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Lagrangien

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Pour les articles homonymes, voirLagrangien (homonymie).

Enphysique, lelagrangien d'unsystème dynamique est unefonction desvariables dynamiques qui permettent d'écrire de manière concise leséquations du mouvement du système. Son nom vient deJoseph-Louis Lagrange, qui a établi les principes du procédé (à partir de1788). Auparavant, la mécanique ditenewtonienne était le formalisme dominant, basé sur le concept deforce ; le formalisme de Lagrange est basé sur les énergies (cinétique etpotentielle) ; il facilite l'étude de la dynamique des systèmes soumis à des contraintes (voir par exemple le cas dubrachistochrone) ; pour les systèmes décrits par les équations de Newton, celles-ci se déduisent du formalisme lagrangien (voir infra). AuXIXe,W.R.Hamilton reformulera les équations de Lagrange, sous une forme qui s'avérera très adaptée à lamécanique quantique[1].

Le concept de lagrangien a pris une importance fondamentale en physique classique[2] (voir la pageéquations de Lagrange) et quantique[3] (voir la pagelagrangien en théorie des champs) comme base duprincipe de moindre action ; lethéorème d'E. Noether établit le lien entre les symétries du lagrangien d'un système et lesgrandeurs physiques conservées[4].

Les équations du mouvement

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Considérons unsystème dynamique repéré par des paramètres de positionqi (aussi appeléscoordonnées généralisées[5]). Au cours du temps, ces paramètres varient, leur vitesse de variation étantq˙i=dqidt{\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\mathrm {d} q_{i}}{\mathrm {d} t}}}. L'ensemble des paramètresφi{\displaystyle \varphi _{i}} du système est constitué desqi, desq˙i{\displaystyle {\dot {q}}_{i}} et du tempst. Dans un grand nombre de situations, il est possible de définir une fonctionL[φi]{\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]} telle que, si on pose :

pi=∂L∂q˙i{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}

(ladérivée partielle étant calculée comme si les paramètres étaient indépendants entre eux), alors leséquations du mouvement sont données par[6] :

dpidt=∂L∂qi{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}}

Formellement, on constate que ces équations s'obtiennent par application duprincipe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

δSδφi=0{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0}

avec l'actionS[φi]=∫L[φi(s)]dns{\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,\mathrm {d} ^{n}s}}.

Les équations du mouvement obtenues sont alors équivalentes auxéquations d'Euler-Lagrange issues du principe précédent. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un lagrangien est unsystème dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique dumodèle standard, deséquations de Newton, des équations de larelativité générale, et de problèmes purement mathématiques comme leséquations des géodésiques ou leproblème de Plateau.

Lagrangien en mécanique classique

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La mécanique lagrangienne fut historiquement une reformulation de lamécanique classique à l'aide du concept de lagrangien[1]. Dans ce contexte, le lagrangien est généralement défini[7] par la différence entre l'énergie cinétiqueEc =T et l'énergie potentielleEp =V  :

L=Ec−Ep=T−V{\displaystyle {\mathcal {L}}=E_{c}-E_{p}=T-V}

Avec ce formalisme, l'équation de Lagrange s'écrit :

ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}}

Démonstration

Considérons un système constitué de points matériels de massemi. Les positionsr→i{\displaystyle {\vec {r}}_{i}} de ces points sont fonction des paramètres de positionqk, ces derniers variant au cours du temps. Ces points sont soumis à des forces de liaisonf→i{\displaystyle {\vec {f}}_{i}} , la résultante des autres forces étantF→i{\displaystyle {\vec {F}}_{i}}. S'il n'y a pas de frottement, le travail virtuel des forces de liaison lors d'un déplacement virtuelδr→i{\displaystyle \delta {\vec {r}}_{i}} est nul. La vitesse de chaque particule est donnée par :r→˙i=dr→idt=∑j∂r→i∂qjdqjdt=∑j∂r→i∂qjq˙j{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}_{i}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{j}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{j}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}}C'est une fonction det, desqj et desq˙j{\displaystyle {\dot {q}}_{j}}.

