dex ↦1/x si et seulement sig est sa propre dérivée.

Sif est dérivable et si pour tout réelx > 0,f' (x) =1/x, alorsg est dérivable et

∀y∈Rg′(y)=1f′(g(y))=g(y).{\displaystyle \forall y\in \mathbb {R} \qquad g'(y)={\frac {1}{f'(g(y))}}=g(y).}

Réciproquement, sig est dérivable et si pour tout réely,g' (y) =g(y), alorsf est dérivable et

∀x∈]0,+∞[f′(x)=1g′(f(x))=1g(f(x))=1x.{\displaystyle \forall x\in ]0,+\infty [\qquad f'(x)={\frac {1}{g'(f(x))}}={\frac {1}{g(f(x))}}={\frac {1}{x}}.}

Autrement dit :

∀x∈R+⋆eln⁡(x)=xet∀y∈Rln⁡(ey)=y,{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{\star }\quad {\rm {e}}^{\ln(x)}=x\qquad {\text{et}}\qquad \forall y\in \mathbb {R} \quad \ln({\rm {e}}^{y})=y,}

ce qui se résume en :

∀x∈R+∗, ∀y∈Ry=ln⁡(x)⇔x=ey{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} _{+}^{*},~\forall y\in \mathbb {R} \quad y=\ln(x)\Leftrightarrow x={\rm {e}}^{y}}

et permet de résoudre des équations dans lesquelles l'inconnue apparaît en exposant.

Cette relation permet d'exprimer toutes les autresfonctions exponentielles de base un réela strictement positif par (pour tout réelx) :

ax=exln⁡(a).{\displaystyle a^{x}={\rm {e}}^{x\ln(a)}.}

Cette définition coïncide évidemment avec celle dear pourr rationnel.

Développement en série

[modifier |modifier le code]
La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série de Mercator.
La fonction logarithme naturel et son approximation par les premiers termes de la série
2∑k=0∞12k+1(y−1y+1)2k+1.{\displaystyle 2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {y-1}{y+1}}\right)^{2k+1}.}

La fonctionln⁡(x){\displaystyle \ln(x)} n'admet pas de développement en série deTaylor, ni même deLaurent autour de0{\displaystyle 0}.

C'estNicolaus Mercator qui a été le premier à proposer le développement ensérie entière deln⁡(1+x){\displaystyle \ln(1+x)}; lerayon de convergence de ce développement est1. On a donc lasérie de Taylor :

∀x∈]−1,1[ln⁡(1+x)=−∑n=1∞(−x)nn=x−x22+x33−⋯=x(11−x(12−x(13−x(14−x(15−⋯))))).{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \ln(1+x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{n}}{n}}\\&=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \\&=x\left({\frac {1}{1}}-x\left({\frac {1}{2}}-x\left({\frac {1}{3}}-x\left({\frac {1}{4}}-x\left({\frac {1}{5}}-\cdots \right)\right)\right)\right)\right).\end{aligned}}}

(Voir aussiFonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

D'après laformule de Taylor-Lagrange[17] ou lethéorème de convergence radiale d'Abel, ce développement est encore valide pourx = 1. On obtient ainsi la somme de lasérie harmonique alternée.

D'autre part, notons queLeonhard Euler a hardiment appliqué ce développement àx = –1[18]. Sans se soucier de la convergence, il montre que la série harmonique est le logarithme naturel de1/1 – 1, c'est-à-dire de l'infini. Aujourd'hui on formalise cette remarque d'Euler par :« la série harmonique tronquée enN est proche du logarithme deN lorsqueN est grand » ; plus précisément, les différences entre somme partielle de la série harmonique et logarithme naturel convergent vers laconstante d'Euler-Mascheroni.

Pour obtenir une meilleurevitesse de convergence, on peut en déduire :

∀x∈]−1,1[ln⁡(1+x1−x)=2x(11+13x2+15x4+17x6+19x8+⋯)=2x(11+x2(13+x2(15+x2(17+x2(19+⋯))))),{\displaystyle {\begin{aligned}\forall x\in \left]-1,1\right[\quad \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&=2x\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}x^{2}+{\frac {1}{5}}x^{4}+{\frac {1}{7}}x^{6}+{\frac {1}{9}}x^{8}+\cdots \right)\\&=2x\left({\frac {1}{1}}+x^{2}\left({\frac {1}{3}}+x^{2}\left({\frac {1}{5}}+x^{2}\left({\frac {1}{7}}+x^{2}\left({\frac {1}{9}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right),\end{aligned}}}

qui se réécrit :

