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Fonction circulaire réciproque

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Lesfonctions circulaires réciproques, oufonctions trigonométriques inverses, sont lesfonctions réciproques desfonctions circulaires, pour desintervalles de définition précis. Les fonctions réciproques desfonctionssinus,cosinus,tangente,cotangente,sécante etcosécante sont appeléesarc sinus[a],arc cosinus,arc tangente,arc cotangente,arc sécante etarc cosécante.

Les fonctions circulaires réciproques servent à obtenir un angle à partir de l'une quelconque de ses lignes trigonométriques, mais aussi à expliciter lesprimitives de certaines fonctions. Elles sont largement utilisées dans l'ingénierie, lanavigation, laphysique et lagéométrie.

Noms et symboles

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Les noms des fonctions circulaires réciproques sont formés en faisant précéder du motarc le nom de la fonction circulaire correspondante :arc sinus pour le sinus,arc cosinus pour le cosinus, etc.

Pour noter les fonctions circulaires réciproques on utilise différents symboles :

Propriétés fondamentales

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Déterminations principales

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Les fonctions circulaires n'étant pasinjectives, leurs fonctions réciproques sont a priorimultivaluées. Pour définir univoquement ces fonctions réciproques on doitrestreindre chaque fonction circulaire à un intervalle sur lequel elle estbijective (branche principale). La fonction réciproque correspondante est appelée déterminationprincipale.

NomNotation usuelleDéfinitionDomaine de définitionDomaine image
(radians)		Domaine image
(degrés)
arc sinusy = arcsin(x)x =sin(y)−1 ≤x ≤ 1−π/2 ≤y ≤π/2−90° ≤y ≤ 90°
arc cosinusy = arccos(x)x =cos(y)−1 ≤x ≤ 10 ≤y ≤π0 ≤y ≤ 180°
arc tangentey = arctan(x)x =tan(y)tous les nombres réels−π/2 <y <π/2−90° <y < 90°
arc cotangentey = arccot(x)x =cot(y)tous les nombres réels0 <y <π0 <y < 180°
arc sécantey = arcsec(x)x =sec(y)x ≤ −1 oux ≥ 10 ≤y <π/2 ouπ/2 <y ≤π[b]0 ≤y < 90° ou 90° <y ≤ 180°
arc cosécantey = arccsc(x)x =csc(y)x ≤ −1 oux ≥ 1−π/2 ≤y < 0 ou 0 <y ≤π/2[b]−90° ≤y < 0 ou 0 <y ≤ 90°

Six est unnombre complexe (cf.infra), alors le domaine image indiqué ci-dessus ne s'applique qu'à lapartie réelle dey.

Fonctions réciproques multivaluées

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Dans les formules ci-dessous,k désigne unentier quelconque.

Démonstration

Chacune des fonctionssinus,cosinus,sécante etcosécante estpériodique de période2π et prend deux fois chaque valeur sur une même période. Chacune des fonctionstangente etcotangente est périodique de périodeπ et prend une fois chaque valeur sur une même période.

Relations entre fonctions circulaires et fonctions circulaires réciproques

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Le tableau ci-dessous indique le résultat des fonctions circulaires appliquées aux fonctions circulaires réciproques. On retrouve facilement ces valeurs en considérant un triangle rectangle dont un côté a la longueurx (n'importe quel nombre réel compris entre 0 et 1) et l'autre est de longueur unité[c].

