Lesintégrales sont utilisées dans de multiples disciplines scientifiques notamment en physique pour des opérations de mesure de grandeurs (longueur d'une courbe,aire,volume,flux) ou enprobabilités. Ses utilités pluridisciplinaires en font un outil scientifique fondamental[1]. C'est la raison pour laquelle l'intégration est souvent abordée dès l'enseignement secondaire.
Lesymbole mathématique représentant l'intégration, le « S long » :, est appelésigne somme,signe d'intégration,signe intégral ouintégrateur ; il a été introduit parLeibniz pour noter l'intégrale.
L'intégrale de la fonction positivef, peut être interprétée comme l’aire du domaine délimité par : (1) lacourbe représentative de la fonctionf (d'équation), (2) l'axe desabscisses et (3-4) les droites verticales d'abscissesa etb.
L'histoire des mathématiques doit beaucoup à la théorie de l'intégration, et sa place prédominante a façonné l'analyse en offrant à qui une solution, à qui un problème. Le lustre des « méthodes intégrales » en Grèce antique l'atteste (voirméthode d'exhaustion), et bien qu'il faille attendre lecalcul infinitésimal pour une première formalisation, elles nous avaient déjà offert de profonds et beaux résultats : les Athéniens évaluèrent les grandeurs de l'espace puis en démontrèrent implicitement l'existence et l'unicité ; auXVIIe siècle naissent des méthodes générales de « calcul de l'infini » (rectification de courbes, quadratures, etc.) C'est alors que laméthode des indivisibles deCavalieri voit le jour.
Leibniz pose les bases de l'intégration auXVIIe siècle.
C'estLeibniz qui introduit le fondement de la théorie de l'intégration (Geometria recondita, 1686[2].), qu'il conçoit comme opération inverse de la différentiation (Nova methodus pro maximis et minimis, 1684), d'une part par un symbolisme inégalé reliant intégration et dérivation, d'autre part par la mise en place des principaux théorèmes perpétués jusqu'à aujourd'hui.
La formalisation de cette théorie a revêtu diverses formes. Elle aboutit tardivement, à cause de la complexité des problèmes soulevés :
que sont les fonctions ? les réels ? (ces questions ne furent pleinement élucidées que grâce au développement de l'analyse auXIXe siècle) ;
quelles fonctions peuvent s'intégrer ? (c'est la question de l'intégrabilité ; elle est liée, entre autres, à des problèmes de convergence).
Représentation graphique d'un intégrandef positif et de son intégrale.Représentation graphique d'un intégrandef réel et de son intégrale (avec signe).
Dans un plan muni d'un repère cartésien, on choisit commeunité d'aire l'aire du quadrilatère OIKJ où O est l'origine du repère et I, J et K les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).
Sif est une fonction réelle positivecontinue prenant ses valeurs dans unsegmentI = [a,b], alors l'intégrale def surI, notée
est l'aire d'une surface délimitée par la représentation graphique def et par les trois droites d'équationx =a,x = b,y = 0, surface notéeSf. (Voir schéma ci-contre pour l'intervalleI = [0,a].)
Quelle est l'intégrale (animation)
On donne un signe positif à l'aire des surfaces commeSf situées au-dessus de l'axe des abscisses. Pour pouvoir traiter aussi les fonctions négatives, on donne un signe négatif aux portions situées sous cet axe.
Ainsi, pour définir l'intégrale d'une fonction continue dans le cas général (positive ou négative), il suffit de définirf+ etf–, communément appelées parties positive et négative def respectivement, comme suit :
puis de définir l'intégrale def à partir def+ etf–, fonctions continues et positives :
Plus précisément, définir l'aire de cette surface consiste, dans la définition de lathéorie de Riemann, à approcherf par unesuite de fonctionsgn dont on connaît l'intégrale (en général : des rectangles qu'on définit d'aire± longueur × largeur) et telle que la différence entref etgntende vers 0 quandn tend vers l'infini.
On appellef unintégrande[4], et on note ∫ (uns allongé, mis poursomme) l'opérateur mathématique, appelé intégrateur, qui est associé à l'intégration. Ce symbole est un anciens long : en effet,Leibniz s'est servi de l'initiale du motlatinsumma, « somme », lequel était le plus souvent écritſumma. À la différence dus long,∫, en typographie, garde toujours une hampe descendant au-dessous de la ligne de base, enromaine comme enitalique.(Voir l'articleNotation de Leibniz pour une justification de la notation complète, et en particulier du symbole dx.).
Le but du calcul intégral est de développer des méthodes permettant de calculer les intégrales. La principale méthode pour calculer une intégrale passe par la notion deprimitive d'une fonction. La « primitivation » est l'opération qui, à partir d'une fonctionf, donne une fonctionFdérivable et dont ladérivée est égale àf :F′(x) =f(x).
