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Fonction de répartition

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Fonctions de répartition d'une variable discrète, d'une variable continue et d'une variable avec atome, mais non discrète.

Enthéorie des probabilités, lafonction de répartition d'unevariable aléatoire réelleX est la fonctionFX qui, à tout réelx, associe la probabilité queX prenne une valeur inférieure ou égale àx :FX(x)=P(X≤x).{\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x).}Cette fonction caractérise laloi de probabilité de la variable aléatoire : elle permet de calculer la probabilité de chaque intervalle semi-ouvert à gauche]a,b] oùa <b, parP(X∈]a,b])=P(a<X≤b)=FX(b)−FX(a).{\displaystyle \mathbb {P} (X\in ]a,b])=\mathbb {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a).}

La fonction de répartition d'unemesure de probabilitéμ{\displaystyle \mu } définie sur latribu borélienneB(R){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} est la fonctionF qui à tout réelx associeF(x)=μ(]−∞,x]).{\displaystyle F(x)=\mu (]-\infty ,x]).}

Exemples de calculs de la fonction de répartition

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Variables à densité

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Fonction de répartition de laloi normale centrée réduite.

La fonction de répartitionFX d'une variable aléatoireX dedensité de probabilitéfX est uneprimitive (en un sens un peu relâché) de cette densitéfX. Plus précisément,FX est définie, pour tout nombre réelx, par :

FX(x)=∫−∞xfX(t)dt.{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,\mathrm {d} t.}

Toutefois, il ne s'agit pas d'une primitive au sens strict du terme car il se peut que qu'une fonction de répartition ne soit pas dérivable sur toutR,{\displaystyle \mathbb {R} ,} comme c'est le cas pour la fonction de répartition de laloi uniforme sur l'intervalle[a,b] (non dérivable ena ou enb), ou encore de laloi exponentielle (non dérivable en0). On peut seulement affirmer :

  • qu'une fonction de répartition est dérivablepresque partout pour lamesure de Lebesgue ;
  • que si la variableX est à densité, alors la dérivée deFX est égale àfX presque partout pour la mesure de Lebesgue.

On peut remarquer que, contrairement aux variables discrètes, une variable à densitéX vérifieP(X=a)=0{\displaystyle \mathbb {P} (X=a)=0} pour tout nombre réela : en conséquence, la fonction de répartition des variables à densité est continue en tout point. En fait une variable aléatoire réelleX possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition estabsolument continue sur chaque intervalle borné.

Variables discrètes

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Fonction de répartition de laloi uniforme discrète sur {0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ; 1} (pour laquellepi = 0,2 ; 1 ≤i ≤ 5, en violet) et de la loi uniforme (continue) sur l'intervalle[0, 1] (en rouge).

Une variable aléatoireX est dite discrète si sonsupportS estfini oudénombrable, ou bien, de manière équivalente, s'il existe un ensembleA fini ou dénombrable tel queP(X∈A)=1.{\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=1.}

La loi deX est déterminée sans ambiguïté par la donnée de(ps)s ∈S ou de(ps)s ∈A, oùps=P(X=s).{\displaystyle p_{s}=\mathbb {P} (X=s).}

Si, par exemple,X est une variable aléatoireréelle, on aFX(x)=∑s∈Sps1[s,+∞[(x).{\displaystyle F_{X}(x)=\sum _{s\in S}p_{s}1_{[s,+\infty [}(x).}où1E est lafonction indicatrice de l'ensemble E.