L'énergie cinétique du système est donnée par :T=12∑imir→˙i2.{\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}\,^{2}.}On a, compte tenu de l'expression précédente der→˙i{\displaystyle {\dot {\vec {r}}}_{i}} :∂T∂q˙k=∑imi⟨r→˙i,∂r→˙i∂q˙k⟩=∑imi⟨r→˙i,∂r→i∂qk⟩{\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{i}m_{i}\left\langle {\dot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\partial {\dot {\vec {r}}}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right\rangle =\sum _{i}m_{i}\left\langle {\dot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle }où l'on a noté ⟨ , ⟩ le produit scalaire entre vecteurs. On a donc :ddt∂T∂q˙k=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,ddt∂r→i∂qk⟩=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,∑j∂2r→i∂qk∂qjq˙j⟩.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{i}m_{i}\left\langle {\ddot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle +\sum _{i}m_{i}\left\langle {\dot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle =\sum _{i}m_{i}\left\langle {\ddot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle +\sum _{i}m_{i}\left\langle {\dot {\vec {r}}}_{i},\sum _{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right\rangle .}Mais∑j∂2r→i∂qk∂qjq˙j{\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}} n'est autre que∂∂qk∑j∂r→i∂qjq˙j=∂r→˙i∂qk{\displaystyle {\frac {\partial {}}{\partial q_{k}}}\sum _{j}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}={\frac {\partial {\dot {\vec {r}}}_{i}}{\partial q_{k}}}}. Donc :ddt∂T∂q˙k=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∑imi⟨r→˙i,∂r→˙i∂qk⟩=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩+∂T∂qk{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{i}m_{i}\left\langle {\ddot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle +\sum _{i}m_{i}\left\langle {\dot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\partial {\dot {\vec {r}}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle =\sum _{i}m_{i}\left\langle {\ddot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle +{\frac {\partial T}{\partial q_{k}}}}donc :ddt∂T∂q˙k−∂T∂qk=∑imi⟨r→¨i,∂r→i∂qk⟩.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{k}}}=\sum _{i}m_{i}\left\langle {\ddot {\vec {r}}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle .}L'application du principe fondamental de la dynamique donne, en tenant compte que, en ce qui concerne les forces de liaisons,⟨f→i,∂r→i∂qk⟩=0{\displaystyle \left\langle {\vec {f}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle =0} :ddt∂T∂q˙k−∂T∂qk=∑i⟨F→i,∂r→i∂qk⟩.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{k}}}=\sum _{i}\left\langle {\vec {F}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle .}Supposons que chaque forceF→i{\displaystyle {\vec {F}}_{i}} dérive d'un potentielUi fonction der→i{\displaystyle {\vec {r}}_{i}}, de sorte queF→i=−∇→Ui{\displaystyle {\vec {F}}_{i}=-{\vec {\nabla }}U_{i}} (où∇→{\displaystyle {\vec {\nabla }}} désigne le gradient). On a alors :⟨F→i,∂r→i∂qk⟩=−⟨∇→Ui,∂r→i∂qk⟩=−∂Ui∂qk{\displaystyle \left\langle {\vec {F}}_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle =-\left\langle {\vec {\nabla }}U_{i},{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{k}}}\right\rangle =-{\frac {\partial U_{i}}{\partial q_{k}}}}et donc :ddt∂T∂q˙k−∂T∂qk=−∑i∂Ui∂qk=−∂V∂qk{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{k}}}=-\sum _{i}{\frac {\partial U_{i}}{\partial q_{k}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{k}}}}en prenant pourV la somme desUi. La fonctionV ne dépend que desqk donc, si l'on poseL=T−V{\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}, on obtient :ddt∂L∂q˙k=∂L∂qk{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}}qui est bien l'équation de Lagrange annoncée.

Non-unicité du lagrangien

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Pour un lagrangienL=L(qi,q˙i,t){\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)} donné, s'il est possible de le réécrire commeL=L′+dF(qi,t)dt{\displaystyle L=L'+{\frac {\mathrm {d} F(q_{i},t)}{\mathrm {d} t}}} oùF est unefonction continue et différentiable quelconque des coordonnées généralisées du système, alorsL′{\displaystyle L'} satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange.

Démonstration

Soit un lagrangienL=L(qi,q˙i,t){\displaystyle L=L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}. On suppose que l'on peut le réécrire commeL=L′+dFdt{\displaystyle L=L'+{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}} oùF=F(qi,t){\displaystyle F=F(q_{i},t)} est une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps (une telle fonction peut survenir en effectuant une transformation des coordonnées du système par exemple). Dans ce cas, on a :

0=ddt(∂L∂q˙i)−∂L∂qi=ddt(∂L′∂q˙i)−∂L′∂qi+ddt(∂∂q˙idFdt)−∂∂qidFdt.{\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L'}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L'}{\partial q_{i}}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}