On montre que toute fonction continue sur un segment[a,b] admet des primitives, et que l'intégrale dea àb est égale àF(b) –F(a), indépendamment de la primitive choisie.
De plus, l'ensemble des primitives d'une fonctionf continue sur un intervalleI est donné par l'ensemble de sesintégrales indéfinies
oùa est un point deI etK un réel quelconque.
Lethéorème fondamental de l'analyse affirme que les deux approches de l'intégrale (« aire sous une courbe » et « primitivation »), sont sous certaines conditions les mêmes. Ces conditions peuvent varier selon le type d'intégrale considéré. Ainsi, les fonctions qui admettent des primitivespresque partout, sont aussi intégrables au sens deKurzweil-Henstock, mais pas nécessairement au sens deRiemann ou au sens deLebesgue.
Extension de l'intégrale aux fonctions non continues sur un intervalle
Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe est le même pour les trois approches de l'intégration :
D'abord, on considère une famille de fonctions élémentaires, pour lesquelles nous avons un moyen évident de mesurer l'aire sous la courbe. Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, ce sont lesfonctions en escalier dont l'aire sous la courbe est égale à la somme des aires des rectangles ; les fonctions en escalier étant constantes sur des intervalles, le domaine sous la courbe d'une telle fonction peut alors être vu comme une réunion de rectangles. Pour l'intégrale de Lebesgue, les fonctions élémentaires sont lesfonctions étagées, constantes, non plus sur des intervalles, mais sur des partiesmesurables (approche plus souple et plus générale).
L'intégrale de Riemann permet d'intégrer entre autres les fonctions croissantes ou décroissantes, et les fonctions continues, donc aussi les fonctionscontinues par morceaux, ainsi que les fonctionsmonotones par morceaux. Toutelimite uniforme d'unesuite de fonctions intégrables au sens de Riemann est intégrable au sens de Riemann. Cependant unelimite simple (c'est-à-dire quef(x) = limfn(x) pour toutx de l'intervalle[a,b] sans condition d'uniformité enx) de fonctions Riemann intégrables n'est pas nécessairement Riemann intégrable. Il est possible de caractériser les fonctions intégrables au sens de Riemann : ce sont les fonctions bornées dont l'ensemble des points de discontinuité est demesure nulle (critère de Lebesgue).
L'intégration au sens de Lebesgue permet d'intégrer plus de fonctions (dont des fonctions qui ne sont même pas localement bornées), et elle donne la même valeur à l'intégrale lorsque la fonction est déjà intégrable au sens de Riemann. Elle a l'avantage de munir l'espace vectoriel des fonctions intégrables (modulo l'égalité presque partout) d'une structure d'espace normé complet. Ceci est essentiel pour beaucoup d'applications. Cependant, on perd la notion de sommes de Riemann, et il existe des contextes (étude des suites uniformément distribuées par exemple) où les fonctions intégrables au sens de Riemann surviennent naturellement ; pour une généralisation de cette dernière permettant néanmoins d'intégrer également toutes lesfonctions mesurables (au sens de Lebesgue), voir l'intégrale de Kurzweil-Henstock.
Si sur le segment (ainsiSf est inclus dansSg), alors nous aurons
Si l'on suppose par exemple la fonctionf monotone sur[a,b], il est possible d'approcher son aire en utilisant soigneusement une fonction élémentaires (dans le cas de l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, une fonction en escalier, et dans le cas de l'intégration de Lebesgue, une fonction étagée). Nous choisissonss telle ques ≤ f mais en supposants très proche def, au sens où, ayant préalablement fixé unε > 0 arbitrairement petit, les valeurs prises parf s'éloignent de celles prises pars d'au plusε, ce qui se note.
L'aire souss, facilement calculable comme somme d'aires de rectangles, est majorée par l'intégrale def, et est appelée somme inférieure.
Dans le cas de l'intégrale de Riemann ou de Kurzweil-Henstock, nous fabriquons aussi des sommes supérieures de la même façon : nous choisissons une fonction en escalier, disonsσ, telle queσ ≥f en supposantσ de la même manière très proche def, et nous considérons une somme supérieure comme unmajorant de l'aire du domaine sousf. Dans le cas de l'intégrale de Riemann, les rectangles utilisés ont des bases de longueur majorée par une constante ; dans le cas de l'intégrale de Kurzweil-Henstock, les rectangles ont des bases de longueur variable. La théorie de Lebesgue n'utilise pas de sommes supérieures.
On montre que l'ensemble des aires sous les fonctionss que l'on peut choisir (respectivement sous les fonctionsσ dans la théorie de Riemann ou de Kurzweil-Henstock), admet uneborne supérieure (resp. inférieure, et c'est la même). Cette valeur est alors appeléeintégrale def sur[a,b].
