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Lemme des noyaux

Català

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Enalgèbre linéaire, lelemme des noyaux, aussi appeléthéorème de décomposition des noyaux, est un résultat sur laréduction des endomorphismes. Dans unespace vectorielE sur uncorps commutatifK, si un opérateuru deE est annulé par unpolynômeP(X) à coefficients dansK, alors celemme prévoit une décomposition deE commesomme directe desous-espaces vectoriels stables paru. Ces derniers se définissent commenoyaux depolynômes enu et lesprojecteurs associés sont eux-mêmes des polynômes enu.

La démonstration traduit l'identité de Bézout portant sur les polynômes à dessous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à ladécomposition de Dunford puis à ladécomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateuru estdiagonalisable si et seulement s'il est annulé par unpolynôme scindé àracines simples.

Énoncé

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Lemme des noyaux^[1] — SoientE un espace vectoriel sur un corps commutatifK etf unendomorphisme deE. Si $P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ (avecn entier strictement positif) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels $V_{i}=\ker(P_{i}(f))$ (où 1 ≤i ≤ n) sont en somme directe et

\bigoplus _{i=1}^{n}V_{i}=\ker \left[\left(\prod _{i=1}^{n}P_{i}\right)(f)\right].

De plus, laprojection de la somme directe $V {\displaystyle V}$ sur $V_{i}$ parallèlement à $\bigoplus _{j\neq i}V_{j}$ est la restriction à $V {\displaystyle V}$ d'un polynôme en $f {\displaystyle f}$ .

Applications

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Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

Réduction à une forme diagonale par blocs — SoientE un espace vectoriel dedimension finie sur un corpsK,f un endomorphisme deE et $P\in K[X]$ unpolynôme annulateur def (par exemple sonpolynôme minimal, ou sonpolynôme caractéristique d'après lethéorème de Cayley-Hamilton) et $\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{m_{i}}$ la factorisation deP avec les polynômesP_i irréductibles et distincts. Alors il existe unebaseB deE et des matrices $A_{i}\in \mathbf {M} _{n_{i}}(K)$ telles que

\mathrm {Mat} _{B}(f)={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\dots &0\\0&A_{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &A_{n}\end{pmatrix}};

où $n_{i}=\dim \ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ (en fait la partie deB correspondant au bloc $A_{i}$ est une base de $\ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ ), et $P_{i}^{m_{i}}(A_{i})=0$ .

Démonstration

Par hypothèse $\ker P(f)=E$ , donc, d'après le lemme des noyaux :

E=\bigoplus _{i=1}^{n}\ker P_{i}^{m_{i}}(f).

Chaque sous-espace $\ker P_{i}^{m_{i}}(f)$ est stable parf, donc la matrice def dans n'importe quelle base deE adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.

Note

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↑Pour une démonstration, voir « Lemme des noyaux » dans la leçon « Réduction des endomorphismes » sur Wikiversité..

v ·m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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