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Fonction trigonométrique

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Toutes les valeurs des fonctions trigonométriques d'un angleθ peuvent être représentées géométriquement.

Lesfonctions trigonométriques sont desfonctions mathématiques définies originellement pour relier leslongueurs des côtés d'untriangle à la mesure de sesangles auxsommets. Cesfonctions sont importantes engéométrie pour étudier lespolygones et lescercles (on les appelle aussifonctions circulaires), engéodésie et ennavigation maritime ou aérienne pour les calculs de position et de distance, et enphysique pourmodéliser lesphénomènes périodiques.

Les trois fonctions trigonométriques les plus utilisées sont lesinus (notésin), lecosinus (cos) et latangente (tan,tang outg). D'autres fonctions sont aussi utilisées :cotangente,sécante,cosécante,sinus verse,haversine,exsécante (en), etc. Les relations entre les différentes fonctions trigonométriques constituent les identités trigonométriques. Ces relations servent dans les disciplines susmentionnées mais aussi enanalyse mathématique, par exemple pour l'intégration par changement de variable.

Les fonctions trigonométriques peuvent aussi être définies comme les sommes deséries entières ou comme les solutions d'équations différentielles, ce qui permet de les généraliser à desnombres complexes.

Par ailleurs, sur le modèle des fonctions trigonométriques, on définit aussi desfonctions hyperboliques dont le nom dérive des premières :sinus hyperbolique (sinh),cosinus hyperbolique (cosh),tangente hyperbolique (tanh), etc.

Histoire

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Article détaillé :Histoire des fonctions trigonométriques.

Les traces les plus anciennes d'utilisation de sinus seraient apparues dans lesŚulba-Sūtras écrits ensanskrit védique dans la période des VIII^e au VI^e sièclesav. J.-C.

Les fonctions trigonométriques furent plus tard étudiées par Hipparque deNicée (185-125 av. J.-C.),Âryabhata (476-550),Varahamihira,Brahmagupta,Al-Khawarizmi,Abu l-Wafa,Omar Khayyam,Al-Battani (858-929),Bhāskara II,Nasir ad-Din at-Tusi,Regiomontanus (1464),Al-Kashi (XIV^e siècle),Ulugh Beg (XIV^e siècle),Madhava (1400),Rheticus et son discipleValentin Otho.

L'ouvrageIntroductio in analysin infinitorum (1748) deLeonhard Euler fut en grande partie à l'origine des considérations analytiques des fonctions trigonométriques en Europe en les définissant à partir de développements en séries, et présenta lesformules d'Euler.

Lignes trigonométriques

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Untriangle quelconque rectiligne (ousphérique) possède six parties : trois côtés et troisangles. Toutes ces parties ne sont pas utiles à la construction du triangle, par exemple les seules données de la longueur de deux de ses côtés et de l'angle entre ces côtés permet de compléter le triangle. Mais connaissant seulement les trois angles, il est impossible de retrouver le triangle, puisqu'il existe une infinité de triangles ayant les trois mêmes angles (triangles semblables). En fait, sauf dans un seul cas, il suffit de connaître trois de ces parties dont au moins un côté pour construire un triangle. Le cas où deux côtés sont connus mais l'angle connu n'est pas celui porté par les deux côtés peut définir deux triangles non semblables.

Le problème de la détermination avec exactitude des parties manquantes du triangle fut étudié en particulier enEurope à partir duMoyen Âge.Les méthodesgéométriques ne donnant, à l'exception des cas simples, que des constructions approximatives et insuffisantes à cause de l'imperfection des instruments utilisés, les recherches s'orientèrent plutôt vers des méthodes numériques afin d'obtenir des constructions avec un degré de précision voulu.

Et l'un des objectifs de la trigonométrie fut donc de donner des méthodes pour calculer toutes les parties d'un triangle, c'est-à-dire pourrésoudre un triangle.Pendant longtemps les géomètres cherchèrent en vain des relations entre les angles et les côtés des triangles. Une de leurs plus grandes idées fut de se servir des arcs plutôt que des angles pour effectuer leurs mesures.