Les fonctions que nous pouvons intégrer sont appelées fonctionsintégrables.
Cependant, les différences commencent ici ; la théorie de Riemann est de loin la plus simple, mais de cette simplicité résulte que l'ensemble des fonctions intégrables est plus restreint que celui de la théorie de Lebesgue ou de Kurzweil-Henstock. En plus, l'interaction entre les limites et l'intégrale sont plus difficiles à décrire dans la théorie de Riemann.
La généralisation de l'intégrale à un intervalle quelconque se fait en se basant sur la notion d'intégrale définie sur un segment.
Soitf une fonction àvaleurs réelles positives, continue définie sur unintervalleI quelconque, noté(a,b), oùa est réel ou égal à–∞ etb est réel ou égal à+∞, et où les parenthèses signifient [ ou ] (avec exclusion si valeur infinie).
On dit quef estintégrable sur l'intervalleI lorsque l'ensemble est majoré. Partie non vide et majorée de ℝ, il admet une borne supérieure : on la note alors et on l'appelleintégrale def surI.
Avec ces mêmes données, on a l'équivalence logique :f intégrable sur]a,b[ si et seulement si toute primitive def sur]a,b[ admet une limite finie ena et enb.
Dans le cas où une fonctionf est intégrable sur un intervalle]a,b[, on a
Fonctions intégrables à valeurs complexes ou vectorielles
Enfin, pour une fonction continue définie sur un intervalleI quelconque et à valeurs dans ℂ, on pose par définition :f est intégrable surI si|f| intégrable surI en tant que fonction à valeurs réelles positives.
De même pourf continue définie surI et à valeurs dans unespace vectoriel normé(E,║.║),f est intégrable surI si et seulement si║f║ est intégrable surI en tant que fonction à valeurs réelles positives.
Il se peut très bien que « l'aire sous la courbe » d'une fonction définie et continue surI et à valeurs réelles (changeant de signe) ait une limite en faisant tendre les extrémités d'une suite de segments inclus dansI vers les bornes deI, sans toutefois que la fonction en jeu soit intégrable surI au sens de la définition. On parle alors d'intégrale semi-convergente, la valeur de l'aire trouvée est appeléeintégrale impropre. C'est le cas avec l'exemple classique de la fonction de]0,+∞[ dans ℝ qui à toutt > 0 associe(sint)/t : elle peut être prolongée continûment par 1 en zéro mais le problème de l'intégrabilité se pose au voisinage de+∞. On peut calculer son intégrale impropre (puisqu'elle n'est que semi-convergente) : on trouve :.
Pour toute fonction continue (ou même seulement continue par morceaux) sur un segment[a,b] tel quea < b, lavaleur moyenne def sur[a,b] est le réelm défini par :
Cette notion généralise celle de moyenne d'un nombre fini de réels en l'appliquant à un nombre infini de valeurs prises par une fonction intégrable. Elle sert par exemple dans la décomposition ensérie de Fourier d'unefonction périodique : c'est la composante constante. Entraitement du signal, pour les signaux périodiques, il s'agit de la composante continue (offset).
On peut aussi, par analogie avec lesmoyennes pondérées d'un nombre fini de réels, affecter « à chacune des valeurs prises par la fonction » un coefficient strictement positif. On utilise alors ce que l'on appelle unefonction poids ( pour l'initiale deweight, poids en anglais) :
Ce procédé peut aussi s'utiliser sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert mais borné (c'est-à-dire fini) où la fonctionf.w est intégrable. On peut citer l'exemple classique servant à montrer l'orthogonalité de la famille despolynômes de Tchebychev :
où la fonctionTn×Tp est continue sur le fermé[0, 1] et où la fonction poids est
Parmi les multiples exemples, on retient trois changements de variables simples connus sous les noms de « formule du roi », « formule de la reine » et « formule du valet », qui permettent d'exploiter les propriétés de symétrie ou de périodicité des intégrandes et de simplifier les calculs[5] :
Pour une intégrale définie d'une fonctionT-périodique sur un intervalle, le changement de variables sur chaque intervalle, combiné à la relation de Chasles, donne :
Les formules précédentes, bien que permettant la détermination de nombreuses intégrales et primitives, ne permettent pas d'obtenir explicitement la plupart d'entre elles. Plus précisément, des théorèmes commecelui de Liouville montrent qu'il est par exemple impossible d'exprimer les primitives d'une fonction telle que à l'aide des fonctions usuelles (ditesélémentaires), ce qui oblige à en définir de nouvelles (ici, la fonctionlogarithme intégral)[a] ; de même, la plupart des intégrales définies ne peuvent être calculées sans introduire de nouvelles constantes (voir l'articleAlgèbre des périodes).
Intégration numérique par la méthode des rectangles.Intégration numérique par la méthode des trapèzes.
