C'est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « autosimilaire ».
Les fractales sont définies de manière paradoxale, un peu à l'image despoupées russes qui renferment une figurine plus ou moins identique à l'échelle près : les objets fractals peuvent être envisagés comme des structuresgigognes en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points. Cette conceptionhologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition récursive : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal (similaire).
De nombreux phénomènes naturels – comme le tracé des lignes de côtes ou l'aspect duchou romanesco – possèdent des formes fractales approximatives.
Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète.Votre aide est la bienvenue !Comment faire ?
De nombreux exemples de fractales, comme leflocon de Koch ou letapis de Sierpiński ont été découverts à la fin du19e siècle, mais c'estBenoît Mandelbrot qui, en 1975, a attiré l'attention sur ces objets et leur omniprésence dans la nature[1], créant à cette occasion l'adjectif « fractal » à partir de la racine latinefractus, qui signifie « brisé », « irrégulier », et de la désinence « -al » présente dans les adjectifs « naval » et « banal » (pluriels : navals, banals, fractals) ; l'usage a ensuite imposé le substantifune fractale pour désigner une figure ou une équation de géométrie fractale[2].
Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :
sadimension de Hausdorff est strictement supérieure à sadimension topologique. Cette caractéristique est généralement prise comme définition même d'un objet fractal. Pour exprimer la chose autrement, un réseau d'irrigation est un déploiement de lignes (« en1D ») qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (« en 2D »). La surface du poumon (« en2D ») est repliée en une sorte de volume (« en3D »). De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension non entière. (Mandelbrot ne considère pas cette définition comme tout à fait satisfaisante[a]) ;
il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
il est exactement ou statistiquementautosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties[3].
Les figures fractales n'ont pas à satisfaire toutes les propriétés mentionnées ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de MandelbrotLes Objets fractals en donne une grande variété d'exemples). La taille desalvéoles du poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale, est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule d'oxygène à température du corps.[réf. souhaitée]
La dimension utilisée est celle deHausdorff, et on observe qu'elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connait les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre pour les montagnes, les nuages, etc.
Figure fractale de Mandelbrot créée avec Python (Fractale au degré 20).
De toutes ces figures fractales, seules celles construites par des systèmes de fonctions itérées affichent habituellement la propriété d'autosimilitude, signifiant que leur complexité est invariante par changement d'échelle.
Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, lesturbulences de liquide, les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans lacompression fractale d'images, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.
La dimension d'une ligne droite, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Une fois fixés une origine et un sens, chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre, qui définit la distance entre l'origine et le point. Ce nombre est négatif s'il faut se déplacer dans le sens opposé à celui choisi au départ.
La dimension d'une figure simple dans le plan est de 2. Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres. La dimension d'un corps simple dans l'espace est de 3.
Une figure telle qu'une fractale n'est pas simple. Sa dimension n'est plus aussi facile à définir et n'est plus forcément entière. La dimension fractale, plus complexe, s'exprime à l'aide de ladimension de Hausdorff.
Lesarbres et lesfougères sont de nature fractale et peuvent être modélisés par ordinateur à l'aide d'algorithmes récursifs comme lesL-Systems. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de forme similaire.
Spectaculaire est la géométrie proprement fractale desplantes à cyme n-pare : de chaque nœud de la plante partent invariablement un axe floral principal terminé par une fleur et n axes secondaires qui chacun, à leur nœud suivant, reproduiront en plus petit le même schéma de construction. Ainsi, si la plante poussait à l'infini, elle serait à partir de chaque nœud une réplique exacte, à échelle décroissante, du pied entier.
La surface d'une montagne peut être modélisée surordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.
Enfin, certainsastrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'Univers à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers fondé sur les fractales.
Ainsi, en calculant la durée que met un gaz sous pression à traverser un volume donné de granules, on en déduit la surface des granules. Plus le broyage est fin, plus la surface calculée est importante.
Cette expérience se produisant dans un volume déterminé, on peut imaginer obtenir une surface développée infinie en broyant toujours plus finement le ciment. Il s'agit là d'une utilisation industrielle d'un modèle expliqué par les mathématiques fractales (un objet de dimensionn de mesure finie, borné par une frontière de dimensionn-1, de mesure tendant vers l'infini).
« Il est vrai que [mes textes de 77 et de 82] avaient eu l'imprudence de proposer, pour le concept de fractale, une « définition pour voir », ou « définition tactique ». Ses défauts majeurs, vite apparus, me l'ont fait retirer dès le deuxième tirage [du texte de 82]. Mais elle persiste à être citée et à inquiéter. Je disais donc que l'ensemble E est fractal si […]. »
↑Mandelbrot, lorsqu'il a publiéUne approche fractale des marchés (Odile Jacob, 2004), était très méfiant vis-à-vis de la recherche fondamentale appliquée à diverses prévisions économiques en rapport avec le Marché. Il avait vainement prévenu de leur fausseté.(cf. interview dans le Monde)
.png)
.jpg)
.jpg)