Cesarcs de cercle ont pour centre un sommet du triangle et sont compris entre les côtés se rapportant à ce sommet. Ces considérations menèrent tout naturellement les géomètres à remplacer les arcs par lessegments de droites dont ils dépendent.

Ces segments s'appellent leslignes trigonométriques. Il s'agit en fait d'un autre vocable pour désigner les fonctions trigonométriques (sin,cos,tan…) appelées aussi fonctions circulaires. Des relations entre les côtés et certaines lignes liées aux arcs s'établissent de manière que les lignes puissent être déterminées à partir de certains arcs et réciproquement. Une convention fondamentale oblige alors à ne considérer que les lignes trigonométriques rapportées à des cercles de rayon 1. Ces lignes trigonométriques définissent les fonctions trigonométriques modernes.

Les fonctions trigonométriques mathématiques sont celles qui s'appliquent à des mesures d'angles données enradians. Mais il est encore d'usage de garder les mêmes noms de fonctions pour les autres unités de mesure comme lesdegrés ou lesgrades.

Définitions dans un triangle rectangle

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Pour définir lesfonctions trigonométriques d'unangleÂ, considérons untriangle rectangle dontÂ est l'un des deuxangles aigus.

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :

l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, constituant une jambe de l'angleÂ et le côté le plus long du triangle ;
lecôté adjacent : c'est le côté joignant l'angle droit depuisÂ, constituant une jambe de l'angleÂ, qui n'est pas l'hypoténuse ;
lecôté opposé : c'est le côté opposé à l'angleÂ, joignant l'angle droit, qui n'est pas l'hypoténuse.

On notera :

h : la longueur de l'hypoténuse ;

a : la longueur du côté adjacent ;

o : la longueur du côté opposé.


Les rapports des longueurs des côtés du triangle donnent son sinus, son cosinus et sa tangente.

Les différents rapports de ces trois longueurs ne dépendent pas du triangle choisi (du moment qu'il comporte l'angleÂ et un angle droit) puisque tous ces triangles sontsemblables.

Lesinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé par la longueur de l'hypoténuse :

$\sin({\widehat {A}})={\frac {\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {hypot{\acute {e}}nuse} }}={\frac {o}{h}}$ .

Lecosinus d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse :

$\cos({\widehat {A}})={\frac {\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;adjacent} }{\mathrm {hypot{\acute {e}}nuse} }}={\frac {a}{h}}$ .

Latangente d'un angle est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur du côté adjacent :

$\tan({\widehat {A}})={\frac {\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;adjacent} }}={\frac {o}{a}}$ .Notons que l'on a : $\tan ={\frac {\sin }{\cos }}$ .

Les trois fonctions restantes sont définies en utilisant les trois fonctions ci-dessus :

Lacosécante deÂ, notéecsc(Â) oucosec(Â), est l'inverse1/sin(Â) du sinus deÂ, c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté opposé :

$\csc({\widehat {A}})={\frac {\mathrm {hypot{\acute {e}}nuse} }{\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;oppos{\acute {e}}} }}={\frac {h}{o}}$ .

Lasécante deÂ, notéesec(Â), est l'inverse1/cos(Â) du cosinus deÂ, c'est-à-dire le rapport de la longueur de l'hypoténuse par la longueur du côté adjacent :

$\sec({\widehat {A}})={\frac {\mathrm {hypot{\acute {e}}nuse} }{\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;adjacent} }}={\frac {h}{a}}$ .

Lacotangente deÂ, notéecot(Â), est l'inverse1/tan(Â) de la tangente deÂ, c'est-à-dire le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur du côté opposé :

$\cot({\widehat {A}})={\frac {\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;adjacent} }{\mathrm {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\;oppos{\acute {e}}} }}={\frac {a}{o}}$ .Notons que l'on a : $\cot ={\frac {\cos }{\sin }}$ .

Définitions à partir du cercle unité

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Tracé des fonctions sinus et cosinus à partir du cercle unité.

Valeurs exactes placées sur le cercle unité.