θ{\displaystyle \theta }sin⁡(θ){\displaystyle \sin(\theta )}cos⁡(θ){\displaystyle \cos(\theta )}tan⁡(θ){\displaystyle \tan(\theta )}Diagramme
arcsin⁡(x){\displaystyle \arcsin(x)}sin⁡[arcsin⁡(x)]=x{\displaystyle \sin[\arcsin(x)]=x}cos⁡[arcsin⁡(x)]=1−x2{\displaystyle \cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}}tan⁡[arcsin⁡(x)]=x1−x2{\displaystyle \tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos⁡(x){\displaystyle \arccos(x)}sin⁡[arccos⁡(x)]=1−x2{\displaystyle \sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}}cos⁡[arccos⁡(x)]=x{\displaystyle \cos[\arccos(x)]=x}tan⁡[arccos⁡(x)]=1−x2x{\displaystyle \tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}
arctan⁡(x){\displaystyle \arctan(x)}sin⁡[arctan⁡(x)]=x1+x2{\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}cos⁡[arctan⁡(x)]=11+x2{\displaystyle \cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}tan⁡[arctan⁡(x)]=x{\displaystyle \tan[\arctan(x)]=x}
arccsc⁡(x){\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}sin⁡[arccsc⁡(x)]=1x{\displaystyle \sin[\operatorname {arccsc}(x)]={\frac {1}{x}}}cos⁡[arccsc⁡(x)]=x2−1x{\displaystyle \cos[\operatorname {arccsc}(x)]={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}tan⁡[arccsc⁡(x)]=1x2−1{\displaystyle \tan[\operatorname {arccsc}(x)]={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
arcsec⁡(x){\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}sin⁡[arcsec⁡(x)]=x2−1x{\displaystyle \sin[\operatorname {arcsec}(x)]={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}}cos⁡[arcsec⁡(x)]=1x{\displaystyle \cos[\operatorname {arcsec}(x)]={\frac {1}{x}}}tan⁡[arcsec⁡(x)]=x2−1{\displaystyle \tan[\operatorname {arcsec}(x)]={\sqrt {x^{2}-1}}}
arccot⁡(x){\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}sin⁡[arccot⁡(x)]=11+x2{\displaystyle \sin[\operatorname {arccot}(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}cos⁡[arccot⁡(x)]=x1+x2{\displaystyle \cos[\operatorname {arccot}(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}tan⁡[arccot⁡(x)]=1x{\displaystyle \tan[\operatorname {arccot}(x)]={\frac {1}{x}}}

Relations des fonctions circulaires réciproques entre elles

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Graphe cartésien des valeurs principales d'arcsin(x) (en rouge) et d'arccos(x) (en bleu), en fonction dex.
Graphe cartésien des valeurs principales d'arctan(x) (en rouge) et d'arccot(x) (en bleu), en fonction dex.
Graphe cartésien des valeurs principales d'arcsec(x) (en rouge) et d'arccsc(x) (en bleu), en fonction dex.

Angles complémentaires

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arccos⁡(x)=π2−arcsin⁡(x)arccot⁡(x)=π2−arctan⁡(x)arccsc⁡(x)=π2−arcsec⁡(x){\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}

Arguments opposés

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arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡(x)arccos⁡(−x)=π−arccos⁡(x)arctan⁡(−x)=−arctan⁡(x)arccot⁡(−x)=π−arccot⁡(x)arcsec⁡(−x)=π−arcsec⁡(x)arccsc⁡(−x)=−arccsc⁡(x){\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}}

Arguments inverses

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arccos⁡(1x)=arcsec⁡(x)arcsin⁡(1x)=arccsc⁡(x)arctan⁡(1x)=π2−arctan⁡(x)=arccot⁡(x), si x>0arctan⁡(1x)=−π2−arctan⁡(x)=arccot⁡(x)−π, si x<0arccot⁡(1x)=π2−arccot⁡(x)=arctan⁡(x), si x>0arccot⁡(1x)=3π2−arccot⁡(x)=π+arctan⁡(x), si x<0arcsec⁡(1x)=arccos⁡(x)arccsc⁡(1x)=arcsin⁡(x){\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ si }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ si }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ si }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ si }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}}

Autres formules

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Les formules ci-dessous sont utiles, soit quand on dispose d'une table incomplète (par exemple, pour la première, quand la table ne liste que des arguments inférieurs à ½), soit pour simplifier des formules obtenues lors d'un calcul deprimitives (quand on rencontre l'un des seconds membres indiqués).

arccos⁡(x)=arcsin⁡(1−x2), si 0⩽x⩽1arccos⁡(x)=12arccos⁡(2x2−1), si 0⩽x⩽1arcsin⁡(x)=12arccos⁡(1−2x2), si 0⩽x⩽1arctan⁡(x)=arcsin⁡(xx2+1)arccot⁡(x)=arccsc⁡(x2+1), si x⩾0{\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ si }}0\leqslant x\leqslant 1\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ si }}0\leqslant x\leqslant 1\\\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ si }}0\leqslant x\leqslant 1\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\operatorname {arccsc} \left({\sqrt {x^{2}+1}}\right)\,,{\text{ si }}x\geqslant 0\end{aligned}}}

Quand l'une de ces formules fait intervenir la racine carrée d'unnombre complexe (ou d'unnombre réel négatif), la racine choisie est celle qui a unepartie réelle positive (ou unepartie imaginaire positive).

