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Enmathématiques, l'opérationpuissance consiste àmultiplier un élément${\displaystyle a}$ par lui-même plusieurs fois de suite. Le nombre de facteurs intervenant dans cette opération est noté enexposant de l'élément${\displaystyle a}$ (c'est-à-dire à la suite de${\displaystyle a}$, légèrement décalé vers le haut à droite et en réduisant sa taille). Pour cette raison, ce nombre de facteurs est encore appeléexposant de l'opération puissance.

Ainsi, sin est unentier naturel supérieur ou égal à un, on écrit :

${\displaystyle a^n=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\text{ facteurs}}{n-1\text{ signes }\times }}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}=\prod _{i=1}^{n}a}$

qui est lu « a puissance n » ou « a exposant n ».

À cause de l'importance de l'exposant, et à cause de cette tendance à dire « a exposant n » au lieu de « a puissance n », le nom de l'opérationpuissance est aussi remplacé par le termeexponentiation qui est bien sûr étymologiquement lié au terme exposant.^{[réf. nécessaire]}

Dans ce qui précède l'élément${\displaystyle a}$ peut bien sûr être un nombre, mais aussi n'importe quel élément pour lequel on peut effectuer une opérationassociative notée multiplicativement${\displaystyle a\times a}$ de${\displaystyle a}$ par lui-même (voir lesexemples ci-dessous).

Cette notion de puissance peut être étendue à des exposantsentiers relatifs (c'est-à-dire positifs ou nulsou négatifs), pourvu que les éléments (non nuls) de l'ensemble considéré soient inversibles (voir ci-dessous la sectionExtension à des exposants négatifs).

Il existe desalgorithmes permettant de calculer une puissance, de façon plus efficace que par la méthode naïve consistant à le multiplier par lui-même plusieurs fois : voirexponentiation rapide.

Pour un nombre réel${\displaystyle a}$

• le nombre${\displaystyle a^2=a\times a}$ est appelé lecarré de${\displaystyle a}$, car l'aire d'un carré de côté${\displaystyle a}$ est${\displaystyle a^2}$.
• le nombre${\displaystyle a^3=a\times a\times a}$ est appelé lecube de${\displaystyle a}$, car le volume d'un cube de côté${\displaystyle a}$ est${\displaystyle a^3}$.

En outre, par convention :

${\displaystyle a^1=a}$

et, si${\displaystyle a}$ est inversible (voir ci-dessous) :

${\displaystyle {\displaystyle a^0=1}}$

On peut remarquer que :

• Dans cette dernière convention,${\displaystyle 1}$ représente l'élément neutre pour la multiplication considérée.
• La raison de ces deux conventions^{[note 1]} est de permettre que les théorèmes ci-dessous soient valables aussi pour ces valeurs d'exposants.

La notion de puissance peut être définie naturellement dans unmonoïde (l'opération étant notée multiplicativement) ou plus généralement, dans unmagmaassociatif des puissances.

Quelques exemples suivent.

La notion depuissance d'un nombre est la plus connue et la plus utilisée.

Pour qu'unematrice soit multipliable par elle-même, il faut et il suffit que ce soit une matrice carrée (c'est-à-dire qu'elle ait autant de lignes que de colonnes).

Soit par exemple la matrice carrée d'ordre 2 suivante :

alors

puis

et ainsi de suite...

Lacomposition de fonctions est notée par le symbole${\displaystyle \circ }$,${\displaystyle f\circ g}$ se lit « f rondg ».

Pour qu'unefonction${\displaystyle f}$ soit composable par elle-même (autrement dit pour qu'on puisse définir${\displaystyle f\circ f}$), il faut que ce soit une fonction d'un ensemble dans lui-même.

Soit par exemple la fonction${\displaystyle f}$ définie de${\displaystyle \mathbb{R}}$ dans${\displaystyle \mathbb{R}}$ par${\displaystyle f:x\mapsto 2x+3}$.

Alors${\displaystyle f^2=f\circ f:x\mapsto 2(2x+3)+3=4x+9}$

puis${\displaystyle f^3=f^2\circ f:x\mapsto 4(2x+3)+9=8x+21}$

et ainsi de suite...

Leproduit cartésien d'un ensemble${\displaystyle E}$ par lui-même existe toujours : il s'agit de l'ensemble descouples d'éléments de${\displaystyle E}$. On notera donc

${\displaystyle E^2=E\times E}$

cet ensemble de couples, et plus généralement

${\displaystyle E^n=\underset{n\mathrm{facteurs}}{\underbrace{E\times \cdots \times E}}}$

l'ensemble desn-uplets d'éléments de${\displaystyle E}$.

