Cet article est uneébauche concernant l’analyse.
Enhistoire des mathématiques, l'histoire de l'analyse se déroule principalement dans les quelques derniers siècles.Cependant, dans l'Antiquité et auMoyen Âge respectivement, lesmathématiciens grecs etindiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. Pour des raisons historiques, leurs successeurs immédiats ne purent bâtir sur ces acquis.
On attribue aumathématicien grecEudoxe de Cnide, dont les travaux sont perdus, la paternité des idées développées dans lelivre V des Éléments d'Euclide, qui permet de traiter rigoureusement des égalités entre proportions de grandeurs géométriques de même nature (longueurs, aires ou volumes), y compris irrationnelles. Cette méthode, appelée plus tardméthode d'exhaustion, permet par exemple à Euclide de démontrer que l'aire d'un disque est proportionnelle au carré de son diamètre.
Elle fut brillamment illustrée parArchimède, qui a entre autres montré, que le rapport de l'aire du disque sur le carré de son rayon était identique au rapport de la circonférence du cercle sur son diamètre (formulation qui n'est pas celle d'Archimède, voir l'article détaillé). Elle était encore très estimée, pour sa rigueur, parBlaise Pascal. Il s'agit d'une méthode proche de la notion moderne delimite mais « indirecte » : elle est lourde à manier et permet seulement de montrer des égalités, des égalités denombres réels si on la relit de façon moderne. Ce qui correspond à l'existence d'un nombre limite est obtenu par des moyens géométriques.
Si la méthode d'Eudoxe fut abandonnée par les mathématiciens auXVIIe siècle avec l'avènement ducalcul infinitésimal, ce n'est qu'auXIXe siècle que fut introduite, par divers procédés, laconstruction des nombres réels qui permet de s'affranchir en toute rigueur de la géométrie[1].
Archimède a également utilisé pour un calcul approché dunombre Pi une méthode d'encadrements qui n'est pas sans rapport avec la méthode d'Eudoxe, bien que l'objet de celle-ci ne soit pas le calcul approché.
Lesmathématiciens indiens ont développé bien avant leurs homologues occidentaux des notions de calcul différentiel et intégral et de passage à la limite.
AuXIIe siècle,Bhāskara introduisit des éléments de calcul différentiel, avec des calculs de nombres dérivés, notamment pour dériver lafonction sinus, la propriété d'annulation de la dérivée en un extremum et même une première version duthéorème de Rolle.
AuXIVe siècle,Madhava fut le premier à effectuer de véritables passages à la limite, en introduisant des développements de Taylor pour les fonctions trigonométriques et en estimant l'erreur effectuée lors de la troncature. Il travailla aussi sur lesfractions continues et le nombrepi. Il est le fondateur de l'école mathématique du Kerala, qui prospéra jusqu'auXVIe siècle. Depuis la découverte des travaux de cette école, plusieurs historiens n'hésitent pas à le qualifier depère de l'analyse moderne.
L'analyse moderne a été refondée en Occident, auXVIIe siècle, avec lecalcul infinitésimal deIsaac Newton etGottfried Wilhelm Leibniz. AuXVIIe siècle, les thèmes de l'analyse tels que le calcul infinitésimal, les équations différentielles, leséquations aux dérivées partielles, l'analyse deFourier et lesfonctions génératrices étaient principalement développés dans les travaux appliqués. Les techniques de calcul infinitésimal étaient utilisées avec succès pour approcher des problèmes du discret par des problèmes du continu.
Tout au long duXVIIIe siècle, la définition defonction était un sujet de débat parmi les mathématiciens. AuXIXe siècle,Cauchy fut le premier à donner une fondation logique stricte ducalcul infinitésimal en introduisant le concept desuite de Cauchy. Il commença aussi la théorie formelle de l'analyse complexe.Poisson,Liouville,Fourier et d'autres étudièrent leséquations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique.
Au milieu duXIXe siècle,Riemann introduisitsa théorie de l'intégration. Durant le troisième tiers duXIXe siècle, l'analyse se vit formalisée parKarl Weierstrass, qui pensait que le raisonnement géométrique était en soi fallacieux ; il introduisit aussi la définition « ε-δ » deslimites. Puis les mathématiciens commencèrent à s'inquiéter du fait qu'ils supposaient sans preuve l'existence d'un continuum denombres réels.Richard Dedekindconstruisit donc les nombres réels avecses coupures. En même temps, les essais pour affiner lesthéorèmes de l'intégrale de Riemann menèrent à l'étude de la « taille » de l'ensemble des points dediscontinuité des fonctions réelles.
Vers 1890, les fondements de l'analyse moderne sont en place, avec les publications d'ouvrages de référence parStolz en Allemagne,Jordan en France etPeano en Italie.
En outre, des « monstres » (desfonctions continues nulle part, desfonctions continues mais dérivables nulle part, descourbes remplissant l'espace) commencèrent à être créés. Dans ce contexte,Marie Ennemond Camille Jordan développa sa théorie sur lamesure.Georg Cantor développa ce qu'on appelle aujourd'hui lathéorie naïve des ensembles. Au début duXXe siècle le calcul infinitésimal se formalisa par lathéorie des ensembles.Henri Lebesguerésolut le problème de mesure[pas clair] etDavid Hilbert introduisit lesespaces de Hilbert pour résoudre les équations intégrales. L'idée d'espace vectoriel normé était très étudiée dans lesannées 1920 etStefan Banach créa l'analyse fonctionnelle.