Formules déduites de la tangente de l'arc moitié

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arcsin⁡(x)=2arctan⁡(x1+1−x2)arccos⁡(x)=2arctan⁡(1−x21+x), si −1<x≤+1arctan⁡(x)=2arctan⁡(x1+1+x2){\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ si }}-1<x\leq +1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}
Démonstrations

La formule de la « tangente de l'arc moitié » est :

tan⁡(θ2)=sin⁡(θ)1+cos⁡(θ){\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}.

On peut l'écrire :

tan⁡(θ2)=sin⁡(θ)1+1−sin2⁡(θ)=1−cos2⁡(θ)1+cos⁡(θ)=tan⁡(θ)1+1+tan2⁡(θ){\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin(\theta )}{1+{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}{1+\cos(\theta )}}={\frac {\tan(\theta )}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}}}

ou :

θ=2arctan⁡[sin⁡(θ)1+1−sin2⁡(θ)]=2arctan⁡[1−cos2⁡(θ)1+cos⁡(θ)]=2arctan⁡[tan⁡(θ)1+1+tan2⁡(θ)]{\displaystyle \theta =2\arctan \left[{\frac {\sin(\theta )}{1+{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}\right]=2\arctan \left[{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}{1+\cos(\theta )}}\right]=2\arctan \left[{\frac {\tan(\theta )}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}}\right]}.

On obtient bien les formules indiquées en posant, soitx = sin(θ), soitx = cos(θ), soitx = tan(θ) (alorsθ égale, soitarcsin(x), soitarccos(x), soitarctan(x)).

Addition des arcs tangente

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Article détaillé :Arc tangente, § « Formule remarquable ».

Siuv≠1{\displaystyle uv\neq 1}, alorsarctan⁡u+arctan⁡v≡arctan⁡u+v1−uvmodπ{\displaystyle \arctan u+\arctan v\equiv \arctan {\frac {u+v}{1-uv}}\mod \pi }.

Calcul

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Dérivées

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Les formules ci-dessous sont valables pourz quelconque, réel ou complexe.

ddzarcsin⁡(z)=11−z2;z≠−1,+1ddzarccos⁡(z)=−11−z2;z≠−1,+1ddzarctan⁡(z)=11+z2;z≠−i,+iddzarccot⁡(z)=−11+z2;z≠−i,+iddzarcsec⁡(z)=1z21−1z2;z≠−1,0,+1ddzarccsc⁡(z)=−1z21−1z2;z≠−1,0,+1{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} \\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} \\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}
Démonstration

Le calcul de ces dérivées est facile à retrouver. Pour l'arc sinus par exemple, on poseθ = arcsin(x):

darcsin⁡(x)dx=dθdsin⁡(θ)=dθcos⁡(θ)dθ=1cos⁡(θ)=11−sin2⁡(θ)=11−x2{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \arcsin(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} \sin(\theta )}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\cos(\theta )\mathrm {d} \theta }}={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}.

Les formules ci-dessous ne sont valables que pourx réel.

ddxarcsec⁡(x)=1|x|x2−1;|x|>1ddxarccsc⁡(x)=−1|x|x2−1;|x|>1{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}

Expression sous forme d'intégrale définie

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Enintégrant les dérivées ci-dessus on peut exprimer les fonctions circulaires sous la forme d'intégrales définies defonctions algébriques :

arcsin⁡(x)=∫0x11−z2dz,|x|≤1arccos⁡(x)=∫x111−z2dz,|x|≤1arctan⁡(x)=∫0x1z2+1dz,arccot⁡(x)=∫x∞1z2+1dz,arcsec⁡(x)=∫1x1zz2−1dz=π+∫x−11zz2−1dz,x≥1arccsc⁡(x)=∫x∞1zz2−1dz=∫−∞x1zz2−1dz,x≥1{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}

Quandx = 1, les intégrales définissantarcsin(x),arccos(x),arcsec(x) etarccsc(x) sontimpropres mais convergent correctement.