Pour les variables aléatoires discrètes les plus courantes (par exemple, les loisuniformes,binomiales,de Poisson)S est unensemble bien ordonné : on peut alors numéroter ses éléments de manière croissante, p.e.s1 ≤s2 ≤s3 ≤ ... et numéroter les probabilitésps en conséquence, p.e. en posantpi = psi,i ≥ 1. On a alors, six ∈ [si,si + 1[,FX(x)=∑1≤j≤ipj.{\displaystyle F_{X}(x)=\sum _{1\leq j\leq i}p_{j}.}

Soit encore, plus généralement :FX(x)=∑i≥1 qi 1[si,si+1[(x),qi=∑1≤j≤ipj.{\displaystyle {\begin{aligned}F_{X}(x)&=\sum _{i\geq 1}\ q_{i}\ 1_{[s_{i},s_{i+1}[}(x),\\q_{i}&=\sum _{1\leq j\leq i}p_{j}.\end{aligned}}}

La fonction de répartition est alors unefonction constante par intervalles et sa représentation graphique est enescalier. Les sauts d'une marche à l'autre de l'escalier se situent aux abscissessi, et l'amplitude du saut d'abscisses estps =FX(s) –FX(s–). En particulier la fonction de répartition d'une variable discrèteX estdiscontinue exactement aux pointss tels queP(X=s)>0.{\displaystyle \mathbb {P} (X=s)>0.} Voir la sectionPropriétés de la fonction de répartition pour une démonstration.

Cas spécial : fonction de répartition continue purement singulière

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L'escalier de CantorF est un exemple de fonction de répartition continue mais dont la dérivée est presque partout nulle. Ainsi, les formules précédentes ne sont plus vraies pour l'escalier de Cantor : par exemple pourx > 0, on n'a pasF(x)=∫−∞xF′(t)dt,{\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}F^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t,}carF prend des valeurs strictement positives sur]0, +∞[, alors que l'intégrale constituant le membre de droite est identiquement nulle. En effet, l'ensemble{t∈R∣F′(t)≠0}{\displaystyle \{t\in \mathbb {R} \mid F^{\prime }(t)\neq 0\}}est de mesure de Lebesgue nulle. Par ailleurs, la loi de probabilité associée à l'escalier de Cantor est continue (sansatome), puisqueF est une fonction continue surR{\displaystyle \mathbb {R} }. L'escalier de Cantor est en fait un exemple de fonction de répartition continue mais qui n'est pas absolument continue sur chaque intervalle : on dit alors qu'elle est continue purement singulière.

Propriétés de la fonction de répartition

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Propriétés caractéristiques

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Théorème — La fonction de répartitionFX d'une variable aléatoire réelleX a les propriétés caractéristiques suivantes :

  1. FX estcroissante ;
  2. Elle est partout continue à droite ;
  3. Elle a pour limite 0 en−∞{\displaystyle -\infty }, i.e.limx→−∞FX(x)=0{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0} ;
  4. Elle a pour limite 1 en+∞{\displaystyle +\infty }, i.e.limx→+∞FX(x)=1.{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1.}
Démonstration

Le point 1 découle de la propriété de croissance des mesures de probabilitéx≤y⇒]−∞,x] ⊂ ]−∞,y]⇒PX(]−∞,x])≤PX(]−∞,y]).{\displaystyle x\leq y\Rightarrow ]-\infty ,x]\ \subset \ ]-\infty ,y]\Rightarrow \mathbb {P} _{X}(]-\infty ,x])\leq \mathbb {P} _{X}(]-\infty ,y]).}CommeFX est unefonction monotone, le point 2 se réduit à montrer quelimnFX(x+1n)=FX(x),{\displaystyle \lim _{n}F_{X}\left(x+{\tfrac {1}{n}}\right)=F_{X}(x),}ou encore, de façon équivalente,limnPX(]−∞,x+1n])=PX(]−∞,x]).{\displaystyle \lim _{n}\mathbb {P} _{X}\left(\left]-\infty ,x+{\tfrac {1}{n}}\right]\right)=\mathbb {P} _{X}\left(\left]-\infty ,x\right]\right).}Mais les boréliens]–∞ ,x +1/n[ forment une suite décroissante, et⋂n≥1]−∞,x+1n] = ]−∞,x],{\displaystyle \bigcap _{n\geq 1}\left]-\infty ,x+{\tfrac {1}{n}}\right]\ =\ \left]-\infty ,x\right],}donc le point 2 est une conséquence desaxiomes des probabilités.CommeFX est monotone, le point 3 se réduit à montrer quelimnFX(−n)=0.{\displaystyle \lim _{n}F_{X}(-n)=0.}Ceci est encore une conséquence desaxiomes des probabilités, puisque⋂n≥1]−∞,−n] = ∅.{\displaystyle \bigcap _{n\geq 1}\left]-\infty ,-n\right]\ =\ \emptyset .}Le point 4 découle, de la même manière, de⋃n≥1]−∞,n] = R.{\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}\left]-\infty ,n\right]\ =\ \mathbb {R} .}