Les six fonctions trigonométriques peuvent également être définies à partir ducercle unité. La définition géométrique ne fournit presque pas de moyens pour le calcul pratique ; en effet elle se fonde sur des triangles rectangles pour la plupart des angles. Lecercle trigonométrique, en revanche, permet la définition des fonctions trigonométriques pour tous les réels positifs ou négatifs, pas seulement pour des angles de mesure en radians comprise entre 0 etπ/2.

Dans un plan muni d'unrepère orthonormé $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$ , le cercle trigonométrique est lecercle de centreO et de rayon 1.Si l'on considère un pointA(x_A,y_A) sur le cercle, alors on a : $\cos {\widehat {({\vec {i}},{\vec {OA}})}}=x_{A}{\text{ et }}\sin {\widehat {({\vec {i}},{\vec {OA}})}}=y_{A}.$

Sur le cercle ci-contre, nous avons représenté certains angles communs, et nous avons indiqué leurs mesures en radians figurant dans l'intervalle[–2π, 2π], soit deux mesures par angle et même trois pour l'angle nul.

On mesure les angles positifs dans le sens trigonométrique, contraire à celui des aiguilles d'une horloge, et les angles négatifs dans le sens horaire. Une demi-droite qui fait un angleθ avec la demi-droite positiveOx de l'axe des abscisses coupe le cercle en un point de coordonnées(cosθ, sinθ). Géométriquement, cela provient du fait que l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour sommets les points de coordonnées(0 , 0),(cosθ, 0) et(cosθ, sinθ) est égale au rayon du cercle donc à 1. Le cercle unité peut être considéré comme une façon de regarder un nombre infini de triangles obtenus en changeant les longueurs des côtés opposés et adjacents mais en gardant la longueur de leur hypoténuse égale à 1.

On a donc : $\sin \theta ={y \over 1}=y,\quad \cos \theta ={x \over 1}=x\quad {\text{et}}\quad \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ ainsi que $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}\quad {\text{et}}\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

Le cercle unité a pour équation : $x^{2}+y^{2}=1.$ Cela donne immédiatement la relation

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.

Définition à partir du produit scalaire

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Engéométrie vectorielle, le cosinus est défini à partir duproduit scalaire de deux vecteursu etv et de leurs normes ||u|| et ||v|| par : $\cos(u,v)={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\times \|v\|}}.$

Définitions à partir des séries entières

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Ici, et généralement enanalyse, il est de la plus grande importance que tous les angles soient mesurés enradians. On peut alors définirsin etcos à l'aide deséries entières :

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.$

Ces définitions sont équivalentes à celles données ci-dessus ; on peut le justifier avec la théorie desséries de Taylor, et avec le fait quela dérivée du sinus est le cosinus et que celle du cosinus est l'opposé du sinus.

Ces définitions sont souvent utilisées comme point de départ des traités rigoureux d'analyse et de la définition dunombreπ puisque la théorie desséries est bien connue. Ladérivabilité et lacontinuité sont alors faciles à établir, de même que lesformules d'Euler enanalyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à lafonction exponentielle, ainsi que l'identité d'Euler. Les définitions utilisant les séries ont l'avantage supplémentaire de permettre de prolonger les fonctions sinus et cosinus en desfonctions analytiques dans tout leplan complexe.

Il n'est pas possible d'obtenir des séries aussi simples pour les autres fonctions trigonométriques, mais on a, par exemple

{\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots ,\qquad {\text{pour }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}

oùB_n est len-èmenombre de Bernoulli. Ces expressions se traduisent sous forme defractions continues généralisées ; elles ont permis àLambert de démontrer l'irrationalité du nombreπ (cf. l'article « Fraction continue et approximation diophantienne »).

À défaut de série entière simple, il existe pour la fonction cotangente unesérie absolument convergente, obtenue comme limite de sommes d'éléments simples correspondant à despôles opposés^[1]^,^[2] : $\pi \cot(\pi x)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}.$ On en déduit^[3] : ${\begin{aligned}{\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},\quad &\pi \tan \left({\frac {\pi x}{2}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4x}{(2n+1)^{2}-x^{2}}},\\{\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}},\quad &{\frac {\pi }{\cos(\pi x)}}&=2\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {n+{\tfrac {1}{2}}}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.\end{aligned}}$

Représentations graphiques

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Lescourbes des fonctions sinus et cosinus sont appeléessinusoïdes.