Développement en série

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Comme les fonctions circulaires, les fonctions circulaires réciproques sont développables enséries entières :

Articles détaillés :Arc sinus etArc tangente.
arcsin⁡z=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+⋯=∑n=0∞(2n−1)!!(2n)!!⋅z2n+12n+1;|z|≤1{\displaystyle \arcsin z=z+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {z^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {z^{7}}{7}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1}.
arctan⁡z=z−z33+z55−z77+⋯=∑n=0∞(−1)nz2n+12n+1;|z|≤1z≠i,−i{\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq \mathrm {i} ,-\mathrm {i} }.

Pour développer en série les autres fonctions circulaires réciproques il suffit d'utiliser leurs relations (voirsupra) :arccos(x) =π/2 – arcsin(x),arccsc(x) = arcsin(1/x), etc..

Un développement du carré de l'arc sinus est[3] :

arcsin2⁡(x)=12∑n=1∞(2x)2nn2(2nn){\displaystyle \arcsin ^{2}(x)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2x)^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}}.

Un autre développement de l'arc tangente, plusefficace numériquement que la série entière, a été obtenu parEuler[d] :

arctan⁡z=z1+z2∑n=0∞∏k=1n2kz2(2k+1)(1+z2){\displaystyle \arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}}.

On peut donner une variante du développement précédent :

arctan⁡z=∑n=0∞22n(n!)2(2n+1)!z2n+1(1+z2)n+1{\displaystyle \arctan z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}}.

Développement en fraction continue

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On connaît deux développements de l'arc tangente enfraction continue généralisée, le premier obtenu parEuler et le second parGauss (à l'aide desfonctions hypergéométriques) :

arctan⁡(z)=z1+(1z)23−1z2+(3z)25−3z2+(5z)27−5z2+(7z)29−7z2+⋱=z1+(1z)23+(2z)25+(3z)27+(4z)29+⋱{\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}

Le développement de Gauss est valable pour desnombres complexes, à l'exception desimaginaires purs demodule supérieur ou égal à 1. Il est surtout efficace pour lesnombres réels compris entre −1 et +1.

Primitives

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Pourzréel oucomplexe :

∫arcsin⁡(z)dz=zarcsin⁡(z)+1−z2+C∫arccos⁡(z)dz=zarccos⁡(z)−1−z2+C∫arctan⁡(z)dz=zarctan⁡(z)−12ln⁡(1+z2)+C∫arccot⁡(z)dz=zarccot⁡(z)+12ln⁡(1+z2)+C∫arcsec⁡(z)dz=zarcsec⁡(z)−ln⁡[z(1+z2−1z2)]+C∫arccsc⁡(z)dz=zarccsc⁡(z)+ln⁡[z(1+z2−1z2)]+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,\mathrm {d} z&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}

Pourx réel et supérieur à 1 :

∫arcsec⁡(x)dx=xarcsec⁡(x)−ln⁡(x+x2−1)+C∫arccsc⁡(x)dx=xarccsc⁡(x)+ln⁡(x+x2−1)+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}

Pourx réel et devaleur absolue supérieure à 1 :

∫arcsec⁡(x)dx=xarcsec⁡(x)−sgn⁡(x)ln⁡(|x+x2−1|)+C∫arccsc⁡(x)dx=xarccsc⁡(x)+sgn⁡(x)ln⁡(|x+x2−1|)+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,\mathrm {d} x&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\end{aligned}}}

Dans les expressions ci-dessus la valeur absolue (|•|) est due au signe variable de l'arc sécante et de l'arc cosécante, et lafonction signe (sgn) aux valeurs absolues desdérivées de ces deux fonctions, ce qui conduit à des expressions différentes selon le signe dex. On peut simplifier ces formules en faisant appel auxfonctions hyperboliques réciproques :

