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Engéométrie algébrique, la notion degroupe algébrique est un équivalent desgroupes de Lie engéométrie différentielle ou complexe. Un groupe algébrique est unevariété algébrique munie d'une loi de groupe compatible avec sa structure de variété algébrique.

Ungroupe algébrique sur un corps (commutatif)K est unevariété algébrique${\displaystyle G}$ sur${\displaystyle K}$ munie :

• d'un morphisme deK-variétés algébriques (appelé aussi multiplication)${\displaystyle \mu :G{\times }_{K}G\to G}$. La variété source étant leproduit fibré de${\displaystyle G}$ par lui-même ;
• d'unmorphisme inverse${\displaystyle \iota :G\to G}$ ;
• d'unélément neutre${\displaystyle ϵ}$ appartenant à${\displaystyle G(K)}$ (unpoint rationnel de${\displaystyle G}$)

vérifiant formellement les axiomes d'un groupe. Si${\displaystyle G}$ est réduit et siK est algébriquement clos, il suffit que ces morphismes induisent une structure de groupe sur l'ensemble${\displaystyle G(K)}$ des points rationnels de${\displaystyle G}$.

Pour toute variété algébriqueX surK, l'ensembleG(X) desK-morphismes deX dansG hérite d'une structure de groupe. Une façon rapide de définir un groupe algébrique est alors de dire que c'est une variété algébrique qui représente unfoncteur de la catégorie des variétés algébriques surK dans lacatégorie des groupes.

Attention :${\displaystyle G{\times }_{K}G}$ est muni de latopologie de Zariski et non de latopologie produit.

• Unhomomorphisme de groupes algébriques${\displaystyle f:G\to H}$ surK est un morphisme de variétés algébriques surK qui est compatible avec la structure de groupe : si${\displaystyle {\mu }_G,{\mu }_H}$ sont les lois de multiplication surG etH respectivement, alors${\displaystyle f\circ {\mu }_G={\mu }_H\circ (f\times f)}$. En termes des points, cela revient à dire que pour touteK-algèbre de type finiA, l'application${\displaystyle f(A):G(A)\to H(A)}$ induite parf est un homomorphisme de groupes. SiK est algébriquement clos et siG, H sont réduits, il suffit de prendreA=K.
• Unisomorphisme de groupes algébriques est un homomorphisme de groupes algébriques qui est un isomorphisme pour les variétés algébriques sous-jacentes.
• Unsous-groupe algébriqueF deG est une sous-variété deG telle que l'immersion${\displaystyle i:F\to G}$ soit un homomorphisme de groupes algébriques. On sait queF est alors une sous-variété fermée.
• Si${\displaystyle f:G\to H}$ est un homomorphisme de groupes algébriques surK, lenoyau${\displaystyle \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)}$ def est défini par${\displaystyle G{\times }_H{ϵ}_H}$. L'espace sous-jacent à Ker${\displaystyle (f)}$ est${\displaystyle f^{-1}({ϵ}_H)}$, mais la structure de sous-variété n'est pas nécessairement réduite. On montre facilement que Ker${\displaystyle (f)}$ est un sous-groupe algébrique deG.

• Si${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ est un groupe fini, il existe un unique groupe algébrique surK tel que${\displaystyle G(L)=\mathrm{\Gamma }}$ pour toute extension de corpsL/K. C'est legroupe constant${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$.
• Legroupe additif${\displaystyle G_a}$: la variété sous-jacente est la droite affine${\displaystyle {\mathbb{A}}^1}$ surK. Pour touteK-algèbre de type finiA, le groupe${\displaystyle G_a(A)}$ s'identifie canoniquement au groupe (additif)A.
• Legroupe multiplicatif${\displaystyle G_m}$: la variété sous-jacente est la droite affine${\displaystyle {\mathbb{A}}^1}$ surK privée de l'origine. Pour touteK-algèbre de type finiA, le groupe${\displaystyle G_m(A)}$ s'identifie canoniquement au groupe multiplicatif${\displaystyle A^{\ast }}$ des éléments inversibles deA.
• ${\displaystyle G{L}_{n,K}}$,le groupe des matrices inversibles, est un groupe algébrique. Pour touteK-algèbre de type finiA, le groupe${\displaystyle G{L}_{n,K}(A)}$ s'identifie au groupe multiplicatif des matrices carrés d'ordren, à coefficients dansA et inversibles. Lorsquen=1, on retrouve le groupe multiplicatif${\displaystyle G_m}$.
• Lescourbes elliptiques sont des groupes algébriques.
• Soitn un entier naturel. La multiplication parn induit un homomorphisme de groupes algébriques${\displaystyle G_a\to G_a}$. Sin est premier à la caractéristique du corpsK, alors le noyau de cet homomorphisme est réduit à l'élément neutre.
• SiK est de caractéristiquep positive, l’élévation à la puissancep (appeléendomorphisme de Frobenius) dans${\displaystyle G_a}$ est un homomorphisme de groupes algébriques. Son noyau, noté${\displaystyle {\alpha }_p}$, est un exemple typique de groupe algébrique non-lisse. La variété algébrique sous-jacente est${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(K[T]/T^{p}K[T])}$ (elle n'a qu'un seul point et n'est pas réduite).
• Soitn un entier naturel. Dans le groupe multiplicatif${\displaystyle G_m}$, l’élévation à la puissancen induit un homomorphisme de groupes algébriques, dont le noyau${\displaystyle {\mu }_n}$ est un groupe algébrique fini, constant si le corps de baseK contient toutes les racinesn-ième de l'unité. Il est étale surK si et seulement sin est premier à la caractéristique deK.
• En géométrie algébrique, untoreT surK est un groupe algébrique, isomorphe à un produit de${\displaystyle G_m}$ sur la clôture algébrique deK. On dit queT estdéployé si l'isomorphisme est défini surK.

