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Enmathématiques, plus précisément entopologie, latopologie discrète sur unensemble est une structure d'espace topologique où, de façon intuitive, tous les points sont « isolés » les uns des autres. Dit autrement, au plus près de chaque point, il n'y a pas d'autres points.

SoitX un ensemble. L'ensemble des parties deX définit une topologie surX appelée topologie discrète.X muni de cette topologie est alors appeléespace discret. Dit autrement, tout sous-ensemble deX est un ouvert.

On dit qu'une partieA d'un espace topologiqueX est unensemble discret lorsque latopologie induite surA est la topologie discrète.

La topologie discrète est la topologie possédant le plus d'ouverts qu'il soit possible de définir sur un ensembleX, en d'autres termes la topologie laplus fine possible. En ce sens, c'est l'opposé de latopologie grossière.

Parmi les autres propriétés d'un espace topologique discretX :

• Toutsous-ensemble deX est unouvert-fermé ;
• Une application deX dans un espace topologique quelconque est toujourscontinue ;
• X estcomplètement métrisable, par exemple par ladistance discrète, i.e. la distanced définie par :d(x,y) = 1 six ≠ y, etd(x,x) = 0 ;
• En conséquence,X satisfait à tous lesaxiomes de séparation. En particulier,X estséparé ;
• SiX estprécompact pour l'une des distances induisant sa topologie (en particulier siX estcompact) alors il estfini ;
• Les singletons deX forment unebase de sa topologie ;
• Tout point deX admet unsystème fondamental de voisinagesdénombrable (et même : fini), doncX est « à bases dénombrables de voisinages » ;X està base dénombrable d'ouverts si et seulement s'il est dénombrable ;
• X esttotalement discontinu ;
• SiX n'est pas vide, il est « de deuxième catégorie », i.e. nonmaigre dans lui-même ;
• Unproduit fini d'espaces discrets est discret.

Les propriétés suivantes caractérisent les espaces discrets et les espaces finis discrets :

• Un espace topologiqueX est discret si et seulement si tous sessingletons sont ouverts ;
• Unespace topologique finiX est discret si et seulement s'il estséparé, auquel cas il est même compact.

Enfin :

• Deux espaces topologiques discretséquipotents sonthoméomorphes.

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Britannica

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