∫arcsec⁡(x)dx=xarcsec⁡(x)−arcosh⁡(|x|)+C∫arccsc⁡(x)dx=xarccsc⁡(x)+arcosh⁡(|x|)+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}
Démonstrations

On obtient les primitives ci-dessus par la méthode d'intégration par parties∫udv=uv−∫vdu{\displaystyle \int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u}. Par exemple pour l'arc sinus :

u=arcsin⁡(x)dv=dxdu=dx1−x2v=x{\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&\mathrm {d} v&=\mathrm {d} x\\\mathrm {d} u&={\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}

Alors :

∫arcsin⁡(x)dx=xarcsin⁡(x)−∫x1−x2dx,{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,}

ce qui donne, par lechangement de variablet = 1 –x2 :

∫arcsin⁡(x)dx=xarcsin⁡(x)+1−x2+C{\displaystyle \int \arcsin(x)\,\mathrm {d} x=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}

Extension au plan complexe

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Étantdéveloppables en série entière, les fonctions circulaires réciproques sontanalytiques, c'est-à-dire que leurensemble de définition (la droite des nombres réels) peut être étendu auplan complexe. Ces fonctions étant fondamentalementmultivaluées, leurs extensions au plan complexe ont de multiples feuillets etpoints de branchement.

On peut ainsi définir l'arc tangente par :

arctan⁡(z)=∫0zdx1+x2z≠−i,+i{\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}\quad z\neq -\mathrm {i} ,+\mathrm {i} }.

Lacoupure entre le feuillet principal et les autres feuillets est constituée par les deux demi-droites portant les imaginaires purs de module supérieur ou égal à 1.

On définit les autres fonctions circulaires réciproques à l'aide desrelations entre ces fonctions :

arcsin⁡(z)=arctan⁡(z1−z2)z≠−1,+1{\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}.
arccos⁡(z)=π2−arcsin⁡(z)z≠−1,+1{\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}
arccot⁡(z)=π2−arctan⁡(z)z≠−i,i{\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -\mathrm {i} ,\mathrm {i} }
arcsec⁡(z)=arccos⁡(1z)z≠−1,0,+1{\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}
arccsc⁡(z)=arcsin⁡(1z)z≠−1,0,+1{\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}

La coupure de l'arc sinus est constituée par les deux demi-droites portant les réels de valeur absolue supérieure ou égale à 1.L'arc cosinus a la même coupure que l'arc sinus, et l'arc cotangente la même que l'arc tangente. L'arc sécante et l'arc cosécante ont pour coupure le segment réel[−1 ; +1].

Formes logarithmiques

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Les fonctions circulaires réciproques peuvent être exprimées sous la forme delogarithmes complexes :

arcsin⁡(z)=−iln⁡(iz+1−z2)=arccsc⁡(1z)arccos⁡(z)=−iln⁡(z+i1−z2)=π2+iln⁡(iz+1−z2)=π2−arcsin⁡(z)=arcsec⁡(1z)arctan⁡(z)=12i[ln⁡(1−iz)−ln⁡(1+iz)]=arccot⁡(1z)arccot⁡(z)=12i[ln⁡(1−iz)−ln⁡(1+iz)]=arctan⁡(1z)arcsec⁡(z)=−iln⁡(1z2−1+1z)=iln⁡(1−1z2+iz)+π2=π2−arccsc⁡(z)=arccos⁡(1z)arccsc⁡(z)=−iln⁡(1−1z2+iz)=arcsin⁡(1z){\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left(z+\mathrm {i} {\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}={\frac {1}{2}}\mathrm {i} \left[\ln \left(1-\mathrm {i} z\right)-\ln \left(1+\mathrm {i} z\right)\right]&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}={\frac {1}{2}}\mathrm {i} \left[\ln \left(1-{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)-\ln \left(1+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)\right]&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}+{\frac {1}{z}}\right)=\mathrm {i} \,\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)+{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-\mathrm {i} \ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {\mathrm {i} }{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}
Démonstrations

On obtient ces expressions logarithmiques à partir de laforme exponentielle des fonctions circulaires. Par exemple pour l'arc sinus :

sin⁡(ϕ)=z{\displaystyle \sin(\phi )=z}
ϕ=arcsin⁡(z){\displaystyle \phi =\arcsin(z)}

