Trois quarts de gâteau, un quart ayant été retiré.
Enmathématiques, unefraction est un moyen d'écrire unnombre rationnel sous la forme d'unquotient de deux entiers. Ainsi la fractiona/b désigne le quotient dea parb (b ≠ 0). Dans cette fraction,a est appelé lenumérateur etb ledénominateur.
Unefraction représente unpartage d’une entité unique : le dénominateur de la fraction représente le nombre de parts (nécessairement égales) faites dans cette entité, tandis que son numérateur représente le nombre de parts prises ou mobilisées. Pour le dire autrement, le dénominateur d’une fraction est le « tout » tandis que son numérateur est une « partie du tout », autrement dit une fraction de l’entité complète.
Exemple de fraction :
La fraction3/4 indique qu’une entité a été partagée en 4 parts égales, puis que trois de ces quatre parts ont été mobilisées. Numériquement, cette fraction vaut 0,75 (à comparer avec l’entité qui vaut, par principe, 1). En pratique, on peut imaginer le partage d’un gâteau en quatre parts égales, puis la distribution de trois de ces parts aux convives.
Contre-intuitivement, le numérateur peut être plus grand que le dénominateur. Ainsi, la fraction56/8 indique qu’une entité a été partagée en 8 parts égales, mais que 56 telles parts ont été mobilisées. Cette fraction est équivalente au nombre 7 car7 × 8 = 56, donc le quotient de 56 par 8 est 7. En pratique, on peut imaginer un gâteau partagé en 8 parts égales. Pour servir équitablement 56 convives (une part par convive), il faudra donc prévoir 7 gâteaux ainsi découpés.
Une fraction est donc différente d’unrapport, ce dernier se limitant à comparer deux quantités arbitraires, et non deux quantités d’une même entité avec l’une des quantités égale au tout et l’autre égale à une partie de ce tout, comme le ferait une fraction.
Exemple de rapport et lien avec la notion de fraction :
Le rapport A/B = 56:8 indique que pour 56 unités d’une entité A, on met en vis-à-vis 8 unités d’une entité B distincte.
Il y a donc56/8 = 7 fois plus d’entités A que d’entités B, la fraction56/8 permettant de calculer l’importance du déséquilibre exprimé par le rapport, qui pourrait s’écrire également A/B = 7:1 ou simplement A/B = 7 (d’où des confusions possibles, liées aux notations parfois similaires entre fraction et rapport).
Un nombre qu’on peut représenter par des fractions denombres entiers est appelénombre rationnel. L'ensemble des rationnels est noté ℚ.
Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si est unanneau intègre, on peut créer lecorps des fractions de. Ses éléments se notent (par analogie aux fractions d'entiers relatifs) et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification…) que les fractions de ℚ.
Labarre oblique ou la barre de fraction signifient que l'on divise le numérateur par le dénominateur.
Exemple :3/7 signifie que l'on divise 3 par 7 ; on prononce cette fraction « trois septièmes ».
3 est appelé numérateur parce qu'il indique unnombre de trois unités (les septièmes)
7 est appelé dénominateur parce qu'ildénomme l'unité (le septième) avec laquelle on opère.
Si on mange les3/7 d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique le nombre total de parts, donc l'unité considérée.
On trouve aussi les notations
où lesdeux-points montrent l'intention d'exprimer un rapport, ou encore
où l'obélus remplace la barre de fraction, mais exprimant l'opération de division elle-même (bien que cet usage soit déconseillé[1],[2]).
Si la notion de fraction est une étape importante de la compréhension mathématique à un niveau élémentaire, elle n'a guère d'usage dans une théorie générale.
LeDictionnaire des mathématiques définit la fraction comme« synonyme de nombre rationnel »[5].
Cette définition présente plusieurs inconvénients. Chacun convient que3/4 est une fraction, et que6/8 est uneautre fraction, qui désigne cependant le même nombre rationnel. L'égalité du rationnel que désigne la fraction ne saute pas toujours aux yeux, comme pour57 ÷ 437 et3 ÷ 23. La définition limite aussi au cas où numérateur et dénominateur sont des entiers. Mais on emploie couramment la même notation avec des nombres réels, commeπ/2 ou√3/2 ; ces expressions obéissent aux mêmes règles de combinaison et de simplification que les fractions.
En France, les autorités de l'enseignement définissent ainsi la fraction :« sia etb désignent deux entiers (a ∈,b ∈), la fractiona/b est l'écriture d'un être mathématique appelérationnel, mais n'est pas un être mathématique ; l'écriturea s'appelle « numérateur », l'écritureb « dénominateur » ; la barre, horizontale ou oblique, s'appelle un « trait de fraction » et équivaut à un signe de division »[6].
