SoitX un espace topologique etA une partie deX. On appelle intérieur deA leplus grandouvert deX inclus dansA. Il existe : c'est laréunion de tous les ouverts inclus dansA. Il se note soit à l'aide d'un petit cercle suscrit, soit par une notation préfixe avec l'abréviationint :
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Illustration de concepts de base en topologie générale
On définit aussi et de façon différente l'intérieur d'unevariété à bord.
Une partie est ouverte si et seulement si elle est égale à son intérieur[1].
Idempotence : l'intérieur de l'intérieur est égal à l'intérieur.
Croissance pour l'inclusion : siA est une partie deB alors int(A) est une partie de int(B).
Le complémentaire de l'intérieur est égal à l'adhérence du complémentaire.
Compatibilité avec lesproduits finis : siA ⊂X etB ⊂Y alors, l'intérieur deA×B dans l'espace produitX×Y est int(A)×int(B).
SiU est un sous-espace deX (muni de latopologie induite) etF une partie deX, l'intérieur deF ∩U dans ce sous-espace contient int(F) ∩U (parfois strictement, comme dans l'exempleX = ℝ etF =U = {0}). Il lui est égal siU est un ouvert deX.
L'intérieur d'une intersection est incluse dans l'intersection des intérieurs mais l'inclusion peut être stricte (pour une intersection finie, on a cependant égalité[1]).
Une union d'intérieurs est incluse dans l'intérieur de l'union mais l'inclusion peut être stricte, même pour une union finie.
Pour unensemble dénombrable defermés d'unespace de Baire, l'union des intérieurs estdense dans l'intérieur de l'union.En effet, soitU un ouvert non vide inclus dans l'union des fermésFn. Dans l'espace de BaireU (muni de la topologie induite), l'intérieur int(Fn) ∩U de l'un des fermésFn ∩U est non vide, doncU rencontre l'union des int(Fn).
L'intérieur d'unevariété topologique à bordM de dimensionn est l'ensemble des points deM qui possèdent (dansM) des voisinageshoméomorphes àRn. Son complémentaire dansM est appelé le bord deM.
SiM estcompacte etplongée dansRn, la définition de son intérieur coïncide avec la définition de topologie générale.