En exprimant le sinus en termes d'exponentielles complexes :

z=eiϕ−e−iϕ2i{\displaystyle z={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \phi }}{2\mathrm {i} }}}

Soit :

ξ=eiϕ{\displaystyle \xi =\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }}

On en extraitϕ, qu'on reporte dans l'expression dez :

z=ξ−1ξ2i{\displaystyle z={\frac {\xi -{\frac {1}{\xi }}}{2\mathrm {i} }}}
2iz=ξ−1ξ{\displaystyle 2\mathrm {i} z={\xi -{\frac {1}{\xi }}}}
ξ−2iz−1ξ=0{\displaystyle {\xi -2\mathrm {i} z-{\frac {1}{\xi }}}=0}
ξ2−2iξz−1=0{\displaystyle \xi ^{2}-2\mathrm {i} \xi z-1\,=\,0}
ξ=iz±1−z2=eiϕ{\displaystyle \xi =\mathrm {i} z\pm {\sqrt {1-z^{2}}}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }}
iϕ=ln⁡(iz±1−z2){\displaystyle \mathrm {i} \phi =\ln \left(\mathrm {i} z\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
ϕ=−iln⁡(iz±1−z2){\displaystyle \phi =-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)} (on a choisi la branche positive)
ϕ=arcsin⁡(z)=−iln⁡(iz+1−z2){\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}
Représentation des fonctions circulaires réciproques parcoloration de régions dans leplan complexe
arcsin(z)arccos(z)arctan(z)arccot(z)arcsec(z)arccsc(z)

Applications

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Triangle rectangle

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Triangle trigonométrique : relations entre un angle et les côtés du triangle.

Les fonctions circulaires réciproques permettent d'exprimer un angle d'untriangle rectangle en fonction de deux des côtés :

θ=arcsin⁡(côté opposéhypoténuse)=arccos⁡(côté adjacenthypoténuse)=arctan⁡(côté opposécôté adjacent)=arccot⁡(côté adjacentcôté opposé)=arcsec⁡(hypoténusecôté adjacent)=arccsc⁡(hypoténusecôté opposé){\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\arcsin \left({\frac {\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}}\right)\\&=\arctan \left({\frac {\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {\text{côté adjacent}}{\text{côté opposé}}}\right)\\&=\operatorname {arcsec} \left({\frac {\text{hypoténuse}}{\text{côté adjacent}}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {\text{hypoténuse}}{\text{côté opposé}}}\right)\end{aligned}}}

ou, avec les notations de la figure ci-contre :

θ=arcsin⁡(ac)=arccos⁡(bc)=arctan⁡(ab)=arccot⁡(ba)=arcsec⁡(cb)=arccsc⁡(ca){\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right)=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\frac {c}{b}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {c}{a}}\right)}.

Arc tangente à deux arguments

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Article détaillé :Atan2.

L'arc tangente à deux arguments, de symbole usuelatan2, est une variante de l'arc tangente initialement introduite dans leslangages informatiques (Fortran, notamment). Pourx ety réels et non tous les deux nuls,atan2(y,x) est, dans unrepère orthonormé, l'angle polaire du point d'abscissex et d'ordonnéey. Autrement dit, c'est l'argument dunombre complexex + iy. L'intérêt de cette fonction est double :

  • ledomaine image d'atan2 est[–π , π] alors que celui de l'arc tangente est[–π/2 , π/2] :atan2(–y,–x) etatan2(y,x) diffèrent deπ alors quearctan⁡(−y−x)=arctan⁡(yx){\displaystyle \arctan \left({\tfrac {-y}{-x}}\right)=\arctan \left({\tfrac {y}{x}}\right)}. Plus généralement, atan2 donne l'angle polaire en un seul calcul alors qu'aucune des fonctions circulaires réciproques ne le fait ;
  • quandx = 0 la fonction atan2 prend la valeurπ/2 ou –π/2 (selon le signe dey) alors que la plupart des langages informatiques ne permettent pas de coder un argument infini. Plus généralement,atan2(y,x) se comporte bien numériquement quand|x| << |y| alors que ce n'est pas le cas dearctan(y/x).

