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Fluide parfait

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Enmécanique des fluides, unfluide est ditparfait s'il est possible de décrire son mouvement sans prendre en compte les effets deviscosité et deconduction thermique. Le mouvement du fluide est doncadiabatique^[1], décrit par leséquations d'Euler.

Tous les fluides ont une viscosité, sauf lessuperfluides, ce qui en pratique ne concerne guère que l'hélium à très basse température (Condensat de Bose-Einstein) ou leplasma quarks-gluons. Le fluide parfait ne peut donc être qu'une approximation pour un fluide de viscosité tendant vers zéro, ce qui revient à faire tendre lenombre de Reynolds vers l'infini. Ce type d'approximationfluide parfait n'est cependant pas dénuée d'intérêts, par exemple enaérodynamique, où souvent des nombres de Reynolds très grands sont atteints. Cela étant, même si dans ces cas d'aérodynamique de hauts nombres de Reynolds le fluide peut être considéré comme parfaitassez loin des corps étudiés, il subsiste près de ces corps une zone où les effets de la viscosité sont importants, cette zone étant appelée lacouche limite. Autrement dit, on pourra appliquer l'approximation dufluide parfait à distance suffisante d'un corps (avec utilisation possible duthéorème de Bernoulli), tout en calculant par d'autres moyens le comportement du même fluide considéré comme visqueux dans laCouche limite existant à la surface du même corps. Il est alors possible, par des calculs enfluide parfait, de déterminer les lignes de courants ainsi que les vitesses et pressions locales autour du corps considéré. L'écoulement ainsi déterminé s'appelleécoulement potentiel. Cependant, pour rapprocher ces écoulements potentiels des écoulements réels (de fluides visqueux), les aérodynamiciens veillent, au moment de leurs calculs potentiels, à engraisser les corps de l'épaisseur de leur Couche Limite.

Écoulementpotentiel (soitd'un fluide parfait) autour d'un corps profilé.

Comparaison entre l'écoulement dans une cellule d'Hele-Shaw et l'écoulement potentiel (c.-à-d. d'un fluide parfait).

À côté de cescalculs potentiels, il existe lescellules d'Hele-Shaw qui montrent les mêmes écoulements potentiels au moyen de filets de fluides colorés se déplaçant très lentement entre deux vitres très rapprochées (images ci-contre).

Encosmologie, les différentes formes de matière qui emplissent l'univers peuvent être considérées, du moins aux échelles où l'univers esthomogène comme des fluides parfaits. Comme l'écoulement d'un tel fluide est isentropique sauf en des régions où apparaissent des singularités (choc, couche de glissement) décrites par lesrelations de Rankine-Hugoniot, l'expansion de l'Univers est parfois décrite comme étantadiabatique, s'identifiant sous certains aspects à la détente d'un gaz sans échange dechaleur avec l'extérieur.

Propriétés essentielles

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Un fluide parfait incompressible obéit auxéquations d'Euler deconservation de lamasse et de laquantité de mouvement, ces deux équations formant les équations de base des fluides non dissipatifs, ainsi qu'à une version dupremier principe de la thermodynamique, ces deux aspects (mécanique des fluides etthermodynamique) étant intimement liés.

Les deux premières équations s'écrivent, en notantρ lamasse volumique du fluide,P sapression etv savitesse :

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {v} })=0

{\frac {\partial {\mathbf {v} }}{\partial t}}+({\mathbf {v} }\cdot \nabla ){\mathbf {v} }=-{\frac {\nabla P}{\rho }}+{\mathbf {f} }

où ${\mathbf {f} }$ représente la densité deforces s'exerçant sur le fluide. Par exemple, si l'on considère lapesanteur, on a

{\mathbf {f} }={\mathbf {g} }

${\mathbf {g} }$ représentant l'accélération de la pesanteur.

Aspects thermodynamiques

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D'ordinaire, la densité d'énergie interne d'unsystème physique (dans le présent contexte, une petite région contenant un fluide donné) dépend de la densité de celui-ci et de sonentropie. En effet, lepremier principe de la thermodynamique stipule que l'énergie interneU d'un système varie selon

{\mathrm {d} }U=-P{\mathrm {d} }V+T{\mathrm {d} }S

oùP représente sapression,V levolume,T latempérature etS l'entropie. Dans le cas d'un fluide parfait, on a par définition ${\mathrm {d} }S=0$ , d'où

{\mathrm {d} }U=-P{\mathrm {d} }V

ce qui équivaut à dire que l'élément de fluide possède une relation univoque entre sa densité d'énergie et sa pression, ne dépendant pas d'un paramètre extérieur. Si l'on passe à la densité d'énergie interne définie par

\epsilon ={\frac {U}{V}}

on obtient alors

{\mathrm {d} }(\epsilon V)=-P{\mathrm {d} }V

d'où

{\mathrm {d} }\epsilon =-(P+\epsilon ){\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}

Formalisme mathématique

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Un fluide parfait peut être décrit à l'aide d'untenseur énergie impulsionT. À partir duquel on peut retrouver les équations (conservation de la masse et Euler, plus premier principe de la thermodynamique) auxquelles obéit le fluide parfait. Celui-ci s'écrit