On peut réécrire la dérivée totale deF comme :

dFdt=∑k∂F∂qkdqkdt+∂F∂t=∑k∂F∂qkq˙k+∂F∂t{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}&=\sum _{k}{\frac {\partial F}{\partial q_{k}}}{\frac {\mathrm {d} q_{k}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial F}{\partial t}}\\&=\sum _{k}{\frac {\partial F}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial F}{\partial t}}\\\end{aligned}}}

Donc∂∂q˙idFdt=∂F∂qi{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}}. On insère ceci dans l'équation d'Euler-Lagrange plus haut :

0=ddt(∂L′∂q˙i)−∂L′∂qi+ddt∂F∂qi−∂∂qidFdt=ddt(∂L′∂q˙i)−∂L′∂qi{\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L'}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L'}{\partial q_{i}}}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L'}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L'}{\partial q_{i}}}\end{aligned}}}

et ainsi, on voit que le lagrangienL′{\displaystyle L'} satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange.

Cette propriété de transformation du lagrangien démontre que le lagrangien d'un système n'est jamais unique, car on peut toujours ajouter un terme de la formedFdt{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} t}}} à un lagrangien tout en conservant les équations du mouvement.

Un exemple en coordonnées cartésiennes

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Ladérivée temporelle d'une variable est indiquée par un point porté au-dessus de celle-ci. Ainsi six→{\displaystyle {\vec {x}}} est la position,v→=x→˙{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {x}}}} désigne la vitesse eta→=v→˙=x→¨{\displaystyle {\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {x}}}} l'accélération.

Le lagrangien d'une particule de massem nonrelativiste dans unespace euclidien à trois dimensions, soumise à unpotentielEp s'écrit :

L(x→,x→˙) = Ec−Ep = 12 m v→2 − V(x→) = 12 m x→˙2 − V(x→){\displaystyle L({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})\ =\ E_{c}-E_{p}\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\vec {v}}^{2}\ -\ V({\vec {x}})\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\ -\ V({\vec {x}})}

ou encoreL(x→,x→˙) = p→22m  − V(x→){\displaystyle L({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})\ =\ {\frac {{\vec {p}}\,^{2}}{2m}}\ \ -\ V({\vec {x}})}oùp est laquantité de mouvement :p→ = m v→ = m x→˙{\displaystyle {\vec {p}}\ =\ m\ {\vec {v}}\ =\ m\ {\dot {\vec {x}}}}

Appliquons les équations d'Euler-Lagrange encoordonnées cartésiennes :d dt (∂L∂x˙i) − ∂L∂xi = 0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ~}{\mathrm {d} t}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ 0}où l'indicei désigne l'une des 3 variables spatiales :x1 =x,x2 =y etx3 =z. Les dérivées respectives deL(x→,x→˙){\displaystyle L({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})} donnent alors :

∂L∂xi = − ∂V∂xi{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ -\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}}

∂L∂x˙i = ∂ ∂x˙i(12 m x→˙2) = mx˙i{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\ =\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\,\right)\ =\ m\,{\dot {x}}_{i}}

d dt (∂L∂x˙i) = mx¨i{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ~}{\mathrm {d} t}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ =\ m\,{\ddot {x}}_{i}}

donc on obtient explicitement pour chaque axe spatiali :

mx¨i + ∂V∂xi = 0{\displaystyle m\,{\ddot {x}}_{i}\ +\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}\ =\ 0}

Dans unréférentiel galiléen et lorsque la force dérive du potentielV

F→resultante = − ∇→V(x→){\displaystyle {\vec {F}}_{\text{resultante}}\ =\ -\ {\vec {\nabla }}V({\vec {x}})}on retrouve bien ladeuxième loi de Newton :

m a→ =m x→¨ = F→resultante.{\displaystyle m\ {\vec {a}}\ =m\ {\ddot {\vec {x}}}\ =\ {\vec {F}}_{\text{resultante}}.}

En coordonnées sphériques

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Soit un espace à trois dimensions encoordonnées sphériques(r,θ,φ){\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}, et le lagrangien :

L=m2(r˙2+r2θ˙2+r2sin2⁡(θ)φ˙2)−V(r,θ,φ).{\displaystyle L={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\right)-V(r,\theta ,\varphi ).}