Deux classes de groupes algébriques sont particulièrement importantes. Tout d'abord, lesvariétés abéliennes sont des groupes algébriques pour lesquelles la variété sous-jacente estpropre, connexe, et lisse. Les courbes elliptiques sont des exemples de variétés abéliennes.

Ensuite viennent lesgroupes algébriques linéaires (en) : ceux-ci correspondent au cas où le groupe est unevariété algébrique affine, autrement dit, où c'est le lieu des zéros d'une famille de polynômes dans${\displaystyle K[X_1,\dots ,X_n]}$. La plupart des sous-groupes usuels de${\displaystyle G{L}_n(K)}$ correspondent à des groupes algébriques linéaires. Par exemple,${\displaystyle S{L}_n(K)}$ est l'ensemble des zéros du polynôme${\displaystyle det-1}$. On peut montrer que les groupes algébriques linéaires peuvent êtrereprésentés fidèlement. Ainsi, ils peuvent toujours être vus comme des sous-groupes de${\displaystyle G{L}_{n,K}}$, ce qui explique leur appellation.

Un groupe algébrique géométriquement réduit est automatiquement lisse. Sur un corps de caractéristique 0, tout groupe algébrique est lisse (théorème de Cartier). En revanche, siK est de caractéristiquep positive, il existe des groupes algébriques non-lisses (voir l'exemple${\displaystyle {\alpha }_p}$ ci-dessus).

SiG est un groupe algébrique sur un corpsK, on peut décomposerG comme suit.

• Il existe un sous-groupe ouvert${\displaystyle G^0}$ de${\displaystyle G}$, appelé lacomposante neutre de${\displaystyle G}$, et un groupe algébrique${\displaystyle {\pi }_0(G)}$ fini étale surK, tels que${\displaystyle G}$ soit extension de${\displaystyle {\pi }_0(G)}$ par${\displaystyle G^0}$, c'est-à-dire qu'on a une suite exacte

${\displaystyle 1\to G^0\to G\to {\pi }_0(G)\to 1.}$

SiK est algébriquement clos,${\displaystyle {\pi }_0(G)}$ est un groupe fini constant.

• Supposons maintenantG lisse etK parfait (par exemple de caractéristique 0). Alors${\displaystyle G^0}$ est extension d'une variété abélienne par un groupe linéaire lisseL (théorème de Chevalley).
• Supposons de plus queG est commutatif. Le groupe linéaireL est produit d'un tore par un groupeunipotent (c'est-à-dire un groupe algébrique qui est extensions successives de${\displaystyle G_a}$). En caractéristique 0, les groupes unipotents sont isomorphes à un produit de${\displaystyle G_a}$.

SiG est un groupe algébrique lisse, alors son fibré tangent est constant, engendré par l'espace tangent de G à l'origine${\displaystyle {ϵ}_G}$. Par dualité, le faisceau des formes différentielles surG est libre (sur une variété algébrique lisse, le faisceau des formes différentielles est seulement localement libre en général).

Soit${\displaystyle S}$ un schéma. Unschéma en groupes sur${\displaystyle S}$ est un${\displaystyle S}$-schéma${\displaystyle G\to S}$ qui représente un foncteur de la catégorie des${\displaystyle S}$-schémas dans la catégorie desgroupes.

• Plus concrètement, on demande que pour tout${\displaystyle S}$-schéma${\displaystyle T}$, l'ensemble${\displaystyle G(T)={\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}}_S(T,G)}$ soit un groupe et que pour tout${\displaystyle T^{\prime }\to T}$, l'application canonique${\displaystyle G(T)\to G(T^{\prime })}$ soit unmorphisme de groupes.
• Une autre façon de définir les schémas en groupes est de dire qu'il existe un morphisme${\displaystyle G{\times }_{S}G\to G}$ (la multiplication), un automorphisme${\displaystyle G\to G}$ (l'inverse) et une section${\displaystyle S\to G}$ du morphisme structural${\displaystyle G\to S}$ (section neutre) qui vérifient les axiomes habituels d'un groupe.

Si${\displaystyle G\to S}$ est de plusde type fini, alors pour tout${\displaystyle s\in S}$, lafibre${\displaystyle G_s}$ est un groupe algébrique sur le corps résiduel${\displaystyle k(s)}$. Ainsi${\displaystyle G\to S}$ peut être vu comme une famille de groupes algébriques paramétrés par les points de${\displaystyle S}$.

Les exemples standard de groupes algébriques${\displaystyle G_a,G_m}$,courbes elliptiques etc se généralisent facilement en schémas en groupes sur une base${\displaystyle S}$ quelconque.

Un schéma en groupes${\displaystyle G\to S}$ estséparé sur${\displaystyle S}$ si et seulement si la section neutre est fermée dans${\displaystyle G}$.

• Approximation dans les groupes algébriques (en)
• Radical d'un groupe algébrique (en)
• Groupe algébrique semi-simple (en)
• Groupe arithmétique (en)

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