Pour que le deuxième théorème ci-dessous reste valable lorsque${\displaystyle n-m}$ est négatif, on a été conduit à donner la double définition (convention de notation) suivante pour les exposants négatifs :

Si${\displaystyle a}$ est un élémentinversible, on note${\displaystyle a^{-1}}$ soninverse.

Si en outre${\displaystyle n}$ est un entier naturel, alors${\displaystyle a^n}$ est aussi inversible, et l'on note${\displaystyle a^{-n}}$ son inverse.

Avec cette définition, les autres théorèmes ci-dessous restent valables également.

On reprend les exemples donnés dans la sectionsupra.

Parmi lesnombres réels, les éléments inversibles sont les éléments non nuls et l'inverse d'un nombre${\displaystyle a}$ est encore noté${\displaystyle \frac{1}{a}}$.

Alors${\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a\times ...\times a}}$

Une matrice${\displaystyle A}$ est inversible si et seulement si sondéterminant est non nul. Sa matrice inverse${\displaystyle A^{-1}}$ est telle que${\displaystyle A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I}$

avec${\displaystyle I}$, la matrice diteidentité, ne comportant que des 1 dans ladiagonale principale et des 0 partout ailleurs.

Par exemple à l'ordre 2,

Une fonction${\displaystyle f}$ est inversible si et seulement si elle possède une fonction réciproque, c'est-à-dire une fonction${\displaystyle f^{-1}}$ telle que${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id}$.

Aucun ensemble n'est inversible pour le produit cartésien (en fait il n'y a pas d'élément neutre, donc la notion d'inversibilité n'a pas de sens dans ce cas).

Dans les théorèmes essentiels qui suivent${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$... désignent des éléments d'un même ensemble et tels qu'ils soient multipliables par eux-mêmes et multipliables entre eux, tandis que${\displaystyle m}$,${\displaystyle n}$... désignent (a priori) des entiers strictement positifs.

En outre${\displaystyle a}$ (ainsi que${\displaystyle b}$ dans le dernier théorème) doit être inversible, s'il intervient dans une puissance à exposant négatif.

Dans la première partie du livre premier de saThéorie analytique des probabilité^[1],Laplace présente l'histoire heureuse de cette notation :

« La position d'une grandeur à la suite d'une autre suffit pour exprimer leur produit. Si ces grandeurs sont la même, ce produit est le carré ou la seconde puissance de cette grandeur. Mais, au lieu de l'écrire deux fois,Descartes imagina de ne l'écrire qu'une fois, en lui donnant le nombre 2 pour exposant, et il exprima les puissances successives, en augmentant successivement cet exposant d'une unité^[1]. »

« Wallis, qui s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, a été conduit par ce moyen à exprimer les puissances radicales par de exposants fractionnaires; et de même queDescartes exprimait par les exposants 2,3, ... les puissances secondes, troisièmes, ... d'une grandeur, il exprima ses racines secondes, troisièmes, ... par les exposants fractionnaires 1/2, 1/3, ... En général, il exprima par l'exposant m/n la racine n d'une grandeur élevée à la puissance m. En effet, suivant la notation deDescartes, cette expression a lieu dans le cas où m est divisible par n, etWallis, paranalogie, l'étendit à tous les cas^[1] »

« Mais il est remarquable queWallis, qui avait si bien considéré les indices fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. On voit la notation des puissances radicales par les exposants fractionnaires employée pour la première fois dans les lettres deNewton àOldenburg, insérées dans leCommercium epistolicum. En comparant par la voie de l'induction, doncWallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances dubinôme avec les coefficients des termes de son développement, dans le cas où ces exposants sont des nombres entiers, il détermina la loi de ces coefficients, et il l'étendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et aux puissances négatives^[1]. »

« Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue est celle des exposants variables, ce qui constitue le Calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne.Leibnitz a indiqué le premier, dans lesActes de Leipzig pour1682, les transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée [...]^[1]. »

« Leibnitz ayant adapté auCalcul différentiel une caractéristique très commode, il imagina de lui donner les mêmes exposants qu'aux grandeurs ; mais alors ces exposants, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction^[1]. »

• (en)Eric W. Weisstein, « Exponent », surMathWorld
• (en)Eric W. Weisstein, « Exponent Laws », surMathWorld

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