Entopologie, lafrontière d'unensemble (aussi appelé parfois « le bord d'un ensemble ») est constituée des points qui, de façon intuitive, sont « situés au bord » de cet ensemble, c’est-à-dire qui peuvent être « approchés » à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble.
Illustration de concepts de base en topologie générale
l'ensemble de tous les « points frontières » deS, c'est-à-dire des pointsp deE pour lesquels toutvoisinage dep — ou simplement tous ceux d'unebase de voisinages[1] — contient au moins un point dansS et un point hors deS.
l'ensemble des points deE qui n'appartiennent ni à l'intérieur deS ni à l'extérieur deS[2]:
La frontière d'un ensemble est unfermé (d'après la deuxième définition, commeintersection de deux fermés).
La frontière d'un ensemble est également celle de son complémentaire (toujours d'après la deuxième définition, en utilisant l'involutivité du passage au complémentaire).
L'adhérence d'un ensemble est laréunion de cet ensemble et de sa frontière :S =S ∪ ∂S. En particulier, un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière.
L'intérieur d'un ensemble est cet ensemble privé de sa frontière. En particulier, un ensemble est unouvert si et seulement s'il est disjoint de sa frontière.
La frontière d'un ouvert (ou d'un fermé) est d'intérieur vide. En effet, siS est ouvert, ∂S =S ∩ (E \S) donc int(∂S) ⊂S ∩ int(E \S) = ∅.
La frontière d'une union finie est en général strictement incluse dans la réunion des frontières, mais siA etB sont d'adhérences disjointes — ou plus généralement, siA ∩B =B ∩A = ∅ — alors ∂(A ∪B) = ∂(A) ∪ ∂(B).