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :ddt(δ(L)δ(r˙))−δ(L)δ(r)=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\delta (L)}{\delta ({\dot {r}})}}\right)-{\frac {\delta (L)}{\delta (r)}}=0}ddt(δ(L)δ(θ˙))−δ(L)δ(θ)=0{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\delta (L)}{\delta ({\dot {\theta }})}}\right)-{\frac {\delta (L)}{\delta (\theta )}}=0}ddt(δ(L)δ(φ˙))−δ(L)δ(φ)=0.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\delta (L)}{\delta ({\dot {\varphi }})}}\right)-{\frac {\delta (L)}{\delta (\varphi )}}=0.}

Soit ici :

mr¨−mr(θ˙2+sin2⁡(θ)φ˙2)+Vr′=0,{\displaystyle m\,{\ddot {r}}-m\,r\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}\right)+V_{r}'=0,}

(mr2θ¨)+2mrr˙θ˙−mr2sin⁡(θ)cos⁡(θ)φ˙2+Vθ′=0,{\displaystyle \left(m\,r^{2}\,{\ddot {\theta }}\right)+2\,m\,r\,{\dot {r}}{\dot {\theta }}-m\,r^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\,{\dot {\varphi }}^{2}+V_{\theta }'=0,}

m(r2sin2⁡(θ)φ¨+2rr˙sin2⁡(θ)φ˙+2r2cos⁡(θ)sin⁡(θ)θ˙φ˙)+Vφ′=0.{\displaystyle m\left(r^{2}\sin ^{2}(\theta )\,{\ddot {\varphi }}+2\,r\,{\dot {r}}\sin ^{2}(\theta )\,{\dot {\varphi }}+2\,r^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\right)+V_{\varphi }'=0.}

Ici l'ensemble des paramètressi{\displaystyle s_{i}} se réduit au tempst{\displaystyle t}, et les variables dynamiquesφi(s){\displaystyle \varphi _{i}(s)} sont les trajectoiresx→(t){\displaystyle {\vec {x}}(t)} des particules.

Lagrangien dans la théorie des champs

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Notation

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L'intégrale du lagrangien sur le temps est l'action, notéeS{\displaystyle S}. Dans la théorie deschamps, on distingue parfois le lagrangienL{\displaystyle L}, dont l'intégrale sur le temps est l'action :

S=∫Ldt{\displaystyle S=\int {L\,\mathrm {d} t}}

de la densité lagrangienneL{\displaystyle {\mathcal {L}}}, qu'on intègre sur tout l'espace-temps pour obtenir l'action :

S[φi]=∫L[φi(x)]d4x.{\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,\mathrm {d} ^{4}x}.}

Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souventL{\displaystyle {\mathcal {L}}} simplement le lagrangien, surtout dans l'usage moderne. C'est plus simple dans lesthéories relativistes où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable spatialex→{\displaystyle {\vec {x}}} dans les indicesi{\displaystyle i} ou dans les paramètress{\displaystyle s} pour écrireφi(s){\displaystyle \varphi _{i}(s)}. Lesthéories quantiques des champs enphysique des particules, comme l'électrodynamique quantique, sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiensL{\displaystyle {\mathcal {L}}}, ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer lesdiagrammes de Feynman.

Équations d'Euler-Lagrange

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Les équations d'Euler-Lagrange en théorie des champs s'écrivent∀i{\displaystyle \forall i} :

0=∂μ(∂L∂(∂μφi))−∂L∂φi.{\displaystyle 0=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}.}

Non-unicité de la densité lagrangienne en théorie des champs classique

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Comme pour la non-unicité du lagrangien, la densité lagrangienne en théorie des champs n'est pas unique. En effet, soit une densité lagrangienneL{\displaystyle {\mathcal {L}}} alors, si on peut la réécrire commeL=L′+∂μFμ{\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}'+\partial _{\mu }F^{\mu }} oùFμ=Fμ[φ,x]{\displaystyle F^{\mu }=F^{\mu }[\varphi ,x]} est un quadrivecteur qui dépend uniquement des champs (et non de leurs dérivées) et du vecteur d'espace-temps, alorsL′{\displaystyle {\mathcal {L}}'} satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange queL{\displaystyle {\mathcal {L}}}.

