Le finitisme est unephilosophie des mathématiques qui ne prend en considération que lesobjets mathématiques finis. On peut faire la comparaison avec la philosophie des mathématiques traditionnelle où les objets mathématiques infinis (par exemple,ensembles infinis) sont aussi légitimes que les autres.
L'idée principale des mathématiques finitistes est le fait de ne pas accepter l'existence d'objets infinis, tels que des ensembles infinis. Bien que tous lesentiers naturels soient acceptés comme existants, l'ensemble de tous les entiers naturels n'est pas considéré comme objet mathématique. Par conséquent, laquantification sur des domaines infinis n'est pas considérée comme significative. La théorie mathématique souvent associée au finitisme est l'arithmétique récursive primitive deThoralf Skolem.
L'introduction d'objets mathématiques infinis est un développement qui a eu lieu il y a déjà quelques siècles. L'utilisation des objets infinis a été un sujet controversé parmi lesmathématiciens. Ce problème s'est vu renouvelé lorsqueGeorg Cantor, à partir de 1874, a introduit ce que l'on appelle lathéorie naïve des ensembles, et l'a utilisée comme base pour son travail sur lesnombres transfinis. Lorsque des paradoxes comme leparadoxe de Russell, leparadoxe de Berry et leparadoxe de Burali-Forti ont été découverts dans la théorie naïve desensembles de Cantor, la question est devenue un sujet d'actualité parmi les mathématiciens.
Les mathématiciens ont pris diverses positions. Tous étaient d'accord sur des objets mathématiques finis tels que des entiers naturels. Cependant, il y avait des désaccords concernant l’existence d'objets mathématiques infinis. Une position sur ce point était celle desmathématiques intuitionnistes, avec comme précurseurL. E. J. Brouwer, qui ont rejeté l'existence d'objets infinis à moins qu'ils soient construits.
Dans les années suivant lesthéorèmes de Gödel, puisqu'il est devenu certain qu'il n'y a aucun espoir de prouver la cohérence des mathématiques, et avec le développement dethéories des ensembles telles que lathéorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel et l'absence de preuve contre sa cohérence, la plupart des mathématiciens se sont désintéressés du problème. La plupart des mathématiciens classiques sont considérés commeplatonistes et croient en l'existence d'objets mathématiques infinis.
Leopold Kronecker est resté un opposant à la théorie des ensembles de Cantor[1]:
« Dieu a créé les nombres naturels, tout le reste est l'œuvre de l'homme[2],[3]. »
Reuben Goodstein est un autre partisan du finitisme.
Bien qu'il l'ait nié, une grande partie de l'œuvre deLudwig Wittgenstein sur les mathématiques a une forte affinité avec le finitisme.
Si les finitistes sont contrastés avec lestransfinitistes (partisans de, par exemple, la hiérarchie des infinis deGeorg Cantor), alorsAristote peut être caractérisé comme un finitiste strict. Aristote promettait surtout l'infinité potentielle comme une option entre le finitisme strict et l'infini actuel.
