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Ceci est un glossaire de quelques termes utilisés entopologie.
Ce glossaire est divisé en deux parties. La première traite des concepts généraux, et la seconde liste différents types d'espaces topologiques. Dans ce glossaire, tous les espaces sont supposés topologiques.
L'adhérence oufermeture d'une partie d'unespace topologique est le plus petitfermé contenant celle-ci. Un point est ditadhérent à une partie s'il appartient à son adhérence.
Unebase d'unespace topologique est un ensemble d'ouverts dont les réunions sont tous les ouverts de latopologie. En particulier, une base d'ouverts est une base de voisinages.
Dans unespace métrique, laboule ouverte (respectivementfermée) de centrex et de rayonr (réel strictement positif) est l'ensemble des points situés à unedistance dex strictement inférieure (respectivement inférieure ou égale) àr.
Dans unespace vectoriel normé, laboule unité (ouverte ou fermée) est la boule (ouverte ou fermée) de centre 0 et de rayon 1.
Lacomposante connexe d'un point est la plus grande partieconnexe de l'espace contenant ce point. C'est l'union de toutes les parties connexes contenant ce point.
Connexe,connexe par arcs : voir les notions deconnexité.
Unesuite dans un espaceséparé est diteconvergente s'il existe un point (appelélimite de la suite) dont chaquevoisinage contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Une partie d'unespace topologique est ditefermée lorsque soncomplémentaire est unouvert. L'ensemble vide et l'espace sont donc des fermés. L'union de deux fermés est un fermé et l'intersection d'unefamille quelconque de fermés est un fermé.
Filtre : Unfiltre sur un ensembleE est un ensemble non vide de parties non vides deE qui est stable par sur-parties et intersections finies. Dans un espace topologique, les voisinages d'un point forment un filtre.
Fin
Unetopologie estplus fine qu'une autre sur le même ensemble si toutouvert pour la deuxième est ouvert pour la première.
On dit d'unrecouvrement qu'il estplus fin qu'un autre si chacun de ses éléments est inclus dans l'un des éléments du second.
Fonctionnellement séparés
Deux parties et d'unespace topologique sont ditesfonctionnellement séparées lorsqu'il existe une fonctioncontinuef :X → [0,1] telle quef|A=0 etf|B = 1.
Lafrontière d'une partie d'unespace topologique est lecomplémentaire de sonintérieur dans sonadhérence, autrement dit l'ensemble des points qui sont adhérents à la fois à cette partie et à son complémentaire. C'est unfermé.
F-sigma
Une partie d'un espace topologique estun Fσ si c'est une réunion dénombrable de fermés.
L'intérieur d'une partie d'unespace topologique est la réunion de tous lesouverts contenus dans cette partie. C'est donc le plus grand ouvert contenu dans cette partie, ou le complémentaire de l'adhérence de son complémentaire. Un point estintérieur à une partie si et seulement si cette partie est unvoisinage du point.
Localement connexe oulocalement connexe par arcs : voir les notions deconnexité.
Localement fini
Unefamille de parties d'unespace topologique est ditelocalement finie lorsque chaque point possède unvoisinage qui ne rencontre qu'un nombre fini d'éléments de la famille. Une famille dénombrablement localement finie est une union dénombrable de familles localement finies.
Localement métrisable
Un espace est ditlocalement métrisable lorsque chaque point admet unvoisinagemétrisable.
Unepartition de l'unité sur unespace topologique est un ensemble de fonctionscontinues à valeurs dans tel que chaque point possède unvoisinage sur lequel seul un nombre fini de ces fonctions ne sont pas constamment nulles et la somme des restrictions de celles-ci est constante égale à 1.
SiA est une partie d'unespace topologique, unpoint d'accumulation oupoint limite deA est un pointx dont toutvoisinage contient un point deA distinct dex. Autrement dit, un pointx est un point d'accumulation deA si et seulement s'il estadhérent àA\{x}. L'expressionpoint d'accumulation désigne parfois une propriété plus forte : tout voisinage dexcontient une infinité de points deA.
Point isolé
Dans unespace séparé, unpoint isolé d'une partieA est un pointx deA pour lequel il existe un voisinage qui ne rencontreA qu'au pointx. Autrement dit, c'est un point deA qui n'est paspoint d'accumulation deA.
Unraffinement d'un recouvrement est un recouvrement dont chaque élément est inclus dans un élément de. En français, on dira plutôt recouvrement plus fin à la place de raffinement.
Unrecouvrement d'unespace topologique est une famille de parties dont l'union est l'espace tout entier. Un recouvrement est ditouvert lorsque tous ses éléments sont desouverts.
Un espaceséparé n'est pas nécessairement séparable et réciproquement.
Séparant
Unefamille d'applicationscontinues entre deux espaces topologiquesX etY est diteséparante si tout couple de points distincts dansX a des images séparées dansY par au moins l'une de ces applications.
Dans unespace métrique, unesuite de Cauchy est une suite de points telle que pour tout réel strictement positifa il existe un rang de la suite à partir duquel ladistance entre deux images quelconques de la suite est toujours inférieure àa.
Unetopologie sur un ensembleE est un ensembleT de parties deE tel que :
l'ensembleE lui-même et l'ensemble vide sont des éléments deT ;
laréunion de toutefamille d'éléments deT est un élément deT ;
l'intersection de deux éléments deT est un élément deT.
Les éléments deT sont appelés lesouverts de cette topologie.
Topologie discrète
Latopologie discrète sur un ensembleE est la topologie dont les ouverts sont toutes les parties deE. C'est la plusfine de toutes les topologies surE.
Topologie engendrée
Latopologie engendrée par un ensemble de parties d'un ensemble est celle dont lesouverts sont les réunions quelconques d'intersections finies d'éléments de. L'ensemble constitue uneprébase de la topologie engendrée.
Topologie grossière
Latopologie grossière sur un ensembleE est latopologie dont les seulsouverts sont l'ensemble vide et l'ensembleE. C'est la moinsfine de toutes les topologies surE.
Topologie induite
Latopologie induite sur une partieA d'unespace topologiqueE est l'ensemble des intersections deA avec lesouverts deE. C'est la topologie la moins fine surA rendant continue l'injection canonique deA dansE.
Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T estmoins fine que la topologie T' si tout ouvert de T est ouvert de T'. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T') dans (E,T).
Soient T, T' deux topologies sur le même ensemble E. La topologie T estplus fine que la topologie T' si tout ouvert de T' est ouvert de T. Cela équivaut à la continuité de l'application identique de (E,T) dans (E,T').
Unvoisinage d'une partieA d'unespace topologique est un ensemble contenant unouvert contenant lui-mêmeA. En particulier, unvoisinage ouvert deA est simplement un ouvert contenantA. Unvoisinage d'un pointp est un voisinage du singleton.
Normal : séparé et dans lequel deux fermés disjoints quelconques possèdent toujours des voisinages disjoints. Lelemme d'Urysohn garantit alors que ces deux fermés sontfonctionnellement séparés.
Le termecompact est utilisé en anglais pour décrire un quasi-compact. Le risque de confusion peut alors amener à préciser « compact Hausdorff » pour désigner l'acception française.
Les hypothèses de connexité décrivent la cohésion de l'espace ou de certains voisinages, ou l'existence de déformations (homotopies) entre certaines applicationscontinues vers l'espace considéré.
Connexe : qui n'est pas l'union disjointe de deux ouverts non vides.