∀y∈]0,+∞[ln⁡(y)=2∑k=0∞12k+1(y−1y+1)2k+1.{\displaystyle \forall y\in \left]0,+\infty \right[\quad \ln(y)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {y-1}{y+1}}\right)^{2k+1}.}

Algorithme de calcul utilisant la méthode de Halley

[modifier |modifier le code]

Pour calculer avec précision, le logarithme népérien d'un réelx, l'approche de la série de Taylor n'est pas efficace car la convergence est lente. Surtout six est proche de 1, une bonne alternative est d'utiliser laméthode de Halley ou laméthode de Newton pour inverser la fonction exponentielle, car la série définissant la fonction exponentielle converge plus rapidement. Pour trouver la valeur dey dans l'équationexp⁡(y)−x=0{\displaystyle \exp(y)-x=0} en utilisant la méthode de Halley, ou de manière équivalente pour exprimerexp⁡(y/2)−xexp⁡(−y/2)=0{\displaystyle \exp(y/2)-x\exp(-y/2)=0} en utilisant la méthode de Newton, l'itération se simplifie enyn+1=yn+2⋅x−exp⁡(yn)x+exp⁡(yn){\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}} qui a uneconvergence cubique[19],[20] versln⁡(x){\displaystyle \ln(x)}.

Propriétés complémentaires

[modifier |modifier le code]

Étude des limites

[modifier |modifier le code]

Les limites suivantes permettent de déterminer lescroissances comparées du logarithme naturel et d'unefonction puissance quelconque :

∀α>0,limx→0+xαln⁡(x)=0etlimx→+∞ln⁡(x)xα=0.{\displaystyle \forall \alpha >0,\qquad \lim \limits _{x\to 0^{+}}x^{\alpha }\ln(x)=0\qquad {\text{et}}\qquad \lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x^{\alpha }}}=0.}

Dérivée logarithmique

[modifier |modifier le code]
Article détaillé :Dérivée logarithmique.

Pour toute fonction réelle dérivableu, lafonction composéeln∘|u| (définie en tout point oùu ne s'annule pas) est dérivable, de dérivée

(ln∘|u|)′=u′u.{\displaystyle \left(\ln \circ |u|\right)'={\frac {u'}{u}}.}

Cette dérivée s'appelle ladérivée logarithmique de la fonctionu. Elle représente une variation instantanée relative. C'est donc une mesure utile tant en économie qu'en calcul d'erreur. Elle permet d'autre part un calcul plus simple de la dérivée de fonctions données sous forme de produits, quotients ou puissances.

Primitive

[modifier |modifier le code]

En appliquant la formule d'intégration par parties au produit des fonctionsln{\displaystyle \ln } etx↦1{\displaystyle x\mapsto 1}, on obtient :

∀x>0∫1xln⁡(t) dt=xln⁡(x)−x+1{\displaystyle \forall x>0\quad \int _{1}^{x}\ln {(t)}\ \mathrm {d} t=x\ln {(x)}-x+1}.

D'après lethéorème fondamental de l'analyse, les primitives deln{\displaystyle \ln } sont donc les fonctions de la forme

x↦xln⁡(x)−x+k,k∈R{\displaystyle x\mapsto x\ln {(x)}-x+k,\quad k\in \mathbb {R} },

la plus simple étant la fonctionx↦xln⁡(x)−x{\displaystyle x\mapsto x\ln {(x)}-x}.

La fonction logarithme naturel comme fonction de la variable complexe

[modifier |modifier le code]
Articles détaillés :Analyse complexe etLogarithme complexe.

La question de savoir s'il est possible de prolonger le logarithme naturel (c'est-à-dire de le définir sur un ensemble plus grand que]0, +∞[) s'est posée dès la seconde moitié duXVIIe siècle avec les développements en série des fonctions. Le problème est qu'il n'existe aucune fonction univoque continue sur ℂ*, possédant lapropriété algébrique des fonctions logarithmes et coïncidant sur]0, +∞[ avec la fonction logarithme népérien réelle.

On peut cependant définir le logarithme d'un nombre négatif en posant, pour tout réela strictement positif,ln(–a) = ln(a) +iπ, mais la fonction ainsi définie n'a pas les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien réelle. On peut la rencontrer lorsqu'on travaille avec une calculatrice traitant lesnombres complexes : si l'on étudie la fonctionx ↦ |ln(x)|, la calculatrice peut être amenée à définir cette fonction sur ℝ* en interprétant lavaleur absolue comme un module :

|ln⁡(−a)|=ln2⁡(a)+π2{\displaystyle \left|\ln(-a)\right|={\sqrt {\ln ^{2}(a)+\pi ^{2}}}} poura réel strictement positif.

