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Grassmannienne

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3 plans se croisent en un point, la partie 2 de trois illustrant le partage secret, cette version a ajouté l'accent du point

Enmathématiques, lesgrassmanniennes sont desvariétés dont les points correspondent auxsous-espaces vectoriels d'unespace vectoriel fixé. On note G(k,n) ou G_k,n(K) la grassmannienne des sous-espaces dedimensionkdans un espace de dimensionnsur lecorpsK. Ces espaces portent le nom deHermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ».

Généralités

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Exemples

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Pourk= 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
Pourk = n– 1, la grassmannienne correspond à l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, car chaque point correspond à unhyperplan.
Pourk= 2 etn= 4, on obtient la plus simple des grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée parJulius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par lescoordonnées plückeriennes.

Grassmannienne comme quotient

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Pour le voir, on note $GL_{p,n}$ l'ensemble des matrices de taille (n,p) et de rangp et $SL_{p,n}$ lavariété de Stiefel des matrices de taille (n,p) dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.

On remarque que $G_{p,n}$ est enbijection avec l'espace desorbites de l'action (par multiplicationà droite) de $GL_{p}$ sur $GL_{p,n}$ , ainsi qu'à celui de l'action de $U_{p}$ (le groupe desmatrices unitaires de taillep) sur $SL_{p,n}$ .

On montre que lestopologies induites par ces représentations sont identiques en utilisant lafactorisation de Cholesky^[1].

Plongement de Plücker

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Un autre façon de réaliser la grassmannienne est de définir sescoordonnées plückeriennes ougrassmanniennes. Ceplongement de $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ dans l'espace projectif $\mathbb {P} (\Lambda ^{p}(\mathbb {R} ^{n}))$ des produits extérieurs de degrékdans l'espace ℝⁿ prolonge les travaux de Plücker pour le cas des plans de ℝ⁴.

Recouvrement par des cartes affines

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On introduit labase canonique $(e_{i})_{i\in [[1,n]]}$ deE= ℝⁿ et l'on noteSunek-partie de {1, … ,n}, $E_{1}=E_{S}$ le sous-espace engendré par les vecteurs $(e_{i})_{i\in S}$ .

On note $V_{S}=G_{k,n,S}$ l'ensemble dessupplémentaires de $E_{2}=E_{S^{c}}$ .

Première étape: SoitVun élément deV_S.; Tout vecteur $x\in V$ s'écrit de façon unique $x=u+v=p(x)+q(x)$ avec $u\in E_{1}$ et $v\in E_{2}$ . L'application $V\to E_{1},x\mapsto u$ estlinéaire et injective. CommeVet $E_{1}$ ont même dimension, c'est unisomorphisme. On note $\phi \in L(E_{1},V)$ l'isomorphismeréciproque. On a alors $x=u+q\circ \phi (u)$ avec $\psi =q\circ \phi \in L(E_{1},E_{2}).$

Seconde étape: L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective, à tout élémentV de $V_{S}$ , une application $\psi \in L(E_{1},E_{2})$ , ou encoresa matrice (dans les bases canoniques deE₁ etE₂), $\psi _{S}(V)\in M_{n-k,k}$ (l'ensemble des matrices réelles de taillen – k,k).; Cette bijection $\psi _{S}:G_{k,n,S}=V_{S}\to M_{n-k,k}$ est une description affine de $G_{k,n,S}$ , qui est une partie ouverte (pour latopologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la grassmannienne $G_{k,n}$ .

Troisième étape: On montre que tout élément de $G_{k,n}$ appartient à $G_{k,n,S}$ pour au moins unek-partieS, et que pour deux parties différentesSetT, lechangement de cartes $\psi _{T}\circ (\psi _{S})^{-1}$ induit par les descriptions de $G_{k,n,S}$ et $G_{k,n,T}$ est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre $\psi _{S}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})$ et $\psi _{T}(G_{k,n,S}\cap G_{k,n,T})$ .

Interprétation comme variété algébrique

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On en déduit par recollement que cette grassmannienne est unevariété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ est une variété non singulière, affine, fermée et bornée, birégulièrement isomorphe à $G(n-p,n)(\mathbb {R} )$ ^[2].

Grassmanniennes euclidiennes

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Soit $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ la grassmannienne des sous-espaces de dimensionp de ℝⁿ. Dans l'espace $M_{n}(\mathbb {R} )$ desmatrices carrées de taillen à coefficients réels, considérons le sous-ensemble des matrices deprojecteurs orthogonaux de rangp, c'est-à-dire des matricesA vérifiant les trois conditions :

$A^{2}=A$ (c'est la matrice d'unprojecteur) ;
$^{\rm {t}}A=A$ (elle estsymétrique) ;
${\rm {Tr}}(A)=p$ (satrace estp).

On obtient par ce biais une représentation de $G_{p,n}(\mathbb {R} )$ comme un sous-ensemble affine des matrices carrées de taillen à coefficients réels.

Notes et références

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↑Jean-Pierre Dedieu,Points Fixes, Zéros et la Méthode de Newton,p. 68-69.
↑Jacek Bochnak, Michel Coste etMarie-Françoise Roy,Géométrie algébrique réelle,p. 64-67.