{\mathbf {T} }=\left(P+\rho \right){\frac {{\mathbf {u} }\otimes {\mathbf {u} }}{c^{2}}}-P{\mathbf {g} }

ou, en termes de composantes,

T^{\alpha \beta }=\left(P+\rho \right){\frac {u^{\alpha }u^{\beta }}{c^{2}}}-Pg^{\alpha \beta }

où $\rho$ représente ladensité d'énergie du fluide, somme de sa densité d'énergie interne $\epsilon$ et de sa densité d'énergie de masse $\mu c^{2}$ , $\mu$ étant lamasse volumique de l'élément de fluide etc lavitesse de la lumière,u laquadrivitesse du fluide (c'est-à-dire la vitesse d'ensemble de cet élément), etg letenseur métrique. Larelativité restreinte et larelativité générale stipulent que le tenseur énergie impulsion d'un fluide est « conservé », c'est-à-dire que sadivergence est nulle. Cette équation s'écrit, en termes de composantes,

D_{\alpha }\left(\left(P+\rho \right){\frac {u^{\alpha }u^{\beta }}{c^{2}}}-Pg^{\alpha \beta }\right)=0

D représentant la dérivée ordinaire (en relativité restreinte) ou ladérivée covariante (en relativité générale). Le calcul donne alors

{\frac {u^{\alpha }u^{\beta }}{c^{2}}}D_{\alpha }\left(P+\rho \right)+\left(P+\rho \right){\frac {u^{\alpha }}{c^{2}}}D_{\alpha }u^{\beta }+\left(P+\rho \right){\frac {u^{\beta }}{c^{2}}}D_{\alpha }u^{\alpha }-D^{\beta }P=0

C'est cette équation qui permet de retrouver les trois équations précitées.

Démonstration 1

Nous allons démontrer que l'équation précédente contient la conservation de l'énergie. Dans le cas classique cela revient à prendre la composante temporelle de l'équation (indice 0).

La quantité $u^{\alpha }D_{\alpha }X$ mesure la variation d'une quantitéX le long de la trajectoire de l'élément de fluide. Elle correspond donc à la variation de cette quantité transportée par l'élément de fluide. On la note communément ${\mathrm {d} }/{\mathrm {d} }\tau$ , $\tau$ étant letemps propre associé à l'élément de fluide. On obtient ainsi

{\frac {u^{\beta }}{c^{2}}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }\tau }}\left(P+\rho \right)+\left(P+\rho \right){\frac {1}{c^{2}}}{\frac {{\mathrm {d} }u^{\beta }}{{\mathrm {d} }\tau }}+\left(P+\rho \right){\frac {u^{\beta }}{c^{2}}}D_{\alpha }u^{\alpha }-D^{\beta }P=0

En effectuant le produit scalaire de cette équation avec la quadrivitesse, il vient alors, en notant par un point la dérivée par rapport à $\tau$ ,

\left({\dot {P}}+{\dot {\rho }}\right)+\left(P+\rho \right){\frac {u_{\beta }}{c^{2}}}{\dot {u}}^{\beta }+\left(P+\rho \right)D_{\alpha }u^{\alpha }-{\dot {P}}=0

La quadrivitesse ayant une norme constante, $u_{\beta }u^{\beta }=c^{2}$ , une quantité du type $u_{\beta }{\dot {u}}^{\beta }$ est nulle. Il vient donc

{\dot {\rho }}+\left(P+\rho \right)D_{\alpha }u^{\alpha }=0

Le terme $D_{\alpha }u^{\alpha }$ , habituellement noté $\theta$ est appeléexpansion de l'élément de fluide. Dans la limitenon relativiste, il correspond à la divergence du vecteur vitesse, ce qui correspond au taux de variation de son volume. Ainsi, on a

\theta ={\frac {{\mathrm {d} }V}{V{\mathrm {d} }t}}

ce qui permet de réécrire l'équation en

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho +\left(P+\rho \right){\frac {{\mathrm {d} }V}{V{\mathrm {d} }t}}=0

Enfin, l'hypothèse de conservation du nombre de particules s'écrit

{\frac {\partial }{\partial t}}n+n{\frac {{\mathrm {d} }V}{V{\mathrm {d} }t}}=0

oùn représente la densité de particules. Elle est reliée à sa densité d'énergie de masse par la formule

n={\frac {\mu c^{2}}{mc^{2}}}

m étant lamasse des particules. Cette équation s'interprète par le fait que le nombre de particules de l'élément de fluide étant contant, la variation de la densité de celles-ci le long de l'écoulement est uniquement due à la variation du volume de l'élément En pratique, si l'on repasse en termes de coordonnées, la densité de particules est une fonction des coordonnées d'espace et de temps, $n({\mathbf {x} },t)$ . Si l'élément de fluide possède une trajectoire ${\mathbf {x} }(t)$ , alors sa variation le long de la trajectoire se fait selon celle de $n({\mathbf {x} }(t),t)$ , et correspond donc à