Démonstration

En partant des équations d'Euler-Lagrange de la densité lagrangienne originale, on a pour touti{\displaystyle i} :

0=∂μ(∂L∂(∂μφi))−∂L∂φi=∂μ(∂L′∂(∂μφi))−∂L′∂φi+∂μ[∂∂(∂μφi)∂νFν]−∂∂φi∂νFν{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}\\&=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial \varphi _{i}}}+\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\partial _{\nu }F^{\nu }\right]-{\frac {\partial }{\partial \varphi _{i}}}\partial _{\nu }F^{\nu }\end{aligned}}}

On peut réécrire la quadridivergence du vecteurFν{\displaystyle F^{\nu }} comme :∂μFμ[φi,x]=∑i∂Fμ∂φi∂μφi→∂∂(∂μφi)∂νFν=∂Fν∂φi.{\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mu }F^{\mu }[\varphi _{i},x]&=\sum _{i}{\frac {\partial F^{\mu }}{\partial \varphi _{i}}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\\\rightarrow {\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\partial _{\nu }F^{\nu }&={\frac {\partial F^{\nu }}{\partial \varphi _{i}}}.\end{aligned}}}

Ainsi, en insérant cette identité dans l'équation du haut on obtient :0=∂μ(∂L′∂(∂μφi))−∂L′∂φi+∂μ[∂Fμ∂φi]−∂∂φi∂νFν=∂μ(∂L′∂(∂μφi))−∂L′∂φi{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial \varphi _{i}}}+\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial F^{\mu }}{\partial \varphi _{i}}}\right]-{\frac {\partial }{\partial \varphi _{i}}}\partial _{\nu }F^{\nu }\\&=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial (\partial _{\mu }\varphi _{i})}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}'}{\partial \varphi _{i}}}\end{aligned}}}

et ainsi, la densité lagrangienneL′{\displaystyle {\mathcal {L}}'} satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que la densitéL{\displaystyle {\mathcal {L}}}.

Lagrangien d'une particule chargée

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En général, en mécanique classique lagrangienne, le lagrangien vaut[2] :L=T−V{\displaystyle L=T-V}OùT est l'énergie cinétique etV l'énergie potentielle.

Étant donné une particule chargée électriquement de massem etchargeq, et de vitessev→{\displaystyle {\vec {v}}} dans un champ électromagnétique depotentiel scalaireϕ{\displaystyle \phi }, et depotentiel vecteurA→{\displaystyle {\vec {A}}}, l'énergie cinétique de la particule est :T=12mv→⋅v→{\displaystyle T={1 \over 2}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}et son énergie potentielle est :V=qϕ−qv→⋅A→.{\displaystyle V=q\phi -q{\vec {v}}\cdot {\vec {A}}.}

Le lagrangien électromagnétique est alors (voir ref[2], chapitre 3) :L=12mv→⋅v→−qϕ+qv→⋅A→.{\displaystyle L={1 \over 2}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-q\phi +q{\vec {v}}\cdot {\vec {A}}.}

Démonstration

Cet encart explique comment on peut établir l'expression du lagrangien.

Le lagrangien électromagnétique se construit à partir de l'expression de laforce de Lorentz qui est, rappelons-le, une force non conservative. Si elle ne dérive pas d'un potentiel classique, elle dérive en revanche d'un potentiel dit généralisé au sens deséquations de Lagrange. Son énergie potentielle V satisfait en effet l'équation suivante :F→=ddt∂V(r→,v→,t)∂v→−∂V(r→,v→,t)∂r→(∗).{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V({\vec {r}},{\vec {v}},t)}{\partial {\vec {v}}}}-{\frac {\partial V({\vec {r}},{\vec {v}},t)}{\partial {\vec {r}}}}\quad (*).}

La force de Lorentz a pour expression :F→=q(E→+v→×B→).{\displaystyle {\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}).}

D'aprèsMaxwell :

E→=−∇→ϕ−∂A→∂t{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}

donc :F→=q(−∇→ϕ−∂A→∂t+v→×(∇→×A→)){\displaystyle {\vec {F}}=q(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+{\vec {v}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}))}.

Or d'après la formule de Gibbs :v→×(∇→×A→)=∇→(v→⋅A→)−(v→⋅∇→)A→{\displaystyle {\vec {v}}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})={\vec {\nabla }}({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})-({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}}⇒F→=q[−∇→ϕ−∂A→∂t+∇→(v→⋅A→)−(v→⋅∇→)A→]{\displaystyle \Rightarrow {\vec {F}}=q[-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})-({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}]}=−q[∂A→∂t+(v→⋅∇→)A→]+q[−∇→ϕ+∇→(v→⋅A→)]=−q[∂A→∂t+(v→⋅∇→)A→]+q∇→[−ϕ+(v→⋅A→)]{\displaystyle =-q\left[{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}\right]+q[-{\vec {\nabla }}\phi +{\vec {\nabla }}({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]=-q\left[{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}\right]+q{\vec {\nabla }}[-\phi +({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]}=−q[∂A→∂t+(v→⋅∇→)A→]−∂∂r→q[ϕ−(v→⋅A→)].{\displaystyle =-q\left[{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}\right]-{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}}}q[\phi -({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})].}

Posons :V′=q[ϕ−(v→⋅A→)]⇒F→=−q[∂A→∂t+(v→⋅∇→)A→]−∂V′∂r→{\displaystyle V'=q[\phi -({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]\quad \Rightarrow \quad {\vec {F}}=-q\left[{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}\right]-{\frac {\partial V'}{\partial {\vec {r}}}}}.