Cette définition soulève aussi quelques difficultés pédagogiques. Si la fraction était une simple écriture, on ne pourrait en faire un des termes d'une opération sur des nombres. On doit pourtant comprendre l'expression1/2 +1/4 =3/4[7].
Stella Baruk propose de diminuer ces difficultés en prenant soin de parler de fractionséquivalentes quand elles désignent le même nombre rationnel et d'écriture fractionnelle quand le numérateur ou le dénominateur n'est pas un nombre entier, et que par conséquent, il ne s'agit pas d'une fraction[8].
Pour comprendre et établir les règles de maniement des fractions, il existe deux méthodes différentes :
La première consiste à faire usage de lagéométrie. La fraction représente une portion d'aire d'une figuregéométrique ou d'une longueur d'un côté d'unpolygone, souvent untriangle. Démontrer les lois régissant les fractions revient à faire de la géométrie et à mesurer des aires ou des longueurs. Cette démarche est décrite dans l'articleAlgèbre géométrique.
Une autre démarche est de nature purementalgébrique. Lesnombres rationnels sont construits de manière abstraite à partir declasses d'équivalence d'entiers. L'addition et la multiplication issues des nombres entiers sont compatibles avec la classe d'équivalence, ce qui équipe l'ensemble des fractions d'une addition et d'une multiplication naturelles. Cette construction permet d'établir les lois régissant le comportement des fractions.
La démarche choisie ici correspond à la première décrite et est purement géométrique. Les méthodes utilisées s'appliquent pour les fractions d'entiers. La géométrie offre une autre méthode, permettant de généraliser les résultats au cas de fractions de deuxnombres réels positifs. Elle est décrite dans l'articleAlgèbre géométrique.
Le dénominateurd indique le nombre de parties égales à découper dans la forme géométrique et le numérateurn indique le nombre de parties égales utilisées.
Par exemple, pour représenter la fraction3⁄4, le dénominateur étant 4, on divise le rectangle en 4 parties égales, puis, le numérateur étant 3, on colore seulement trois des quatre parties.
Fractions dont le numérateur est supérieur au dénominateur
Cette fraction sera équivalente au quotient entier den pard, (qui représentera le nombre d'unités) suivi d'une fraction constituée par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.
Par exemple, pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1.Le quotient est 2 donc 2 unités, le reste 1 donc la fraction est équivalente à21⁄3. Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un unique rectangle, on présente donc deux rectangles pleins suivi d'un rectangle plein seulement au tiers :
Pour prendre les2⁄3 de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2 :
750÷3 = 250 ; 250 × 2 = 500. Donc2⁄3 de 750 = 500
Prendrea⁄b de c revient à diviser c par b et à multiplier le tout par a.Ou plus simplement, quand on connaît les règles de calcul sur les fractions, prendrea⁄b de c revient à multipliera⁄b par c.Plus généralement, on constate que le « de » est remplacé par une multiplication.Il en est de même quand on calcule 75 % de c, on doit juste calculer 75 % multiplié par c. En effet, 75 % est une fraction : 75 % =75⁄100 = 0,75.
On obtient la même surface en divisant le rectangle en 3 parties et en colorant 2, qu'en divisant le rectangle en 6 parties et en colorant 4
Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fractionéquivalente. Par exemple, dans la représentation ci-contre, on a multiplié le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2 pour obtenir la seconde fraction.
Deux représentations équivalentes de la fraction 2/3
De manière générale, les fractionsn/d etn′/d′ sont équivalentes dès quen ×d′ =d ×n′. Par exemple, dans la représentation ci-contre, on sait que les fractions 4/6 et 6/9 sont équivalentes car4 × 9 = 6 × 6
Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire quen etd peuvent être divisés par un même nombre. Si on prend, pour la simplification, le plus grand nombre possible — ce nombre s'appelle le PGCD (plus grand commun diviseur) den etd — on obtient unefraction irréductible, dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
Pour effectuer certaines opérations entre fractions, tous les dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que tous les dénominateurs soient identiques. On cherche, en général, à ce que ce dénominateur soit le plus petit possible, en prenant le plus petit nombre qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce nombre s'appelle le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. L'opération s'appelleréduire au même dénominateur. Exemple pour réduire au même dénominateur les fractions 3/4, 1/6, 5/9 et 14/15, on cherche le plus petit multiple commun de 4, 6, 9, 15 qui est2 × 2 × 3 × 3 × 5, et on a :
Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne commence pas immédiatement après la virgule, par exemple :0,8333... ou 0,14666...
Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première période.Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.
Exemple : 0,36981981... valeur mixte : 36 Valeur mixte suivie de la première période : 36981 Numérateur = 36981 – 36 = 36945
Dans la valeur 0,36981981..., la période 981 est constituée de 3 chiffres donc le dénominateur sera constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 est composée de deux chiffres. Finalement on obtient 0,36981981... = 36945/99900 = 821/2220.
Dans les pays anglo-saxons, on considère qu'une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur est « impropre » (improper fraction). On utilise couramment le nombre mixte (au Québec,nombre fractionnaire), de la formeab⁄c avecb < c[10]. Cette écriture se lita +b⁄c et non pasa ×b⁄c comme ce serait le cas si le deuxième terme n'était pas une fraction.
En écrivant27⁄9 plutôt que 25/9, on indique que le quotient de la division entière de 25 par 9 est bien 2 le reste 7.
Cette différence d'usage est due à la place prépondérante, enEurope continentale, du système décimal[11] à tel point que la maîtrise des fractions succède à celle des nombres décimaux dans l'enseignement français alors que c'est l'inverse par exemple en Nouvelle-Zélande[12].
Alors que les Européens continentaux utilisent volontiers les nombres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent souvent exprimer les parties non entières par des fractions. Par exemple, ils diront d'une feuille au formatExecutive mesure 10 ¹⁄₂ × 7¼ pouces, et non pas 10,5 × 7,25 pouces.
Multiplication des fractions 2/3 et 4/5. À la droite, le petit rectangle comprend 2×4 cases bleu foncé, alors que le grand rectangle comprend 3×5 cases toutes couleurs confondues, d'où la fraction 8/15.
La multiplication de deux fractions est simple à effectuer mais il n'est pas simple de comprendre pourquoi elle fonctionne ainsi. Par exemple,
Voici une explication basée sur une compréhension intuitive des fractions. On peut comprendre quatre cinquièmes comme quatre fois un cinquième (voir les représentations graphiques ci-dessus) soit comme. Ainsi multiplier par revient à effectuer.
Mais multiplier par un cinquième revient à diviser par 5, c'est-à-dire à multiplier le dénominateur par 5 (les parts sont 5 fois plus petites), soit :.
La division est l'opération inverse de la multiplication. De façon algorithmique, lorsqu'on divise par une fraction, on remplace la division par la multiplication tout en inversant la fraction qui suit. Par exemple :
Pour les fractions rationnelles, ou plus généralement pour le corps des fractions d'unanneau commutatif, la notion de dénominateur et de numérateur garde le même sens.
J’ai trouvé une pierre mais je ne l’ai pas pesée. Après lui avoir ajouté un septième de son poids et avoir ajouté un onzième du résultat, j’ai pesé le tout et j’ai trouvé : 1 ma-na [unité de masse]. Quel était à l’origine le poids de la pierre ? (problème babylonien, tablette YBC 4652, problème 7)
Un nombre augmenté de son septième donne 19. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 24)
Un nombre augmenté de son quart donne 15. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 26)
Supposons que l’on ait 9 tiges d’or jaune et 11 tiges d’argent blanc qui, à la pesée, ont des poids tout juste égaux. Si l’on échange entre elles une de leurs tiges, l’or devient plus léger de 13liang [unité de masse]. On demande combien pèsent respectivement une tige d’or et une tige d’argent. (Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, problème 7.17)
Une lance a la moitié et le tiers dans l’eau et neuf paumes à l’extérieur. Je te demande combien elle a de long. (problème médiéval)
Le termefraction, apparu en français à la fin duXIIe siècle, est un dérivé dubas latinfractio (« action de briser ») utilisé dans la terminologie mathématique médiévale pour désigner la « division ». Ce terme lui-même provient dulatin classiquefrangere (« briser ») qui provient de la racine indo-européenne°bhreg qui a la même signification et dont dérive la racinegotiquebrikan qui donnebreak en anglais etbrechen en allemand[13].
↑Florian Cajori,A History of Mathematical Notations, Two Volumes Bound as One, Dover Publications,(lire en ligne),p. 269
↑Marc Moyon/Maryvonne Spiesser, « L'arithmétique des fractions dans l'œuvre de Fibonacci: fondements & usages »,Archive for History of Exact Sciences,vol. 69,no 4,,p. 391-427(lire en ligne)