Représentations graphiques des fonctions sinus, cosinus et tangente.

Propriétés des fonctions trigonométriques

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Valeurs remarquables

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Article détaillé :Table de lignes trigonométriques exactes.

Article connexe :Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques.

Il existe des tables de valeurs des fonctions trigonométriques, mais ces valeurs peuvent également être calculées par une calculatrice. Pour quelques angles simples, les valeurs peuvent être calculées exactement à la main : elles sont indiquées dans le tableau suivant. Exemples :

Triangle équilatéral divisé en 2 pour calcul du sin, du cos, et de la tan pour 30° et 60°

Pour 45 degrés (π/4radians) : les deux angles du triangle rectangle sont égaux ; les longueursa etb étant égales, on peut choisira =b = 1. On détermine alors le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle de 45 degrés en utilisant lethéorème de Pythagore (voir figure à gauche) : $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {2}}.$
Pour 30 degrés (π/6 radians) et 60 degrés (π/3 radians) : on considère un triangle équilatéral de longueur latérale 2. Tous ses angles internes sont de 60 degrés. En le divisant en deux parties égales, on considère un des deux triangles rectangles obtenus ayant un angle de 30° et un angle de 60°. Le petit côté de ce triangle rectangle est égal au demi-côté du triangle équilatéral : il vaut 1. Le troisième côté de ce triangle rectangle est d'une longueurc telle que (voir figure à droite) : $2={\sqrt {c^{2}+1^{2}}},{\text{ soit }}c={\sqrt {2^{2}-1^{2}}}={\sqrt {3}}.$

Angle		Sinus		Cosinus		Tangente
Degrés	Radians	Exact	Décimal	Exact	Décimal	Exacte	Décimale
${0^{\circ }}$	0	${\frac {\sqrt {0}}{2}}$	0	${\frac {\sqrt {4}}{2}}$	1	0	0
${15^{\circ }}$	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$ ^[a]	0,2588…	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$ ^[b]	0,9659…	$2-{\sqrt {3}}$	0,2679…
${22,5^{\circ }}$	${\frac {\pi }{8}}$	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	0,3826…	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	0,9238…	${\sqrt {2}}-1$	0,4142…
${30^{\circ }}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}$	0,5	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0,8660…	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	0,5773…
${45^{\circ }}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0,7071…	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0,7071…	$1 {\displaystyle 1}$	1
${60^{\circ }}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0,8660…	${\frac {\sqrt {1}}{2}}$	0,5	${\sqrt {3}}$	1,7320…
${67,5^{\circ }}$	${\frac {3\pi }{8}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}$	0,9238…	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}$	0,3826…	${\sqrt {2}}+1$	2,4142…
${75^{\circ }}$	${\frac {5\pi }{12}}$	${\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$ ^[b]	0,9659…	${\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$ ^[a]	0,2588…	$2+{\sqrt {3}}$	3,7320…
${90^{\circ }}$	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}$	1	${\frac {\sqrt {0}}{2}}$	0	$\infty$ ind.	infini
${120^{\circ }}$	${\frac {2\pi }{3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	0,8660…	$-{\frac {\sqrt {1}}{2}}$	–0,5	$-{\sqrt {3}}$	–1,7320…
${135^{\circ }}$	${\frac {3\pi }{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	0,7071…	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	–0,7071…	-1	–1
${150^{\circ }}$	${\frac {5\pi }{6}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}$	0,5	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	–0,8660…	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	–0,5773…
${180^{\circ }}$	π	${\frac {\sqrt {0}}{2}}$	0	$-{\frac {\sqrt {4}}{2}}$	–1	0	0

On trouvera davantage de valeursici.

On peut se souvenir de certaines de ces valeurs en construisant la table suivante :en mettant dans l'ordre 0,π/6 (30°),π/4 (45°),π/3 (60°) etπ/2 (90°), le sinus prend les valeurs√n/2, et pour le cosinus, on prend l'ordre inverse.