Déterminonsddt∂V′∂v→{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V'}{\partial {\vec {v}}}}} :

∂V′∂v→=−qA→⇒ddt∂V′∂v→=−qdA→dt{\displaystyle {\frac {\partial V'}{\partial {\vec {v}}}}=-q{\vec {A}}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V'}{\partial {\vec {v}}}}=-q{\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}}.

Or :dA→=∂A→∂tdt+∂A→∂xdx+∂A→∂ydy+∂A→∂zdz⇒dA→dt=∂A→∂t+∂A→∂xx˙+∂A→∂yy˙+∂A→∂zz˙{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}={\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\,\mathrm {d} t+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x}}\,\mathrm {d} x+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial y}}\,\mathrm {d} y+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial z}}\,\mathrm {d} z\quad \Rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial z}}{\dot {z}}}⇒ddt∂V′∂v→=−qdA→dt=−q∂A→∂t−q[+∂A→∂xx˙+∂A→∂yy˙+∂A→∂zz˙].{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V'}{\partial {\vec {v}}}}=-q{\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}=-q{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-q\left[+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial z}}{\dot {z}}\right].}

On peut remarquer au passage :∂A→∂xx˙+∂A→∂yy˙+∂A→∂zz˙=(x˙∂Ax∂x+y˙∂Ax∂y+z˙∂Ax∂zx˙∂Ay∂x+y˙∂Ay∂y+z˙∂Ay∂zx˙∂Az∂x+y˙∂Az∂y+z˙∂Az∂z)=(x˙∂∂x+y˙∂∂y+z˙∂∂z)(AxAyAz)=[(x˙y˙z˙)⋅(∂∂x∂∂y∂∂z)](AxAyAz){\displaystyle {\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial z}}{\dot {z}}={\begin{pmatrix}{}{\dot {x}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+{\dot {z}}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\{\dot {x}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\dot {z}}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\{\dot {x}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+{\dot {z}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}=({\dot {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\dot {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}){\begin{pmatrix}{}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=\left[{\begin{pmatrix}{}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\right]{\begin{pmatrix}{}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}}

donc :dA→dt=∂A→∂t+(v→⋅∇→)A→{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}}⇒ddt∂V′∂v→=−qdA→dt=−q[∂A→∂t+(v→⋅∇→)A→]⇒F→=ddt∂∂v→q[ϕ−(v→⋅A→)]−∂∂r→q[ϕ−(v→⋅A→)]{\displaystyle \Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V'}{\partial {\vec {v}}}}=-q{\frac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}=-q\left[{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {A}}\right]\Rightarrow {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial {\vec {v}}}}q[\phi -({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]-{\frac {\partial }{\partial {\vec {r}}}}q[\phi -({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]}.V′=q[ϕ−(v→⋅A→)]{\displaystyle V'=q[\phi -({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]} satisfait l'équation de Lagrange (*) vue supra.V′{\displaystyle V'} est donc l'énergie potentielle relative à laforce de Lorentz dont le lagrangien estL=12mv→2−q[ϕ−(v→⋅A→)]{\displaystyle \quad L={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}-q[\phi -({\vec {v}}\cdot {\vec {A}})]}.

Autre démonstration

Cet encart propose de vérifier que le lagrangienL=12mv→⋅v→−qϕ+qv→⋅A→{\displaystyle L={1 \over 2}m{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-q\phi +q{\vec {v}}\cdot {\vec {A}}}

donne bien le principe fondamental de la dynamique pour une particule de massem et de charge électriqueq soumise à la force de Lorentz. Il constitue donc la démonstration dans le sens contraire de la précédente.