On ne connaît pas toujours une formule pour décrire une fonction, par exemple dans le cas d'une courbe expérimentale. Dans d'autres cas, on ne connaît pas de méthode analytique pour exprimer la primitive, ou bien on n'a pas besoin de l'expression analytique et seule la valeur numérique suffit. On a recours dans ces cas-là à une méthode numérique.
Les méthodes numériques consistent à prendre une suite de valeurs(xi,f(xi)), les valeurs desxi étant si possible équidistantes :xi+1 –xi = p. On peut ensuite appliquer différentes méthodes, dont les deux principales consistent à faire la somme d'airesSi :
méthode des rectangles :Si est l'aire d'un rectangle de hauteurf(xi) et de largeurp, on prend donc pour approximation
;
méthode des trapèzes :Si est l'aire d'untrapèze de basesf(xi) etf(xi+1), et de hauteurp (graphiquement, c'est plutôt sa « largeur »), on prend donc pour approximation
Les méthodes numériques sont automatisables sur les ordinateurs et calculatrices programmables.
Intégration graphique d'une fonction : les vecteurs à droite correspondent aux ordonnées de la courbe de gauche.Détermination graphique d'une intégrale double : les vecteurs à droite correspondent aux abscisses de la courbe du haut à un facteur près ; la position du pôle détermine l'inclinaison de la courbe.
On peut utiliser des méthodes graphiques utilisant le fait que la valeur de la fonction en un point est la pente de la primitive.
Considérant le même découpage que précédemment, on découpe l'intervalle d'intégration en bandes verticales de largeurp centrées sur les valeursxi. Sur un graphique voisin, le graphique polaire, on place des vecteurs à l'origine O et l'on considère un point P sur l'axe desx, distant de O ; P est appelé le pôle. Si l'on relie P aux extrémités des vecteurs, on obtient des droitesdi dites polaires, dont les coefficients directeursai sont proportionnels aux valeurs def(xi ) :
On reporte ensuite les directions de ces droites polaires pour former unpolygone funiculaire. L'axe des ordonnées est à une échelle 1/OP. L'ordonnée de départ du funiculaire correspond à la constante d'intégration.
Si, au lieu de placer l'origine des vecteurs en O, on les met bout à bout, on effectue alors une double intégration, puisque les valeurs sont cumulées. Le pôle n'est plus nécessairement sur l'axe desx ; cela incline différemment la courbe obtenue, et correspond à la constante d'intégration de la première intégrale. Ceci est par exemple appliqué pour déterminer le diagramme desmoments fléchissants d'une poutre en flexion à partir des charges, ou bien la forme de cette poutre à partir du diagramme des moments fléchissants.
Il est possible d'estimer la valeur d'une intégrale par des mesures physiques. Par exemple, on trace la courbe sur une feuille de papier, on découpe la feuille suivant le tracé puis on pèse le résultat. En effet, si lamasse surfacique est uniforme, alors lepoids mesuré est proportionnel à l'aire. Ce principe était notamment utilisé pour déterminer l'aire d'un pic dans des mesures, par exemple pour faire de l'analyse quantitative pardiffractométrie X.
En 1994, une chercheuse en médecine a réinventé sans le savoir la méthode d'intégration par la méthode des trapèzes en cherchant à proposer une méthode de calcul pour mesurer la réponse biologique à la prise deglucose chez le patient diabétique[6]. Si le fait de redécouvrir un résultat ou une méthode existante n'est pas rare en sciences, le calcul intégral est censément bien connu des étudiants de premier cycle scientifique, ce qui confère une dimension cocasse involontaire à cet article[7]. En octobre de la même année, des contributions publiées dans la même revue relevaient d'ailleurs cet état de fait[8],[9].
↑Historiquement, c'était déjà le cas de la fonction (logarithme naturel), aujourd'hui considérée comme une fonction usuelle mais définie comme une certaine intégrale de la fonction, qu'on ne peut pas exprimer explicitement à l'aide des fonctions élémentaires antérieurement connues.
↑Alain Michel,Constitution de la théorie de l'intégration, p. 10,aperçu surGoogle Livres.
↑Gottfried Wilhelm Leibniz :De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum (Calcul intégtral : De la géométrie profonde et analyse des indivisibles et de l'infini), en latin dans lesActa Eruditorum, Leipzig, 1686(lire en ligne). Traduction française par Marc Parmentier,La naissance du calcul différentiel : 26 articles des Acta Eruditorum, Paris, Vrin, 1995, p. 126(aperçu en ligne).
Jean Gounon, « Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue », surdma.ens.fr/culturemath — Une présentation systématique de deux théories de l'intégration pour les fonctions réelles d'une variable réelle, en 9 pages, le plus souvent sans démonstration.
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