Réciproquement, toute fonction définie surR{\displaystyle \mathbb {R} } et satisfaisant ces quatre propriétés est la fonction de répartition d’une certaine variable aléatoire. Autrement dit, les points 1 à 4 sont caractéristiques de la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelleX : étant donné une fonction réelle de la variable réelle, on noteF, satisfaisant les points 1 à 4, on peut construireconcrètement une variable aléatoire réelleX ayantF pour fonction de répartition, voir ci-dessous lethéorème de la réciproque. On note que la construction utilisant lethéorème de la réciproque sert concrètement à produire, sur ordinateur, des échantillons de taille arbitraire d'une loi de probabilité arbitraire, ce qui est l'ingrédient de base desméthodes de Monte-Carlo.

Remarque

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On peut ainsi définir la notion de fonction de répartition sans introduire celle de variable aléatoire : il suffit juste qu'elle vérifie les points 1 à 4 précédents. Si on ajoute à cela la notion defonction arithmétique, on arrive rapidement dans lathéorie probabiliste des nombres.

Autres propriétés

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À cause des points 1, 3 et 4,FX est bornée, plus précisément

∀x∈R,   0≤FX(x)≤1.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \ \ 0\leq F_{X}(x)\leq 1.}

Comme toutefonction monotone bornée,FX admet en tout pointx une limite à gaucheFX(x–), limite à gauche égale ou non àFX(x) selon queFX est continue en x ou non.FX est une fonctioncàdlàg.

La connaissance de la fonction de répartition permet de calculer la probabilité de tout intervalle

et

Démonstration

Les 5 dernières propriétés découlent de{A⊂B} ⇒ {P(B∖A)=P(B)−P(A)},{\displaystyle \{A\subset B\}\ \Rightarrow \ \{\mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A)\},} pour différents choix deA etB :

On appelleatome de la variable aléatoireX tout réela pour lequelP(X=a)>0{\displaystyle \mathbb {P} (X=a)>0}. Ainsi, en vertu de la dernière propriété de la liste ci-dessus,

Propriété — Les atomes de la variable aléatoireX sont exactement les points de discontinuité de la fonction de répartition.

La fonction de répartition d'une variable aléatoireX est donccontinue si et seulement siX n'a aucun atome, i.e. si et seulement si

∀x∈R, P(X=x)=0.{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\ \mathbb {P} (X=x)=0.}

On dit alors que la loi deX estcontinue (ou encorediffuse) et, par extension, que la variable aléatoireX elle-même estcontinue. En particulier, les variables aléatoires réelles possédant une densité de probabilité sont continues. Il existe cependant des variables aléatoires continues mais ne possédant pas pour autant une densité de probabilité, c'est le cas, par exemple, de la variable aléatoire ayant pour fonction de répartition l'escalier de Cantor.

On peut noter que l'ensemble des points de discontinuité deFX est fini oudénombrable, comme c'est le cas pour toutefonction monotone bornée :

Conséquence — L'ensembleS des atomes de la variable aléatoireX est fini oudénombrable.

Caractérisation de la loi par la fonction de répartition

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Théorème — Laloi de probabilité d'unevariable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition.

Ou de façon plus explicite : si deux variables aléatoires réelles ont même fonction de répartition, alors elles ont même loi (et réciproquement).

Démonstration

Sous l'hypothèseFX = FY, on peut démontrer de manière élémentaire queP(X∈A)=P(Y∈A),{\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\mathbb {P} (Y\in A),} dès queA est un borélien "simple" (par exemple, siA est un intervalle). Par contre, la démonstration générale (pour tout borélienA) est un cas particulier dulemme d'unicité des probabilités, lui-même corollaire dulemme de classe monotone, appliqué à la classe

C={]−∞,x] | x∈R}.{\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{]-\infty ,x]\ |\ x\in \mathbb {R} \right\}.}

Il faut vérifier que

  1. la classeC{\displaystyle {\mathcal {C}}} est stable par intersection finie,
  2. latribu engendrée parC{\displaystyle {\mathcal {C}}} contient (et en fait est égale à) latribu borélienne.

Lelemme d'unicité des probabilités permet alors de conclure.

On vérifie 1. SoitI une partie finie deR{\displaystyle \mathbb {R} }. Soity l'élément minimal deI. Alors

⋂x∈I]−∞,x]=]−∞,y] ∈ C.{\displaystyle \bigcap _{x\in I}]-\infty ,x]\,=\,]-\infty ,y]\ \in \ {\mathcal {C}}.}

On vérifie 2. La tribu engendrée parC{\displaystyle {\mathcal {C}}} est notéeσ(C){\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})}. Latribu borélienne est notéeB(R){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}, comme souvent. On note

D={]x,+∞[ | x∈R}.{\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{]x,+\infty [\ |\ x\in \mathbb {R} \right\}.}

On aD⊂σ(C),{\displaystyle {\mathcal {D}}\subset \sigma ({\mathcal {C}}),} en vertu de la stabilité des tribus par passage au complémentaire, doncσ(D)⊂σ(C),{\displaystyle \sigma ({\mathcal {D}})\subset \sigma ({\mathcal {C}}),} par définition d'unetribu engendrée. On peut interchangerC{\displaystyle {\mathcal {C}}} etD{\displaystyle {\mathcal {D}}} dans ce qui précède, donc, par double inclusion,

σ(C)=σ(D).{\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})=\sigma ({\mathcal {D}}).}

CommeD{\displaystyle {\mathcal {D}}} est une partie de l'ensemble des ouverts, on en déduit que

σ(C)=σ(D) ⊂ B(R).{\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})=\sigma ({\mathcal {D}})\ \subset \ {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).}

Mais il nous faut surtout démontrer l'inclusion en sens inverse, et, pour cela, démontrer que tout ouvert deR{\displaystyle \mathbb {R} } est dansσ(C){\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})} (ainsiσ(C){\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})} est une tribu contenant tous les ouverts deR{\displaystyle \mathbb {R} }, alors queB(R){\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} estla plus petite tribu contenant tous les ouverts deR{\displaystyle \mathbb {R} }). Un argument rapide est de constater que

Le premier point résulte de ce que

Le deuxième point tient à ce que

CQFD

En d'autres termes, si deux variables aléatoires réelles,X etY, vérifient

∀x∈R,P(X≤x)=P(Y≤x),{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\qquad \mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (Y\leq x),}

alors elles vérifient aussi que pour toutborélienA,

P(X∈A)=P(Y∈A).{\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\mathbb {P} (Y\in A).}

De plus, elles vérifient que pour toutefonction mesurableφ,

E[φ(X)]=E[φ(Y)],{\displaystyle \mathbb {E} [\varphi (X)]=\mathbb {E} [\varphi (Y)],}

dès que l'un des deux termes de l'égalité a un sens.

Théorème de la réciproque

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SoitF une fonction deR{\displaystyle \mathbb {R} } dansR{\displaystyle \mathbb {R} } satisfaisant les 4 propriétés caractéristiques. On noteG la fonction définie pourω ∈ ]0, 1[ parG(ω)=inf{x∈R | F(x)≥ω}.{\displaystyle G(\omega )=\inf \left\{x\in \mathbb {R} \ |\ F(x)\geq \omega \right\}.}AlorsG est une variable aléatoire réelle définie sur l'espace probabilisé(Ω,A,P){\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)} où(Ω,A)=(]0,1[,B(]0,1[)){\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}}\right)=\left(]0,1[,{\mathcal {B}}(]0,1[)\right)} et oùP{\displaystyle \mathbb {P} } désigne la restriction àB(]0,1[){\displaystyle {\mathcal {B}}(]0,1[)}de lamesure de Lebesgue surR{\displaystyle \mathbb {R} }. Le théorème stipule que :

Théorème — Sur l'espace(Ω,A,P){\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)}, la fonction de répartition deG estF.

Ainsi toute fonctionF deR{\displaystyle \mathbb {R} } dansR{\displaystyle \mathbb {R} } satisfaisant les quatre propriétés caractéristiques est fonction de répartition d'unevariable aléatoire réelle (deG, par exemple), ou encore d'unemesure de probabilité sur(R,B(R)){\displaystyle \left(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right)} (de la loi deG, par exemple).

Démonstration

Pourω ∈ Ω = ]0, 1[, on noteAω={x∈R | F(x)≥ω}.{\displaystyle A_{\omega }=\left\{x\in \mathbb {R} \ |\ F(x)\geq \omega \right\}.}DoncG(ω) = infAω. À cause du point 4,Aω≠∅{\displaystyle A_{\omega }\neq \emptyset }, et à cause du point 3,Aω est bornée inférieurement, doncG est bien définie.

On commence par un cas simple à titre d'entrainement :

F est continue strictement croissante

SiF est continue strictement croissante surR{\displaystyle \mathbb {R} }, alorsF est une bijection deR{\displaystyle \mathbb {R} } dans]0, 1[, etG est la réciproque deF (on peut s'en convaincre en traçantAω à l'aide du graphe deF). À ce titre,G est continue et strictement croissante sur]0, 1[, et en particulierG est mesurable (c'est donc une v.a.r.). On a, de plus,{G(ω)≤x}⇔{ω≤F(x)},{\displaystyle \left\{G(\omega )\leq x\right\}\Leftrightarrow \left\{\omega \leq F(x)\right\},}donc{ω∈Ω | G(ω)≤x}={ω∈Ω | ω≤F(x)}=]0,F(x)].{\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\omega \in \Omega \ |\ G(\omega )\leq x\right\}&=\left\{\omega \in \Omega \ |\ \omega \leq F(x)\right\}\\&=]0,F(x)].\end{aligned}}}Ainsi,P(G≤x)=P(]0,F(x)])=F(x).{\displaystyle \mathbb {P} \left(G\leq x\right)=\mathbb {P} (]0,F(x)])=F(x).}

Cas général

Dans le cas général, on a également la relation d'adjonction{G(ω)≤x}⇔{ω≤F(x)},{\displaystyle \left\{G(\omega )\leq x\right\}\Leftrightarrow \left\{\omega \leq F(x)\right\},}et on conclut donc exactement de la même manière que précédemment, mais la démonstration de l'équivalence ci-dessus est moins directe. Tout d'abord, pourω ≤ω',Aω' ⊂Aω, et doncG(ω) ≤G(ω'). Du fait queG est monotone, il résulte queG est mesurable.

On a, par définition deAω et deG(ω),{ω≤F(x)}⇒{x∈Aω}⇒{G(ω)≤x}.{\displaystyle \left\{\omega \leq F(x)\right\}\Rightarrow \left\{x\in A_{\omega }\right\}\Rightarrow \left\{G(\omega )\leq x\right\}.}La réciproque vient de ce que{G(ω) ∈Aω}, i.e.{ω ≤F(G(ω))}, ce qui, avec{G(ω) ≤x} entraîne, par croissance deF,{F(G(ω)) ≤F(x)}, et finalement{ω ≤F(x)}. On suppose en effet queG(ω) ∉Aω, et on considère une suite strictement décroissante(xn)n ≠ 0 d'éléments deAω telle quelimnxn = infAω (= G(ω)).{\displaystyle \lim _{n}x_{n}\ =\ \inf A_{\omega }\ \left(=\ G(\omega )\right).}Par continuité à droite deF,limnF(xn)=F(G(ω)),{\displaystyle \lim _{n}F(x_{n})=F(G(\omega )),}mais également, par définition deAω,limnF(xn)≥ω,{\displaystyle \lim _{n}F(x_{n})\geq \omega ,}ce qui conduit àG(ω) ∈Aω, d'où une contradiction (démonstration largement reprise de Sidney Resnick,A Probability Path).

Remarques.

Conséquences du théorème de la réciproque

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Simulation de variables aléatoires réelles de loi arbitraire

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SiU désigne une variable aléatoire réelleuniforme sur[0, 1], alorsX =G(U) a pour fonction de répartitionF.

Ainsi dans toutlangage de programmation possédant ungénérateur de nombres aléatoires, on peut simuler une suite de longueur arbitraire de v.a.r. indépendantes de même fonction de répartitionF, pourvu queG soit connue : il suffit alors d'appeler ce générateur de manière répétée, et d'appliquer la fonctionG aux nombres produits par ces appels répétés.

Exemples

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Exemples
densité de probabilitéfonction de répartitionréciproque (généralisée)code
Loi de Cauchy1π(1+x2){\displaystyle {\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}F(x)=1π(π2+arctan⁡(x)){\displaystyle F(x)={\frac {1}{\pi }}\left({\frac {\pi }{2}}+\arctan(x)\right)}G(ω)=tan⁡(π(ω−12)){\displaystyle G(\omega )=\tan \left(\pi (\omega -{\frac {1}{2}})\right)}x←tan⁡(π(rand()−12)){\displaystyle x\leftarrow \tan \left(\pi (\mathrm {rand()} -{\frac {1}{2}})\right)}
Loi exponentielleλe−λx 1x≥0{\displaystyle \lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda x}\ 1_{x\geq 0}}F(x)=(1−e−λx) 1x≥0{\displaystyle F(x)=\left(1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right)\ 1_{x\geq 0}}G(ω)=−1λ ln⁡(1−ω){\displaystyle G(\omega )=-{\frac {1}{\lambda }}\ \ln(1-\omega )}x← −1λ ln⁡(rand()){\displaystyle x\leftarrow \ -{\frac {1}{\lambda }}\ \ln(\mathrm {rand()} )}
Loi uniforme sur[a,b]1b−a 1[a,b](x){\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\ 1_{[a,b]}(x)}F(x)=x−ab−a 1[a,b](x) + 1]b,+∞[(x){\displaystyle F(x)={\frac {x-a}{b-a}}\ 1_{[a,b]}(x)\ +\ 1_{]b,+\infty [}(x)}G(ω)=a+ω(b−a){\displaystyle G(\omega )=a+\omega (b-a)}x←a+(b−a)rand(){\displaystyle x\leftarrow a+(b-a)\mathrm {rand()} }
Loi de BernoulliF(x)=(1−p) 1[0,1[(x) + 1[1,+∞[(x){\displaystyle F(x)=(1-p)\ 1_{[0,1[}(x)\ +\ 1_{[1,+\infty [}(x)}G(ω)=⌊p+ω⌋{\displaystyle G(\omega )=\lfloor p+\omega \rfloor }x←⌊p+ rand()⌋{\displaystyle x\leftarrow \lfloor p+\ \mathrm {rand()} \rfloor }
Loi uniforme sur{1, 2, ... ,n}F(x)=⌊x⌋n 1[0,n](x) + 1]n,+∞[(x){\displaystyle F(x)={\frac {\lfloor x\rfloor }{n}}\ 1_{[0,n]}(x)\ +\ 1_{]n,+\infty [}(x)}G(ω)=⌈nω⌉{\displaystyle G(\omega )=\lceil n\omega \rceil }x←⌈n rand()⌉{\displaystyle x\leftarrow \lceil n\ \mathrm {rand()} \rceil }
Loi normale,Loi binomialecomme il n'y a pas de formule suffisamment explicite pour la fonction de répartition, et encore moins de formule explicite pour la réciproque de cette dernière, le théorème est alors inopérant.

La loi normale peut cependant être simulée, par laméthode de Box-Muller, à l'aide de deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi uniforme : siU,V∼U([0,1]){\displaystyle U,V\sim {\mathcal {U}}([0,1])} de manière indépendante alors−2ln⁡(U)cos⁡(2πV){\displaystyle {\sqrt {-2\ln(U)}}\cos(2\pi V)} suit uneloi normale centrée réduite. L'établissement de ce résultat fait également appel au théorème de la réciproque.

On trouvera tout sur l'art d'engendrer des variables aléatoires de lois arbitraires, par exemple à l'aide de variablesuniformes, dansNon-Uniform Random Variate Generation, édité chez Springer, disponible sur le web[1].

Autres conséquences du théorème de la réciproque

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La réciproque généralisée deF est un exemple de v.a.r. dont la fonction de répartition estF, mais c'est un exemple privilégié. Ses utilisations sont nombreuses, allant de propriétés de l'ordre stochastique, à des propriétés de ladistance de Wasserstein[2], en passant par le théorème de représentation deSkorokhod, voir section suivante.

Convergence en loi et fonction de répartition

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On considère une suite de variables aléatoires(Xn)n ≥ 0 (resp. une variable aléatoireX) définies sur des espaces probabilisés(Ωn,An,Pn){\displaystyle \left(\Omega _{n},{\mathcal {A}}_{n},\mathbb {P} _{n}\right)} (resp.(Ω,A,P){\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} \right)}) éventuellement différents, mais toutes à valeurs dans le même espace métrique(S,d). On dit que(Xn)n ≥ 0converge en loi versX si, pour toute fonction continue bornée de(S,d) dansR{\displaystyle \mathbb {R} },

limn→∞E[f(Xn)]=E[f(X)].{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {E} \left[f(X_{n})\right]=\mathbb {E} \left[f(X)\right].}

On a le théorème suivant :

Théorème —  Dans le cas de variables aléatoiresréelles (S=R{\displaystyle S=\mathbb {R} }), on note(Fn)n ≥ 0,F les fonctions de répartitions de(Xn)n ≥ 0 et deX. Il y a alors équivalence entre les trois propositions ci-dessous :

  1. (Xn)n ≥ 0converge en loi versX,
  2. pour tout réelx en lequelF estcontinue,limn→∞Fn(x)=F(x){\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }F_{n}(x)=F(x)},
  3. il existe un espace probabilisé(Ω^,A^,P^){\displaystyle \left({\widehat {\Omega }},{\widehat {\mathcal {A}}},{\widehat {\mathbb {P} }}\right)}, et, définies sur cet espace, des variables aléatoires réelles(X'n)n ≥ 0 etX' telles que, simultanément,
    1. X' a même loi queX,
    2. pour chaquen,Xn' a même loi queXn,
    3. (X'n)n ≥ 0converge presque sûrement versX'.

L'implication 1.⇒3. reste vraie lorsque lesvariables aléatoires réelles sont remplacées par des variables aléatoires à valeurs dans unespace de Lusin (S ,d), i.e. unespace métrisable assez général (S=Rd{\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}} etS=C([0,1],R){\displaystyle S={\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )} en sont des exemples). L'implication 1.⇒3. porte alors le nom dethéorème de représentation de Skorokhod.

Démonstration

Une structure possible pour la démonstration est3. ⇒ 1. ⇒ 2. ⇒ 3.

3. implique 1.

C'est le plus simple. Il faut démontrer que

limn→∞E[f(Xn)]=E[f(X)],{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {E} \left[f(X_{n})\right]=\mathbb {E} \left[f(X)\right],}

ou bien, équivalemment,

limn→∞E[f(Xn′)]=E[f(X′)].{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {E} \left[f(X_{n}^{\prime })\right]=\mathbb {E} \left[f(X^{\prime })\right].}

Mais la continuité def assure quef(Xn') converge presque sûrement versf(X'). De plus,|f| étant borné, on a que

|f(Xn′)| ≤‖f‖∞{\displaystyle \left|f(X_{n}^{\prime })\right|\ \leq \Vert f\Vert _{\infty }}

pour toutn. Lethéorème de convergence dominée de Lebesgue peut donc être appliqué ici, et donne la conclusion voulue.

1. implique 2.
Fonctionφa ,b.

On utilise la famille de fonctions continues bornées(φa,b)(a,b)∈R2, a<b{\displaystyle \left(\varphi _{a,b}\right)_{(a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\ a<b}} définies par le graphe ci-contre. Elles vérifient, pour toute variable aléatoire réelleY,

P(Y≤a)≤E[φa,b(Y)]≤P(Y≤b),{\displaystyle \mathbb {P} \left(Y\leq a\right)\leq \mathbb {E} \left[\varphi _{a,b}(Y)\right]\leq \mathbb {P} \left(Y\leq b\right),}

et en particulier

E[φx−ε,x(Xn)]≤Fn(x)≤E[φx,x+ε(Xn)].{\displaystyle \mathbb {E} \left[\varphi _{x-\varepsilon ,x}(X_{n})\right]\leq F_{n}(x)\leq \mathbb {E} \left[\varphi _{x,x+\varepsilon }(X_{n})\right].}

On remarque alors que, pour toutε > 0,

lim supnFn(x)≤limnE[φx,x+ε(Xn)]=E[φx,x+ε(X)]≤P(X≤x+ε)=F(x+ε),{\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n}F_{n}(x)&\leq \lim _{n}\mathbb {E} \left[\varphi _{x,x+\varepsilon }(X_{n})\right]\\&=\mathbb {E} \left[\varphi _{x,x+\varepsilon }(X)\right]\leq \mathbb {P} \left(X\leq x+\varepsilon \right)=F(x+\varepsilon ),\end{aligned}}}

et

lim infnFn(x)≥limnE[φx−ε,x(Xn)]=E[φx−ε,x(X)]≥P(X≤x−ε)=F(x−ε).{\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n}F_{n}(x)&\geq \lim _{n}\mathbb {E} \left[\varphi _{x-\varepsilon ,x}(X_{n})\right]\\&=\mathbb {E} \left[\varphi _{x-\varepsilon ,x}(X)\right]\geq \mathbb {P} \left(X\leq x-\varepsilon \right)=F(x-\varepsilon ).\end{aligned}}}

En faisant tendreε vers 0, on obtient

F(x−)≤lim infn→∞Fn(x)≤lim supn→∞Fn(x)≤F(x).{\displaystyle F(x_{-})\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }F_{n}(x)\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }F_{n}(x)\leq F(x).}

Ainsi, dès quex est un point de continuité deF,

limn→∞Fn(x)=F(x),CQFD.{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }F_{n}(x)=F(x),\qquad {\textrm {CQFD.}}}
2. implique 3.

On note(Gn)n ≥ 0,G, les réciproques généralisées de(Fn)n ≥ 0,F. Pour le triplet(Ω^,A^,P^){\displaystyle \left({\widehat {\Omega }},{\widehat {\mathcal {A}}},{\widehat {\mathbb {P} }}\right)}, on choisitΩ^=]0,1[{\displaystyle {\widehat {\Omega }}=]0,1[}, et on prend pour(A^,P^){\displaystyle \left({\widehat {\mathcal {A}}},{\widehat {\mathbb {P} }}\right)} la tribu des boréliens et la mesure de Lebesgue correspondantes (i.e. restreintes à]0, 1[). Le choix deX'n =Gn,X' =G satisfait à 3.1. et à 3.2. en vertu duthéorème de la réciproque. De plus, en conséquence de 2.,(Gn)n ≥ 0 converge presque sûrement versG.

Notes et références

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  1. ↑La version pdf (libre et autorisée) de(en) LucDevroye,Non-Uniform Random Variate Generation, New York,Springer-Verlag,,1re éd.(lire en ligne) est disponible, ainsi qu'un récit humoristique des démêlés de Luc Devroye avec son éditeur.
  2. ↑[1]

Voir aussi

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Articles connexes

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