Autres valeurs remarquables :

\left.{\begin{matrix}\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\sin \left({\frac {3\pi }{10}}\right)={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {\varphi }{2}}\\\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {1}{2\varphi }}\end{matrix}}\right\}

avecφ désignant lenombre d'or.

Les valeurs des

\cos \left({\frac {{k}\pi }{7}}\right)

sont décritesà cette page Wikipédia.

Celles des

\cos \left({\frac {{k}\pi }{9}}\right)

le sontà cette adresse.

Des formules de calcul plus générales sont décritesà cette page.

Zéros

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Leszéros desin sont lesréels qui s'écriventkπ (pour un certainentier relatifk). Ceux decos sont lesπ/2 +kπ.

Relations entre sinus et cosinus

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Les fonctions sinus et cosinus tracées dans leplan cartésien.

Animation montrant la relation entre lecercle unité et les fonctions sinus et cosinus.

NB : Les valeurs d'angles sont en radians.

Pour définir les angles strictement plus grands que2π ou strictement négatifs, il suffit d'effectuer des rotations autour du cercle. De cette façon, le sinus et le cosinus deviennent desfonctions périodiques de période2π, c'est-à-dire que pour tout angle θ et toutentierk :

$\cos(\theta +2k\pi )=\cos \theta {\text{ et }}\sin(\theta +2k\pi )=\sin \theta .$

Grâce au cercle, et avec des considérations géométriques simples, on peut voir que

${\begin{matrix}1.&\cos(\theta +\pi )&=&-\cos \theta &{\text{et}}&\sin(\theta +\pi )&=&-\sin \theta ,\\2.&\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&=&\sin \theta &{\text{et}}&\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&=&\cos \theta ,\\3.&\cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)&=&-\sin \theta &{\text{et}}&\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)&=&\cos \theta ,\\4.&\cos(\pi -\theta )&=&-\cos \theta &{\text{et}}&\sin(\pi -\theta )&=&\sin \theta ,\\5.&\cos(-\theta )&=&\cos \theta &{\text{et}}&\sin(-\theta )&=&-\sin \theta .\end{matrix}}$

Démonstration

carθ + π etθ sont diamétralement opposés sur le cercle ;
carπ/2 – θ est le point symétrique deθ par rapport à labissectrice de $({\vec {i}},{\vec {j}})$ ;
carθ + π/2 se déduit deθ par rotation d'un quart de tour.
carπ – θ est le symétrique deθ par rapport à $(O,{\vec {j}})$ ;
car–θ est le symétrique deθ par rapport à $(O,{\vec {i}}).$

Ces formules font partie desidentités trigonométriques.

Relations trigonométriques

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À partir desformules d'addition (dont se déduisent celles de différence) :

{\begin{cases}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\\tan(a+b)&={\dfrac {\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}}\end{cases}}

on démontre lesformules de Simpson :

{\begin{cases}\cos a\cos b&={\dfrac {1}{2}}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\\\sin a\sin b&={\dfrac {1}{2}}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]\\\sin a\cos b&={\dfrac {1}{2}}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]\end{cases}}\quad

et, réciproquement,

\quad {\begin{cases}\cos p+\cos q&=2\cos {\dfrac {p+q}{2}}\cos {\dfrac {p-q}{2}}\\\cos p-\cos q&=-2\sin {\dfrac {p+q}{2}}\sin {\dfrac {p-q}{2}}\\\sin p+\sin q&=2\sin {\dfrac {p+q}{2}}\cos {\dfrac {p-q}{2}}\\\sin p-\sin q&=2\cos {\dfrac {p+q}{2}}\sin {\dfrac {p-q}{2}}\end{cases}}\

ainsi quecelles impliquant la « tangente de l'arc moitié », $t=\tan {\frac {a}{2}}$ :

\cos a={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \sin a={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \tan a={\frac {2t}{1-t^{2}}}.

Parité des fonctions

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Les fonctions sinus et tangente sontimpaires : pour tout réelx,

\sin(-x)=-\sin x

et (six appartient audomaine de définition detan, c'est-à-dire s'il n'est pas de la formeπ/2 +kπ aveck ∈ℤ) :

\tan(-x)=-\tan x

La fonction cosinus estpaire : pour tout réelx,

\cos(-x)=\cos x

Dérivées

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Fonction	sin	cos	tan	cot	arcsin	arccos	arctan	sec	csc
Dérivée	$\cos$	$-\sin$	$1+\tan ^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}}}$	$-1-\cot ^{2}={\frac {-1}{\sin ^{2}}}$	$x\mapsto {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$x\mapsto {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$x\mapsto {\frac {1}{x^{2}+1}}$	${\sin \over \cos ^{2}}$	${-\cos \over \sin ^{2}}$

On trouvera d'autres relations sur lapage consacrée aux identités trigonométriques.

Limites

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Les fonctions trigonométriques étant périodiques non constantes, elles ne possèdent pas delimite à l'infini.

La fonction tangente, non définie enπ/2 +kπ, possède une limite infinieà gauche et à droite en ces points : $\lim _{x\to \pi /2^{-}}\tan x=+\infty {\text{ et }}\lim _{x\to \pi /2^{+}}\tan x=-\infty .$

Relations avec la fonction exponentielle et les nombres complexes

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Article détaillé :Trigonométrie complexe.

On peut montrer à partir de la définition des séries que les fonctions sinus et cosinus sont respectivement lapartie imaginaire et lapartie réelle de lafonction exponentielle quand son argument estimaginaire pur :

\forall x\in \mathbb {R} \quad \cos x={\mbox{Re }}({\rm {e}}^{{\rm {i}}x}){\text{ et }}\sin x={\mbox{Im }}({\rm {e}}^{{\rm {i}}x})

oùi² = –1,ou encore :

{\rm {e}}^{{\rm {i}}x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x.

Cette relation est généralement connue sous le nom deformule d'Euler. On en déduit :

\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}-{\rm {e}}^{-{\rm {i}}z} \over 2{\rm {i}}}={\frac {\operatorname {sinh} \left({\rm {i}}z\right)}{\rm {i}}}.

\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={{\rm {e}}^{{\rm {i}}z}+{\rm {e}}^{-{\rm {i}}z} \over 2}=\operatorname {cosh} \left({\rm {i}}z\right).

Fonctions réciproques : fonctions cyclométriques

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Les fonctions trigonométriques ne sont pasbijectives. En lesrestreignant à certainsintervalles, les fonctions trigonométriques réalisent des bijections.Lesapplications réciproques appelée fonctions cyclométriques (arcsin,arccos,arctan,arccsc,arcsec etarccot) sont habituellement définies par (pour tous réelsx ety) :

y =arcsinx si et seulement si–π/2 ≤y ≤π/2 etx = siny,
y =arccosx si et seulement si 0 ≤y ≤π etx = cosy,
y =arctanx si et seulement si–π/2 <y <π/2 etx = tany,
y = arccscx si et seulement si–π/2 ≤y ≤π/2,y ≠ 0 etx =cscy,
y = arcsecx si et seulement si 0 ≤y ≤π,y ≠π/2 etx =secy,
y = arccotx si et seulement si 0 <y <π etx =coty.

Ces fonctions peuvent s'écrire sous forme d'intégrales indéfinies :

{\begin{aligned}\forall x\in [-1,1],\quad &\arcsin x&=&\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t&\quad {\text{  et  }}\quad &\arccos x&=&\int _{x}^{1}{\dfrac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t,\\[4pt]\forall x\in \mathbb {R} ,\quad &\arctan x&=&\int _{0}^{x}{\dfrac {1}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t&\quad {\text{  et  }}\quad &\operatorname {arccot} x&=&\int _{x}^{\infty }{\dfrac {1}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}

\operatorname {arcsec} x={\begin{cases}\displaystyle \int _{1}^{x}{\dfrac {1}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} t&{\text{si }}x\geq 1\\[4pt]\displaystyle \pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} t&{\text{si }}x\leq -1\end{cases}}\quad {\text{et}}\quad \operatorname {arccsc} x={\begin{cases}\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} t&{\text{si }}x\geq 1\\\displaystyle \int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{t{\sqrt {t^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} t&{\text{si }}x\leq -1.\end{cases}}

Égalités pratiques :

\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}},\quad \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}

;

\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}},\quad \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}

;

\cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\quad \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}

Pour plus de résultats, voir lescompositions de fonctions trigonométriques.

Applications

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Article détaillé :Applications de la trigonométrie.

Les fonctions trigonométriques, comme leur nom le suggère, ont une importance cruciale entrigonométrie, mais interviennent aussi dans l'étude des fonctions périodiques.

En trigonométrie

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En trigonométrie, elles fournissent des relations intéressantes entre les longueurs des côtés et les angles d'un triangle quelconque.

Considérons un triangle quelconque : laloi des sinus s'écrit :

{\frac {\sin {\widehat {A}}}{a}}={\frac {\sin {\widehat {B}}}{b}}={\frac {\sin {\widehat {C}}}{c}}

Cette relation peut être démontrée en divisant le triangle en deux triangles rectangles et en utilisant la définition ci-dessus du sinus.

Le nombre commun ${\textstyle {\frac {\sin({\widehat {A}})}{a}}}$ apparaissant dans le théorème est l'inverse du diamètre ducercle circonscrit au triangle (cercle passant par les trois pointsA,B etC). La loi des sinus est utile pour calculer des longueurs inconnues des côtés dans un triangle quelconque si deux angles et un côté sont connus. C'est une situation courante survenant dans latriangulation, une technique pour déterminer des distances inconnues en mesurant deux angles et une distance.

laloi des cosinus outhéorème d'Al-Kashi est une généralisation duthéorème de Pythagore

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos({\widehat {C}})

À nouveau, ce théorème peut être démontré en divisant le triangle en deux triangles rectangles. Laloi des cosinus est utile pour déterminer les données inconnues d'un triangle si deux des côtés et un angle sont connus. Remarquons que l'angle connu doit être contenu dans les deux côtés dont nous connaissons la longueur.

Il y a également laloi des tangentes :

{\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\frac {{\widehat {A}}-{\widehat {B}}}{2}}\right)}{\tan \left({\frac {{\widehat {A}}+{\widehat {B}}}{2}}\right)}},

ainsi que laloi des cotangentes et lesformules de Mollweide.

L'utilisation des fonctions trigonométriques ne se limite pas seulement à l'étude des triangles. Les fonctions trigonométriques sont des fonctions périodiques dont les représentations graphiques correspondent à des modèles caractéristiques d'ondes, utilisés pour modéliser des phénomènes oscillatoires tels que le bruit ou les ondes de la lumière. Chaque signal peut être écrit comme une somme (en général infinie) de fonctions de sinus et de cosinus de différentes fréquences : ce sont lesséries de Fourier.

En analyse harmonique

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Animation montrant la décomposition additive d'unsignal carré lorsque le nombre d'harmoniques s'accroît

Les fonctions sinus et cosinus apparaissent aussi dans la description d'unmouvement harmonique simple, un concept important en physique. Dans ce contexte les fonctions sinus et cosinus sont utilisées pour décrire les projections sur un espace à une dimension d'unmouvement circulaire uniforme, le mouvement d'une masse au bout d'un ressort, ou une approximation des oscillations de faible écart angulaire d'un pendule.

Les fonctions trigonométriques sont aussi importantes dans d'autres domaines que celui de l'étude des triangles. Elles sontpériodiques et leurs représentations graphiques sont des sinusoïdes et peuvent servir à modéliser des phénomènes périodiques comme le son, lesondes de lumière. Tout signal, vérifiant certaines propriétés, peut être décrit par une somme (généralement infinie) de fonctions sinus et cosinus de différentes fréquences ; c'est l'idée de base de l'analyse de Fourier, dans laquelle les séries trigonométriques sont utilisées pour résoudre de nombreuxproblèmes aux valeurs limites dans deséquations aux dérivées partielles. Par exemple unsignal carré, peut être décrit par unesérie de Fourier :

x_{\text{carré}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {{\bigl (}(2k-1)t{\bigr )}} \over (2k-1)}.

Fonctions de transition

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Lorsquex parcourt[–π/2 ; π/2], la fonction sinus passe de la valeur –1 à la valeur 1. Elle est continue et dérivable, et ses tangentes sont horizontales aux extrémités de l'intervalle (les dérivées s'annulent en–π/2 etπ/2). Cela en fait donc une fonction de choix pour remplacer unefonction de Heaviside, qui n'est elle pas continue.

Par exemple, si l'on veut qu'un dispositif passe d'une valeury =a à une valeurb à l'instantt₀, on peut le piloter par une loi de type

y(t)=a+{\frac {b-a}{2}}\sin \left({\frac {\pi \cdot t}{\tau }}-t_{0}\right)

oùτ est la durée de la transition. Ce type de loi de pilotage permet d'éviter un trop grand écart entre la valeur visée et la valeur instantanée, et des phénomènes de typeoscillations amorties.

Par exemple, si un mobile doit subir une phase d'accélération puis une phase de décélération, on peut utiliser des lois sinusoïdales pour les transitions de vitesse. On s'assure ainsi que l'accélération est continue.

Article détaillé :À-coup#Loi sinusoïdale en vitesse.

Notes et références

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Notes

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↑^{a etb} Ou bien ${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}.$
↑^{a etb} Ou bien ${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}.$

Références

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↑Martin Aigner etGünter M.Ziegler,Raisonnements divins,Springer,2002, 245 p.(ISBN 978-2-287-59723-7,lire en ligne),chap. 19 (« La fonction cotangente et l'astuce de Herglotz »),p. 139-142.
↑(en)Reinhold Remmert,Theory of Complex Functions, Springer,coll. « GTM » (n^o 122),1991, 453 p.(ISBN 978-0-387-97195-7,lire en ligne),p. 327.
↑Remmert 1991,p. 329-330. Voir aussi M. Lerch, « Démonstration élémentaire de la formule : ${\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}{\pi x}}}=\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+\nu )^{2}}}$ »,L'Enseignement mathématique,vol. 5,‎1903,p. 450-453(lire en ligne).

Voir aussi

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Sur les autres projets Wikimedia :

Fonctions circulaires,surWikiversity
Mnémoniques de trigonométrie,surWikibooks

Étymologie du mot « sinus » sur le site « Principia » d'histoire et philosophie des sciences
Isométries de la sinusoïde et morphisme : note pour lycéens (étudiants du secondaire), sur le site de X. Hubaut, professeur à l'Université libre de Bruxelles

v ·m

Trigonométrie

Trigonométrie du cercle

Fonctions trigonométriques	Cosinus Sinus Tangente Cotangente Sécante Cosécante sinus verse
Fonctions circulaires réciproques	Arc cosinus Arc sinus Arc tangente Arc cotangente Arc sécante Arc cosécante
Intégrales trigonométriques	Cosinus intégral Sinus intégral
Relations	Identité trigonométrique Identité trigonométrique pythagoricienne Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes

Trigonométrie hyperbolique

Fonction hyperbolique	Cosinus hyperbolique Sinus hyperbolique Tangente hyperbolique Cotangente hyperbolique Sécante hyperbolique Cosécante hyperbolique
Fonction hyperbolique réciproque	Cosinus hyperbolique réciproque Sinus hyperbolique réciproque Tangente hyperbolique réciproque Cotangente hyperbolique réciproque Sécante hyperbolique réciproque Cosécante hyperbolique réciproque

v ·m Fonctions mathématiques usuelles
Fonction algébrique rationnelle	Fonction polynomiale Fonction fractionnaire
Fonction algébrique irrationnelle	Fonction puissance /Fonction racine
Fonction transcendante	Fonction logarithmique /Fonction exponentielle de base a Fonction logarithme naturel /Fonction exponentielle Fonction circulaire /Fonction circulaire réciproque Fonction hyperbolique /Fonction hyperbolique réciproque Fonction elliptique /Fonction intégrale elliptique