{\frac {{\mathrm {d} }n}{{\mathrm {d} }t}}={\frac {\partial }{\partial t}}n+{\frac {{\mathrm {d} }{\mathbf {x} }}{{\mathrm {d} }t}}\cdot \nabla n

Ainsi, on obtient

{\frac {\partial }{\partial t}}n+{\mathbf {v} }\cdot \nabla n+n\nabla \cdot {\mathbf {v} }=0.

que l'on peut regrouper en

{\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n{\mathbf {v} })=0

Ainsi, l'équation initiale laisse uniquement

{\frac {\partial }{\partial t}}\epsilon =-(P+\epsilon ){\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial t}}

ce qui se réécrit

{\mathrm {d} }\epsilon =-(P+\epsilon ){\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}

;

comme annoncé on retrouve la conservation de l'énergie de la particule fluide :

{\mathrm {d} }(\epsilon V)=-P{\mathrm {d} }V

Obtention

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À un niveau microscopique, le tenseur énergie impulsion d'un fluide peut toujours être déterminé par un processus rigoureux, en partant d'une quantité appeléelagrangien. Par exemple, le tenseur énergie impulsion d'une particule ponctuelle se déduit immédiatement du lagrangien la décrivant. En mécanique des fluides, on considère que la distribution des particules composant le fluide peut, au-delà d'une certaine échelle, être considérée comme unmilieu continu.

Par contre, à un niveau macroscopique, rien ne permet d'affirmer avec certitude que le tenseur énergie impulsion puisse être dérivé d'un lagrangien macroscopique. D'ordinaire, le tenseur énergie impulsion d'un fluide est déterminé dans un premier temps par l'écriture du tenseur énergie impulsion d'une particule, puis en supposant une certaine distribution de particules dans une région de l'espace (unefonction de distribution), puis en effectuant la moyenne des tenseurs énergie impulsion individuels sur un volume petit devant les dimensions du problème, mais grand devant la séparation inter particules. Rien ne permet d'affirmer qu'il est possible de trouver un tenseur énergie impulsion à partir d'un lagrangien qui serait déjà « moyenné » sur un ensemble de particules. Le fluide parfait est à ce titre un cas particulier, car il est possible de le déterminer de cette façon, quoique la démonstration en soit non triviale^[2].

Généralisation

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Au-delà de l'approximation de fluide parfait, on parle de fluide visqueux, décrit par leséquations de Navier-Stokes.

Culture populaire

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Dans ladeuxième saison d'Agent Carter, la Matière Zéro est décrite comme étant une forme de fluide parfait.

Voir aussi

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Sur les autres projets Wikimedia :

Dynamique des fluides parfaits,surWikiversity

Références

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(en)Charles W. Misner,Kip S. Thorne etJohn Archibald Wheeler,Gravitation,New York, W.H. Freeman and Company,1973 (réimpr. 1997, ..., 2003, 2006, 2008) (1^re éd. 1970), 1280 p.(ISBN 978-0-716-70334-1 et978-0-716-70344-0,OCLC 585119), pages 562 à 565.

Notes

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↑(en)Lev Landau etEvgueni Lifchits,Fluid Mechanics, Oxford, Pergamon Press,1987, 539 p., PDF(ISBN 0-08-033933-6,lire en ligne)
↑La démonstration de ceci n'est que très rarement donnée. Ses grandes lignes figurent dans(en)S. W. Hawking etG. F. R. Ellis,The Large Scale Structure of Space-Time,Cambridge University Press,coll. « Cambridge Monographs on Mathematical Physics »,1975, 400 p.(ISBN 0521099064), page 69 et 70.

v ·m Mécanique des fluides
Branches	Statique des fluides Dynamique des fluides Hydraulique
Fluides	Fluide caloporteur Fluide de Stokes Fluide frigorigène Fluide hydraulique Fluide incompressible Fluide intelligent Fluide électrorhéologique Fluide parfait
Écoulements	Écoulement complexe Écoulement de Couette Écoulement de Poiseuille Écoulement incompressible Écoulement laminaire Écoulements torrentiel et fluvial Écoulement multiphasique Écoulement diphasique
Comportement rhéologique	Fluide newtonien Fluide non newtonien indépendant du temps Fluide rhéofluidifiant ou pseudoplastique Fluide rhéoépaississant ou dilatant (en) Fluide à seuil ou viscoplastique Fluide de Bingham dépendant du temps Fluide thixotrope Fluide antithixotrope
Équations	Équations de Navier-Stokes Théorème de Bernoulli Équation de Darcy-Weisbach Équations d'Euler Équation de Prony Équation d'Hugoniot Équations de Saint-Venant Écoulement de Stokes Équation de continuité Équations primitives atmosphériques
Nombres sans dimension	d'Archimède de Bond de Boussinesq de Bulygin de Cameron capillaire d'Ekman d'Ellis de Fedorov de Froude de Galilée de Görtler de Goucher de Grashof de Hartmann de Hedström de Hersey de Karlovitz de Kutateladze de Lewis de Mach d'Ohnesorge de Prandtl de Rayleigh de Reech de Reynolds de Rossby de Rouse de Schmidt de Stewart de Strouhal de Taylor de Weber

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