Humour

[modifier |modifier le code]

Le logarithme népérien est à la base d'uneblague mathématique en vogue chez les lycéens :

« – Exponentielle et logarithme vont au restaurant : qui paye ?

– Exponentielle, parce que logarithme ne paie rien (mais il ne perd rien pour attendre !)[21],[22]. »

Notes et références

[modifier |modifier le code]
  1. ↑Voir par exemple(la)Leonhard Euler, « Variae observationes circa series infinitas »,Commentarii academiae scientarum Petropolitanae,vol. 9,‎,p. 160-188 ; aussi dansOpera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Quartum Decimum, Teubner, 1925.
  2. ↑Voir par exempleAugustin Cauchy,Exercices d'analyse et de physique mathématique,vol. 3,p. 379,lire en ligne surGoogle Livres.
  3. ↑Voir par exempleAdrien-Marie Legendre,Essai sur la théorie des nombres, Paris, Duprat, an VI (1797 ou 1798).
  4. ↑Voir par exemple(de)Edmund Landau,Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Berlin, 1909 (2e éd. par Chelsea, New York, 1953).
  5. ↑Voir les manuels scolaires en France jusqu'en 1972. Ou par exemple :Nikolaï Piskounov, Calcul différentiel et intégral,5e éd., 1972,Éditions Mir, MoscouIII.10p. 91.
  6. ↑Voir par exemple(en) L. B. W. Jolley,Summation of Series,2e édition (révisée),Dover Publications, New York, 1961,lire en ligne.
  7. ↑NF X 02-1 01 selon les tables numériques de J. Laborde,p. VI, 1976.
  8. ↑ISO 80000-2:2009,Organisation internationale de normalisation.
  9. ↑Voir par exemple cette note de(en)G. H.Hardy etE. M.Wright,An Introduction to the Theory of Numbers (1re éd. 1938)[détail des éditions] (6e éd., Oxford, 2008, 1.7)« log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest. »
  10. ↑A.Dahan-Dalmedico etJ. Peiffer,Une histoire des mathématiques : Routes et dédales,[détail des éditions],p. 214.
  11. ↑Jean-Pierre Le Goff, « De la méthode dite d'exhaustion - Grégoire de Saint Vincent », dansLa démonstration mathématique dans l'histoire,IREM de Besançon.
  12. ↑Simone Trompler, « L'histoire des logarithmes »,ULB,,p. 11.
  13. ↑(la) Mengoli,Geometriae speciosae Elementa. Références et liens collectés par(en) Jeff Miller, « Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics — Natural logarithm ».
  14. ↑(en) Mercator, « Some Illustration of the Logarithmotechnia »,Philosophical Transactions,vol. 3,no 38,‎,p. 759-764(lire en ligne).
  15. ↑Méthode de Newton pour le calcul des logarithmes naturels,La méthode des fluxions et des suites infinies surGallica,p. 102-105.
  16. ↑Trompler 2002,p. 12.
  17. ↑S. Balac et L. Chupin,Analyse et algèbre : cours de mathématiques de deuxième année avec exercices corrigés et illustrations avec Maple,PPUR,(lire en ligne),p. 56.
  18. ↑(la) Leonhard Euler,Introductio in analysin infinitorum, tome 1, Bousquet, Lausanne, 1748, exemple 1,p. 228 ; aussi dansOpera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, vol. 8, Teubner, 1922.
  19. ↑Kaiwen Leong, « A Correct Newton-Raphson and a Better Halley », surhttps://www.jyi.org, Boston University,
  20. ↑Henrik Vestermark, « Fast Logarithm function for Arbitrary Precision number »[PDF]
  21. ↑Bruno Winkler,Blagues mathématiques et autres curiosités, Ellipses,,p. 23
  22. ↑Jean-baptiste Hiriart-Urruty,Humour en mathématiques, Auto-édition,(ISBN 978-2-9571868-0-8),p. 41

Voir aussi

[modifier |modifier le code]

Articles connexes

[modifier |modifier le code]

Liens externes

[modifier |modifier le code]

  • Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généralisteVoir et modifier les données sur Wikidata :

« Poser la modélisation comme question épistémologique pour l’introduction des propriétés des exponentielles dans les classes », conférence deJean Dhombres : parties1,2 et3

Une excellente vidéo en anglais expliquant l'origine des logarithmes naturels

v ·m
Fonction algébriquerationnelle
Fonction algébrique irrationnelle
Fonction transcendante
v ·m
Applications
Définitions
Personnes
Ce document provient de « https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Logarithme_népérien&oldid=229277063 ».
Catégories :
Catégories cachées :
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp