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Continuité (mathématiques)

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Enmathématiques, lacontinuité est une propriététopologique d'unefonction. En première approche, une fonctionf estcontinue si, à des variations infinitésimales de la variablex, correspondent des variations infinitésimales de la valeurf(x).

La continuité est associée à la notion decontinuum dont l'origine estgéométrique. Dans un continuum géométrique, comme leplan oul'espace, unpoint peut se déplacer continument pour s'approcher à uneprécision arbitraire d'un autre point. La notion de continuité est définie de manière rigoureuse en mathématiques.

Le premier exemple de fonctions continues concerne desfonctions réelles définies sur unintervalle et dont legraphe peut se tracersans lever le crayon. Cette première approche donne une idée de la notion (la fonction nesaute pas) mais n'est pas suffisante pour la définir, d'autant plus que certains graphes de fonctions pourtant continues ne peuvent pas se tracer de cette manière, telles par exemple des courbes ayant des propriétésfractales comme l'escalier de Cantor.

Historiquement définie pour des fonctions de la variable réelle, la notion de continuité se généralise à des fonctions entreespaces métriques ou entreespaces topologiques, sous une forme locale et sous une forme globale.

L'étude des fonctions continues se révèle fructueuse pour les propriétés qu'elles possèdent (propriété deconvergence au sens où « lim(f(x)) =f(lim(x)) »,théorème des valeurs intermédiaires,théorème des bornes,intégrabilité…).

Définition pour les fonctions réelles

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Définition — SoientI unintervalle réel, $f:I\to \mathbb {R}$ une fonction définie surI à valeurs réelles et $a\in I$ .

La fonctionf est dite continue ena si :

\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in I\quad \left(|x-a|<\eta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon \right).

Exemple d'une fonction continue sur un intervalle.

Exemple d'une fonction non continue en 2 :
$\lim _{x\to 2 \atop x<2}f(x)=2\neq f(2)$
f n'est pas continue à gauche en 2.
$\lim _{x\to 2 \atop x>2}f(x)=3=f(2)$
f est continue à droite en 2.

{\displaystyle \lim _{x\to 2 \atop x<2}f(x)=2\neq f(2)} — Exemple d'une fonction non continue en 2 :
$\lim _{x\to 2 \atop x<2}f(x)=2\neq f(2)$
f n'est pas continue à gauche en 2.
$\lim _{x\to 2 \atop x>2}f(x)=3=f(2)$
f est continue à droite en 2.

Ainsif est continue ena si et seulement si la limite def ena existe (elle vaut alors nécessairementf(a)). De même,dans la définition formelle de la limite, une définition équivalente^[1] est obtenue en remplaçant $|x-a|<\eta$ par $|x-a|\leq \eta$ ou $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ par $|f(x)-f(a)|\leq \varepsilon$ .

Cela veut dire qu'en fixant un seuil ε, on peut trouver un intervalle autour dea tel quef(x) soit à une distance inférieure à ε def(a).

Si la continuité est valable uniquement à droite (pourx > a), on dit quef est continue à droite ena. De même à gauche poura.
Dire quef est continue ena revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche ena.
La fonctionf est dite continue (surI) si elle est continue en tout pointa deI.
Une fonction qui présente des « sauts » est discontinue. La notion de saut est illustrée sur la figure ci-contre, elle correspond à l'existence d'une limite à droite et d'une limite à gauche qui n'ont pas toutes les deux la même valeur quef(a).

Commentaire

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Une fonction qui n'est pas continue est ditediscontinue.

C'est l'idée duseuil ε fixé à l'avance qui est importante.Cette définition est le fruit des efforts des mathématiciens duXIX^e siècle pour rendre rigoureuse la notion intuitive de continuité. En analyse non standard, une approche plus intuitive est possible : on dira quef estcontinue ena sif(x) –f(a) estinfiniment petit quandx – a estinfiniment petit. Tout repose alors sur une définition rigoureuse des infiniment petits et cette définition ne s'applique qu'aux fonctions dites standards.

La définition globale de la continuité dans le cadre desespaces topologiques (voir plus bas) permet elle aussi de s'affranchir des ε, mais ceci au prix du formalisme de latopologie générale.

Exemples

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Une grande partie des fonctions usuelles sont continues sur leurdomaine de définition :fonctions polynomiales,rationnelles,exponentielles,logarithmes,hyperboliques,trigonométriques,racinen-ième,puissancen-ième,valeur absolue.
La fonctionpartie entière sur les réels est discontinue : on « lève le crayon » en arrivant à chaque entier.
Une fonction réelledérivable en un point est continue en ce point. (La réciproque est fausse : cf.§ « Des erreurs à éviter ».)
Il existe des fonctions définies sur ℝ qui ne sontcontinues en aucun point : c'est le cas de lafonction indicatrice de ℚ, appelée lafonction de Dirichlet, qui vaut 1 en tout pointrationnel et 0 ailleurs. Intuitivement, on voit bien que, pour tracer cette fonction, il faudrait « lever le crayon » une infinité de fois par intervalle, et surtout aucune ligne de longueur non nulle ne peut être tracée.
Cet exemple « pathologique » se généralise : pour toutensemble F_σ (c'est-à-dire toute réunion d'unesuite defermés) d'un intervalle fermé non trivialI de ℝ, il existe une application deI dans ℝ dont les points de discontinuité sont exactement les éléments de cetensemble (c'est en fait une caractérisation des F_σ)^[2].

Propriétés

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La notion de continuité sur un intervalle pour les fonctions réelles :

est utile pour prouver l'existence de solutions à des équations de la formef(x) =m (voirthéorème des valeurs intermédiaires) ;
simplifie le calcul de limites car $\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$ .

La composée de fonctions continues est une fonction continue. La composée d'une fonction continue et d'unesuite convergente est une suite convergente.

Les propriétés de stabilité de la continuité parcombinaison linéaire (i.e. pour tousα, β réels etf,g fonctions réelles continues, la fonctionαf+ βg est continue) et parproduit de deux fonctions font de l'ensemble des fonctions continues unealgèbre sur lecorps des réels.

Des erreurs à éviter

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Une fonction dérivable en un point est continue en ce point mais la réciproque est fausse. Par exemple les fonctionsracine carrée et valeur absolue sont continues en 0 mais non dérivables en ce point (voir l'article « Dérivabilité »).
Une fonction telle quef :x ↦ 1/x est bel et bien continue. L'erreur consistant à dire quef n'est pas continue en 0 est renforcée par l'absence de précision sur son domaine de définition : la continuité en un point situé hors du domaine de définition n'a pas de sens. Dans le cas def, tant qu'une valeur n'est pas précisée pourf(0), on doit supposer que le domaine de définition considéré est ℝ*. Ainsi, dire quef est ou n'est pas continue en 0 n'a aucun sens ; on peut seulement dire qu'elle n'est pas prolongeable en une fonction continue en 0.
Dans l'histoire, la continuité d'une fonction était pensée comme « ne pouvant pas passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires » (propriété souvent appelée PVI pour « propriété des valeurs intermédiaires ») mais on sait aujourd'hui qu'il n'y a pas équivalence entre les deux ; la propriété des valeurs intermédiaires est nécessaire pour qu'il y ait continuité (c'est lethéorème des valeurs intermédiaires), mais pas suffisante (la fonctionf :x ↦ sin(1/x) prolongée par 1 en 0 vérifie bien la propriété des valeurs intermédiaires et est pourtant discontinue en zéro).

Définition dans le cas des espaces métriques

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Ladroite réelle est unespace métrique, ladistance usuelle surR étant celle qui à deux nombres associe la valeur absolue de leur différence. La définition ci-dessus se généralise donc naturellement :

Définition

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Définition — Soient(E,d) et(E',d') deux espaces métriques,f une application deE dansE' eta un point deE.

On dit que l'applicationf est continue au pointa si :

\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in E\quad \left[d(x,a)<\eta \Rightarrow d'(f(x),f(a))<\varepsilon \right].

À nouveau,f est ainsi continue ena si et seulement si la limite def ena existe (elle vaut alors nécessairementf(a)).

Exemples

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Toute applicationuniformément continue entre deux espaces métriques — en particulier touteapplication lipschitzienne — est continue.
Uneapplication linéaire d'unespace vectoriel normé vers un autre estcontinue si et seulement si elle est bornée sur laboule unité (et elle est alors lipschitzienne).

C'est toujours le cas si l'espace de départ estde dimension finie, mais le cas non borné se présente en dimension infinie : considérons comme application linéaire ladérivation sur l'espace ℝ[X] despolynômes réels, en choisissant, commenorme d'un polynôme, la somme desvaleurs absolues de ses coefficients. Tous lesmonômesXⁿ sont de norme 1. Pourtant leurs polynômes dérivés sont de la formenX^n–1, donc de normen avecn arbitrairement grand. Donc la famille des dérivées n'est pas bornée, et la dérivation n'est pas une application continue.

Définition générale (espaces topologiques)

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On donne deux définitions équivalentes dans le cas desespaces topologiques.

Définition locale

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On peut faire reposer la définition locale (c'est-à-dire pour un point) de la continuité sur la notion delimite :

Définition — SoientE etF deux espaces topologiques,f une application deE dansF eta un point deE.

La fonctionf est ditecontinue au pointa sif(a) est une limite def en ce point.

SiF estséparé (ou même seulementT₁) comme toutespace métrisable, il suffit pour cela qu'ilexiste une limite def en ce point.

Caractérisation séquentielle: SiE est métrisable (ou plus généralement :héréditairement séquentiel),f est continue ena si (et seulement si) pour toute suite (x_n) convergeant versa, la suitef(x_n) converge versf(a) ; et lorsque de plusF est T₁ (ou même seulementà unique limite séquentielle), il suffit que pour toute suite(x_n) convergeant versa, la suitef(x_n) admette une limite.

La notion de seuil utilisée pour les fonctions réelles est généralisée par la notion devoisinage : ${\mathcal {V}}(a)$ désigne l'ensemble des voisinages dea, et ${\mathcal {V}}\left(f(a)\right)$ ceux def(a). On démontre alors :

Théorème — La fonctionf est continue au pointa si et seulement si l'image réciproque de tout voisinageW def(a) est un voisinage dea, ce qui s'écrit :

\forall W\in {\mathcal {V}}(f(a)),\quad f^{-1}(W)\in {\mathcal {V}}(a).

Il suffit pour cela que cette propriété soit vérifiée pour toutW d'unebase de voisinages def(a), par exemple pour toutWouvert contenantf(a).

La fonctionf est ditecontinue surE (ou simplement : continue) si elle est continue en tout point deE. Elle est ditecontinue sur une partieA deE si sarestriction àA (muni de latopologie induite) est continue (ilsuffit pour cela quef soit continue en tout point deA).

Caractérisations globales

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On peut déduire de la définition locale trois caractérisations équivalentes des applications qui sont continues (en tout point de l'espace de départ).

La première d'entre elles est qu'une application est continue si et seulement si l'image réciproque de toutouvert de l'espace d'arrivée est un ouvert de l'espace de départ. La suivante, analogue, s'écrit en termes defermés. La quatrième utilise les notions d'adhérence et d'image directe et les deux dernières, celles d'adhérence ou defrontière et d'image réciproque.

Le lien avec la notion intuitive est le suivant : quand une fonction « saute », cela signifie que des points très proches de l'espace de départ, se retrouvent sur des points très éloignés à l'arrivée. Or pour une application continue, ces sauts sont impossibles, d'après le théorème précédent.

Théorème^[3] — SoientE etF deux espaces topologiques etf une application deE dansF. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

f est continue en tout point deE ;
Pour tout ouvertO deF, $f^{-1}(O)$ est un ouvert deE ;
Pour tout ferméG deF, $f^{-1}(G)$ est un fermé deE ;
Pour toute partieA deE, $f\left({\overline {A}}\right)$ est inclus dans ${\overline {f(A)}}$ ;
Pour toute partieB deF, ${\overline {f^{-1}(B)}}$ est inclus dans $f^{-1}\left({\overline {B}}\right)$ ;
Pour toute partieC deF, $\partial f^{-1}(C)$ est inclus dans $f^{-1}(\partial C)$ .

Les caractérisations 2 et 3 sont souvent utilisées,a contrario, pour montrer qu'un certain ensemble est ouvert (ou fermé) en faisant intervenir une application qu'on sait déjà être continue. Par exemple :
- dansR², l'hyperbole d'équationxy = 1 est fermée, comme image réciproque dusingleton {1} par l'application continue « produit » :R² →R, (x,y) ↦xy ;
- legraphe d'une application continuef :E →F est fermé dansE×F dès queF estséparé ;
- deux applications continues à valeurs dans un espace séparé qui coïncident sur unepartie dense sont égales. Ceci permet par exemple de montrer que l'ensemble des fonctions continues deR dansR n'a que lapuissance du continu donc que soncardinal eststrictement plus petit que |R^R| = |P(R)|.
Dans les caractérisations 4 et 5, les inclusions réciproques sont fausses en général. Par exemple sif est l'application continue deR dansR qui àx associe 1 six ≤ 1 et1/x six≥ 1, 0 n'appartient pas àf(R) alors qu'il appartient àf(R), et n'appartient pas àf⁻¹(]0, 1[) alors qu'il appartient àf⁻¹(]0, 1[).
D'après ce théorème, touterestriction-corestriction d'une application continue est continue (pour lestopologies induites).
Ce théorème permet aussi de montrer que siE est une réunion d'ouverts tels que la restriction def à chacun de ces ouverts soit continue alorsf est continue, et de même siE est réunion d'un nombrefini de fermés tels que la restriction def à chacun de ces fermés soit continue. Pour une réunion (même finie) de « parties quelconques », on n'a aucun résultat de ce genre (cf. « Fonction de Dirichlet »).
SiE estséquentiel alorsf est continue surE si (et seulement si) pour tout pointa deE et toute suite(x_n) convergeant versa, la suitef(x_n) converge versf(a).

Exemples

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Uneapplication constante d'un espace topologique dans un autre est continue. En effet, l'image réciproque de toute partie est soit l'ensemble vide, soit l'ensemble de départ tout entier.
Toute application dont l'espace de départ est muni de latopologie discrète, ou l'espace d'arrivée de latopologie grossière, est continue.
L'application identité, d'un ensemble muni d'une certaine topologie vers le même ensemble muni d'une autre topologie, est continue si et seulement si la topologie sur l'ensemble de départ estplus fine que celle sur l'ensemble d'arrivée. Labijection réciproque n'est alors pas continue, sauf si les deux topologies sont égales.
SoientA une partie d'un espace topologiqueX, et1_A safonction caractéristique :
- deX dansℝ (ou, par corestriction, deX dans lapaire {0, 1} munie de la topologie discrète), les points deX en lesquels1_A est discontinue sont les points de lafrontière deA ;
- deX dans l'espace de Sierpiński (la paire {0, 1} munie de la topologie { ∅, {1}, {0, 1} }), les points deX en lesquels1_A est discontinue sont alors seulement les pointsde A nonintérieurs àA.

Équivalence de la définition métrique et topologique

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Un espace métrique (E,d) possède unetopologie associéeτ. Pour tout pointa deE, lesboules ouvertes de centrea et de rayons strictement positifs forment une base de voisinages dea pour cette topologie. Siτ' désigne la topologie associée à un espace métrique (E',d'), alors :

Propriété — Une fonctionf de (E,d) dans (E',d') est continue en un point deE si et seulement si elle est continue en ce point, considérée comme une fonction de (E,τ) dans (E',τ').

En effet, la fonction est continue ena du point de vue topologique si et seulement si (en utilisant lesd'-boules formant une base de voisinages def(a)) : $\forall \varepsilon >0\quad f^{-1}\left(B(f(a),\varepsilon )\right)\in {\mathcal {V}}(a).$ En utilisant lesd-boules formant une base de voisinages dea, cette condition se réécrit : $\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad B(a,\eta )\subset f^{-1}\left(B(f(a),\varepsilon )\right)$ ou encore : $\forall \varepsilon >0\quad \exists \eta >0\quad \forall x\in B(a,\eta )\quad f(x)\in B(f(a),\varepsilon ),$ ce qui correspond exactement à la définition de la continuité formalisée par les distances.

Notion de continuité dans l'histoire

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La continuité n'a pas toujours été définie de la façon précédente.

Euler dans sonIntroductio in analysin infinitorum définit la fonction continue comme une fonction définie par une seule expression analytique finie ou infinie (série entière) et appelle fonctions discontinues ou mixtes celles possédant plusieurs expressions analytiques suivant les intervalles^[4]. Sylvestre Lacroix (1810) appelle fonction continue une fonction dont toutes les valeurs sont définies à partir d'une même loi ou dépendent d'une même équation^[5]. Cette notion de continuité s'appelle la continuité eulérienne et est plus restrictive que la définition actuelle. Par exemple, la fonction définie pour tout réel négatif parf(x) =x et tout réel positif parf(x) =x² est continue au sens actuel et mixte (discontinue) au sens d'Euler.

La définition que nous utilisons aujourd'hui est celle donné parBernard Bolzano dans sa théorie des fonctions : « La fonctionf(x) varie suivant la loi de continuité pour la valeurx si la différence|f(x + w) –f(x)| peut-être rendue plus petite que toute valeur donnée. » (Prague 1816).

Augustin Louis Cauchy dans sonCours d'analyse de l'école royale polytechnique, définit la continuité enx par :f est continue enx si la valeur numérique de la différencef(x + a) –f(x) décroit indéfiniment avec celle dea, utilisant ainsi les notions des infiniment petits^[6].

Une autre définition de la continuité, inspirée de celle de Cauchy est la caractérisation séquentielle (voirsupra). Ladéfinition séquentielle de la continuité globale n'est équivalente à la définition moderne que sur unespace séquentiel.

Malgré cette définition formelle, l'utilisation de la continuité reste au début duXIX^e siècle grandement intuitive quand on voit Cauchy tenir le raisonnement suivant, pour démontrer le théorème des valeurs intermédiaires : « La fonctionf étant continue entre les pointsx₀ etx, la courbe qui a pour équationy = f(x) sera continue entre les points(x₀,f(x₀)) et(x,f(x)) et la droite d'équationy = b qui passera entre les ordonnéesf(x₀) etf(x) ne peut que rencontrer dans l'intervalle la courbe mentionnée [6]. »

Il existe aussi une notion de continuité plus forte : lacontinuité uniforme dans laquelle la distance|f(x) –f(x')| peut être rendue aussi petite que l'on veut pour n'importe quel couple(x,x') tels que la distance|x – x'| soit suffisamment faible. Contrairement à la continuité classique (continuité en un pointa fixé), la continuité uniforme assure que la majoration est vraie sans avoir besoin de fixera. Cette notion fut précisée parEduard Heine en 1872.

Notes et références

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↑Voir par exempleS. Ferrigno, A. Muller-Gueudin, D. Marx, F. Bertrand et M. Maumy-Bertrand,Mathématiques pour les sciences de l'ingénieur,Dunod,2013(lire en ligne),p. 146, définition 36.2.
↑(en) Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner et Andrew M. Bruckner (en),Elementary Real Analysis,vol. 1, www.classicalrealanalysis.com,2008,2^e éd. (1^re éd. 2001, Prentice-Hall), 365 p.(ISBN 978-1-4348-4161-2,présentation en ligne,lire en ligne),p. 261.
↑Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Continuité et homéomorphismes » de la leçon « Topologie générale » sur Wikiversité.
↑A.Dahan-Dalmedico etJ. Peiffer,Une histoire des mathématiques : Routes et dédales,1986[détail des éditions],p. 222.
↑Jacques Bouveresse,Jean Itard et Émile Sallé,Histoire des mathématiques[détail des éditions],p. 34.
↑a etbMichel Guillemot, « Bolzano et la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires »,La démonstration mathématique dans l'histoire,IREM de Lyon.

Voir aussi

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continuité,sur leWiktionnaire
Continuité et variations,surWikiversity

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