Calculs de primitives

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Primitive d'une fonction rationnelle

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Pourintégrer unefonction rationnelleR(x) (oùx est une variableréelle) on ladécompose en éléments simples :

R(x)=T+F1+…+Fp+G1+…+Gqet{Test un polynôme de xFi=ai,1x−zi+ai,2(x−zi)2+…+ai,ni(x−zi)niGj=bj,1x+cj,1x2−βjx+γj+bj,2x+cj,2(x2−βjx+γj)2+…+bj,mjx+cj,mj(x2−βjx+γj)mj{\displaystyle R(x)=T+F_{1}+\ldots +F_{p}+G_{1}+\ldots +G_{q}\quad {\rm {et}}\quad {\begin{cases}T&{\text{est un polynôme de }}x\\F_{i}&={\frac {a_{i,1}}{x-z_{i}}}+{\frac {a_{i,2}}{(x-z_{i})^{2}}}+\ldots +{\frac {a_{i,n_{i}}}{(x-z_{i})^{n_{i}}}}\\G_{j}&={\frac {b_{j,1}x+c_{j,1}}{x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j}}}+{\frac {b_{j,2}x+c_{j,2}}{(x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j})^{2}}}+\ldots +{\frac {b_{j,m_{j}}x+c_{j,m_{j}}}{(x^{2}-\beta _{j}x+\gamma _{j})^{m_{j}}}}\end{cases}}}

où lestrinômesx2 –βjx +γj n'ont pas de racines réelles (discriminant négatif :Δ =βj2 – 4γj < 0). Ensuite :

Primitive d'une fonction où interviennent des radicaux

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Plus généralement :

Notes et références

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Notes

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  1. ↑La logique de cette dénomination est la suivante : l'arc sinus dex est l'arc (l'angle) dont le sinus estx.
  2. ↑a etbCertains auteurs définissent ledomaine image de l'arc sécante comme (0 ≤y <π/2 ouπ ≤y <3π/2 ), parce que la fonctiontangente est non-négative dans ce domaine. Cette définition rend certains calculs plus cohérents. On obtient par exempletan(arcsec(x)) =√x2 − 1, alors qu'avec le domaine image (0 ≤y <π/2 ouπ/2 <y ≤π) on doit écriretan(arcsec(x)) = ±√x2 − 1, vu que la tangente est non-négative sur 0 ≤y <π/2 mais non-positive surπ/2 <y ≤π. Pour la même raison, ces mêmes auteurs définissent le domaine image de l'arc cosécante comme −π <y ≤ −π/2 ou 0 <y ≤π/2.
  3. ↑On retrouve aussi ces résultats par un calcul algébrique, mais c'est plus long.
  4. ↑Pourn = 0 le produit Πest vide et vaut donc 1, par définition.

Références

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  1. ↑(en) Arthur Graham Hall et Fred Goodrich Frink,chap. II« The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions », dansTrigonometry, Ann Arbor, Michigan, USA,Henry Holt and Company / Norwood Press / J. S. Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA,(lire en ligne), I: Plane Trigonometry,p. 15.
  2. ↑(en) John Frederick William Herschel, « On a remarkable Application of Cotes's Theorem »,Philosophical Transactions, Londres, Royal Society,vol. 103,no 1,‎,p. 8(lire en ligne).
  3. ↑Voir(en)Jonathan Borwein,David Bailey et Roland Gingersohn,Experimentation in Mathematics : Computational Paths to Discovery, Wellesley, MA, A K Peters,, 368 p.(ISBN 978-1-4398-6419-7,lire en ligne),p. 51 (exercice 16, sur laformule de Clausen (en)) ou, plus simplement, cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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(en)Eric W. Weisstein, « Inverse Trigonometric Functions », surMathWorld

v ·m
Trigonométrie du cercle
Fonctions trigonométriques
Fonctions circulaires réciproques
Intégrales trigonométriques
Relations
Trigonométrie hyperbolique
Fonction hyperbolique
Fonction hyperbolique réciproque
v ·m
Fonction algébriquerationnelle
Fonction algébrique irrationnelle
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