On écrit explicitementL{\displaystyle L} en coordonnées cartésiennes indicéesx1,x2,x3.{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}

On a donc :L=12m∑i=13xi˙2+q∑i=13xi˙Ai−qϕ,{\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\sum _{i=1}^{3}{\dot {x_{i}}}^{2}+q\sum _{i=1}^{3}{\dot {x_{i}}}A_{i}-q\phi ,}avecAi=Ai(x1(t),x2(t),x3(t),t){\displaystyle A_{i}=A_{i}(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),t)} composante n°i du potentiel vecteurA→{\displaystyle {\vec {A}}} etϕ=ϕ(x1(t),x2(t),x3(t),t).{\displaystyle \phi =\phi (x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),t).}

On évalue les équations de Lagrange pour la composanteno 1 :∂L∂x1=q∑i=13xi˙∂Ai∂x1−q∂ϕ∂x1etddt∂L∂x1˙=ddt(mx1˙+qA1)=md2x1dt2+qdA1dt.{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}=q\sum _{i=1}^{3}{\dot {x_{i}}}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{1}}}-q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{1}}}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(m{\dot {x_{1}}}+qA_{1}\right)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{1}}{\mathrm {d} t^{2}}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{1}}{\mathrm {d} t}}.}Or la dérivée totale par rapport au temps deA1{\displaystyle A_{1}} est égale à sa dérivée particulaire :dA1dt=∂A1∂t+∑i=13xi˙∂A1∂xi.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{1}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial A_{1}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{3}{\dot {x_{i}}}{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{i}}}.}D'où l'expression de l'équation du mouvement pour la composante n°1 :md2x1dt2+qdA1dt=q∑i=13xi˙∂Ai∂x1−q∂ϕ∂x1{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{1}}{\mathrm {d} t^{2}}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{1}}{\mathrm {d} t}}=q\sum _{i=1}^{3}{\dot {x_{i}}}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{1}}}-q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}}md2x1dt2+q∂A1∂t+q∑i=13xi˙∂A1∂xi=q∑i=13xi˙∂Ai∂x1−q∂ϕ∂x1{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{1}}{\mathrm {d} t^{2}}}+q{\frac {\partial A_{1}}{\partial t}}+q\sum _{i=1}^{3}{\dot {x_{i}}}{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{i}}}=q\sum _{i=1}^{3}{\dot {x_{i}}}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{1}}}-q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}}En simplifiant, il reste :md2x1dt2=−q∂A1∂t−q∂ϕ∂x1+qx2˙(∂A2∂x1−∂A1∂x2)+qx3˙(∂A3∂x1−∂A1∂x3).{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{1}}{\mathrm {d} t^{2}}}=-q{\frac {\partial A_{1}}{\partial t}}-q{\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}+q{\dot {x_{2}}}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right)+q{\dot {x_{3}}}\left({\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}\right).}AvecB→=∇→×A→{\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}} etE→=−∂A→∂t−∇→ϕ{\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-{\vec {\nabla }}\phi }, on reconnait à droite de l'égalité l'expression de la première composante de la force de Lorentz. On procède de même pour les autres composantes

Lagrangien du champ électromagnétique

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On se place dans l'espace de MinkowskiM{\displaystyle {\mathcal {M}}} de larelativité restreinte. En présence de termes sourcesJμ=(ρc,j→){\displaystyle J^{\mu }=(\rho c,{\vec {j}})}, la densité lagrangienne du champ électromagnétique est donnée parL=−14μ0FμνFμν+JμAμ{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+J^{\mu }A_{\mu }}oùFμν=∂μAν−∂νAμ{\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} est letenseur de Maxwell, etAμ{\displaystyle A_{\mu }} est lequadrivecteur potentiel. Le premier terme est lié à ladensité d'énergie du champ dans l'espace, et estl'invariant de Lorentz le plus simple du tenseurFμν{\displaystyle F_{\mu \nu }}.

Exemples de densité lagrangiennes en théorie quantique des champs

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Le lagrangien de Dirac

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La densité lagrangienne pour unchamp de Dirac (en) est[3] :L=ψ¯(iℏc⧸D−mc2)ψ{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\,\hbar \,c\not \!D-m\,c^{2}\right)\psi }oùψ{\displaystyle \psi } est unspineur,ψ¯=ψ†γ0{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} est sonadjoint de Dirac,D{\displaystyle D} est ladérivée covariante de jauge, et⧸D{\displaystyle \not \!D} est lanotation de Feynman pourγσDσ{\displaystyle \gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}.

Le lagrangien de l'électrodynamique quantique

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La densité lagrangienne enélectrodynamique quantique[8] (QED) est :LQED=ψ¯(iℏc⧸D−mc2)ψ−14μ0FμνFμν{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c\not \!D-mc^{2})\psi -{1 \over 4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}oùFμν{\displaystyle F^{\mu \nu }} est letenseur électromagnétique.

Le lagrangien de la chromodynamique quantique

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Enchromodynamique quantique (QCD), la densité lagrangienne est[9],[10] :LQCD=∑nψ¯n(iℏc⧸D−mnc2)ψn−14GαμνGαμν{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(i\hbar c\not \!D-m_{n}c^{2})\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}oùD{\displaystyle D} est ladérivée covariante de jauge en QCD, etGαμν{\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }} est letenseur de la force du champ dugluon.

Formalisme mathématique

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SoitM{\displaystyle M} unevariété de dimensionn{\displaystyle n}, et une variété de destinationT{\displaystyle T}. SoitC{\displaystyle {\mathcal {C}}} l'ensemble des fonctionsC∞{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} deM{\displaystyle M} dansT{\displaystyle T}, appeléespace de configuration.

Avant tout donnons quelques exemples :

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelleS:C→R{\displaystyle S:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R} }, qu'on appelle l'action physique. C'est une application versR{\displaystyle \mathbb {R} }, et non versC{\displaystyle \mathbb {C} }, pour des raisons physiques.

Pour que l'action soit locale, nous avons besoin de restrictions supplémentaires. Siφ∈C,{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {C}},} on impose queS[φ] soit l'intégrale surM d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangienL(φ,∂φ,∂2φ,…,x){\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial \varphi ,\partial ^{2}\varphi ,\dots ,x)}. En d'autres termes,

∀φ∈C,S[φ]≡∫MdnxL(φ(x),∂φ(x),∂2φ(x),…,x).{\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {C}}\;,\;S[\varphi ]\equiv \int _{M}d^{n}x{\mathcal {L}}(\varphi (x),\partial \varphi (x),\partial ^{2}\varphi (x),\dots ,x).}

La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leurs dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.

Fixons desconditions aux limites, essentiellement la donnée de φ aux frontières si M estcompact, ou unelimite pour φ quand x tend vers l'infini (ce qui est pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace deC{\displaystyle {\mathcal {C}}} des fonctions φ telles que toutes lesdérivées fonctionnelles de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites est l'espace des solutions physiques.

La solution est donnée par leséquations d'Euler-Lagrange (en utilisant les conditions aux limites) :

δδφS=−∂μ(∂L∂(∂μφ))+∂L∂φ=0.{\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \varphi }}S=-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=0.}

On retrouve la dérivée fonctionnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.

Notes et références

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  1. ↑ab etcRogerPenrose et CélineLaroche,À la découverte des lois de l'univers: la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique, O. Jacob,(ISBN 978-2-7381-1840-0), « Ch. 20 - Lagrangiens et hamiltoniens »
  2. ↑ab etcLev DavidovičLandau, Evgenij MihailovičLifšic et SergeïMedvedev,Théorie des champs, Éd. Mir Ellipses,coll. « Physique théorique »,(ISBN 978-2-7298-9403-0)
  3. ↑a etbJean-PierreDerendinger,Théorie quantique des champs, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes,(ISBN 978-2-88074-491-5)
  4. ↑Gérard Serra et Marc Ménétrier, « Les théorèmes de Noether »,Bulletin de l'Union des professeurs de physique et de chimie,vol. 103,‎,p. 549-561(lire en ligne[PDF])
  5. ↑Herbert Goldstein (trad. A. et Ch. Moubacher,préf. Théo Kahan),Mécanique classique, P.U.F.,, « I. Vue d'ensemble sur les principes élémentaires »,p. 13.
  6. ↑Rémi Hakim,Mécanique, Armand Colin,coll. « Cursus »,(ISBN 2200215878), « 6. Notions de mécanique analytique »,p. 135
  7. ↑LeonardSusskind, ArtFriedman, AndréCabannes et BenoîtClenet,Relativité restreinte et théorie classique des champs: le minimum théorique tout ce que vous avez besoin de savoir pour commencer à faire de la physique, Presses polytechniques et universitaires romandes,coll. « Le minimum théorique »,(ISBN 978-2-88915-218-6)
  8. ↑ClaudeCohen-Tannoudji, JacquesDupont-Roc et GilbertGrynberg,Photons et atomes: introduction à l'électrodynamique quantique, EDP sciences CNRS éd,coll. « Savoirs actuels »,(ISBN 978-2-86883-535-2)
  9. ↑(en)http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html.
  10. ↑(en)[PDF]http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf.

Voir aussi

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Bibliographie

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Articles connexes

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