L’étude des entiers naturels est l’objet de l’arithmétique, branche des mathématiques dont l'origine remonte à l'Antiquité grecque. Chaque nombre entier a unsuccesseur unique, c'est-à-dire un entier qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers naturels estinfinie[n 1].
Les définitions modernes d’entier naturel sont fondées sur :
La définition originelle de l'ensemble des entiers naturels, due àRichard Dedekind[4], ne comprend pas le nombrezéro[n 2]. Plus récemment, une autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux définitions coexistent encore aujourd'hui[5]. Selon les acceptions, la liste des entiers naturels est donc :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11…
ou
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11…
Quelle que soit la définition choisie, (entiers commençant à zéro ou commençant à un), l'ensemble des entiers naturels est conventionnellement noté « » ou « », avec tous les risques induits de mésinterprétation. La notation est due àDedekind en 1888, qui l'utilise pour l'ensemble des entiers commençant à un.
Ainsi, dans les ouvrages qui incluent 0 dans les entiers naturels— c'est le cas dans la majorité des ouvrages scolaires en France —, on trouve les notations et
Tandis que, dans les ouvrages qui font commencer les entiers naturels à 1, on trouve la notation et l'ensemble est alors noté (whole numbers) ou (entiers relatifs positifs ou nuls) ou[réf. souhaitée].
On trouve aussi des notations moins ambiguës exposées dans la sectionNotations.
La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'auXVIIe siècle[6]) toute l'idée[n 3] denombre, est probablement issue de la notion de collection : le nombre entier est avant tout conçu comme un cardinal. Certains objets ou animaux, tout en étant distincts les uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur rassemblement constitue une collection, tel un troupeau de vaches, un collier de perles, un tas de pierres.
Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-à-dire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans répétition. Il prend consistance dans le constat que deux énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est utilisé pour indiquer une quantité.
Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il est départi de ce qu'il représente, c'est-à-dire lorsqu'il ne représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vaches : il y a là une première abstraction où chaque objet est considéré comme une unité pure et sans qualité. Ce processus mental est connu sous le nom d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet pour s'intéresser uniquement à la quantité. Une seconde abstraction mène alors à la considération de ces unités comme une collection d'unités[n 4].
Euclide donne au Livre VII desÉléments la définition suivante : « L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel) comme « collection d'unités[n 5] ».
Représentation des premiers entiers naturels non nuls par des collections de points.
La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une langue à l'autre, même si elle se fonde en général sur quelques méthodes simples.
Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec les autres. En français, il s'agit des entiers deun àdix (les noms des entiers deonze àseize sont en fait des déformations de noms composés). Certaines langues n'ont pas de mot spécifique au-delà dedeux[7].
L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition (comme dansdix-sept) ou de la multiplication (comme dansquatre-vingts) des entiers correspondants[8]. D'autres procédés existent utilisant la soustraction, la division ou laprotraction.
Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique, en général certainespuissances d'unebase particulière. Labase dix est la plus répandue aujourd'hui, mais la désignation des entiers en français par exemple conserve la trace d'un usage partiel de labase vingt[8]. Des conventions internationales contradictoires proposent des désignations standardisées pour les cent premières puissances de mille ou du million.
L'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des civilisations. Dans tous les cas, elle utilise un nombre limité dechiffres, symbolisant chacun un entier naturel, et des règles de composition permettant de créer, à partir de ces chiffres, les symboles écrits représentant d'autres entiers.
Les entiers de 1 à 12 représentés en chiffres romains : ils sont tous construits à partir des chiffres 1 (I), 5 (V) et 10 (X).
L'évolution des chiffres indiens puis arabes jusqu'à leur forme contemporaine.
Chiffres chinois représentant notamment les entiers de 0 à 10.
Le système aujourd'hui le plus répandu est celui de lanotation décimale positionnelle : il utilise dix chiffres, dits "arabes" et notés (0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9)[n 6], et, comme chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de multiples de puissances de dix de façon que chaque coefficient multiplicateur soit strictement inférieur à dix, l'écriture de tout nombre entier supérieur à 9 se fait en accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des puissances de 10 correspondantes.
La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de cailloux ou d'autres symboles concrets[n 7], d'abord pour symboliser une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des symboles (un coquillage dénotant par exemple dix cailloux).
Lanotation positionnelle a permis de différencier les valeurs des symboles en fonction de leur position et non plus leur nature, ce qui s'est traduit par le développement de l'abaque et duboulier. Ce principe est toujours en vigueur dans lescalculatrices etordinateurs.
L'arithmétique élémentaire considère que le concept d'entier et ceux d'addition comme de multiplication sont admis[13]. Plusieurs de leurs propriétés sont également admises, comme celles illustrées par les exemples ci-dessous :
et (en langage mathématique moderne : l'addition estcommutative, ainsi que la multiplication)
(en langage mathématique moderne : l'addition estassociative)
(en langage mathématique moderne : la multiplication estdistributive par rapport à l'addition)
De l'addition est déduite la soustraction, et de la multiplication ladivision euclidienne.
Animation illustrant le plus petit des triplets pythagoriciens (3, 4, 5).
Les raisonnements des mathématiciens antiques, souvent appuyés sur la géométrie[14], et ceux de leurs successeurs, permettent d'énoncer un très grand nombre de propriétés des nombres entiers, dont certaines sont indiquées ci-dessous :
infinité d'entiers : il existe un nombre infini d'entiers ;
nombres premiers : il existe une infinité d'entiers, appelés nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes[15] ;
En représentant chaque entier par une collection d'objets (des cailloux ou des jetons par exemple), l'opération d'addition correspond à réunir deux collections, tandis que lasoustraction revient à retirer une collection d'une autre, ce qui montre l'impossibilité de soustraire (dans les entiers naturels[n 8]) un nombre à un autre strictement plus petit.
Lamultiplication de deux entiers naturels correspond au remplissage d'unrectangle dont deux côtés adjacents représentent chacun l'un des facteurs. Cette correspondance met en évidence la relation qui existe, pour les nombres entiers naturels, entre addition et multiplication[n 9]. Par exemple , multiplier 2 par 3 est équivalent à additionner 2 deux fois avec lui-même :.
Ladivision euclidienne d'un entier (appelédividende) par un autre (appelédiviseur et nécessairement non nul) est illustrée par le rangement de la collection représentant le dividende en un rectangle dont un côté représente le diviseur. Le nombre de rangées complètes représente alors lequotient tandis que l'éventuelle rangée incomplète représente lereste, nécessairement strictement inférieur au diviseur.
Étant donné un entier naturel non nul, l’ensemble de sesmultiples estinfini mais régulièrement réparti et facile à décrire par unesuite arithmétique. Par exemple, les multiples de 2 sont les nombrespairs, qui sont alternés avec les nombres impairs parmi tous les entiers.
Au contraire, l’ensemble desdiviseurs d’un entier non nul est toujoursfini et sa répartition n’a pas du tout le même genre de régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans unebase donnée.
Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans un système denumération positionnelle décimale, plusieurscritères de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour 2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à cette question.
Depuis la fin duXIXe siècle, plusieurs mathématiciens se sont intéressés à la définition formelle des entiers, de leur ensemble, de certaines de leurs propriétés, et à la notation correspondante.
Quelle que soit la manière d’introduire les entiers naturels, l’existence d’un ensemble les contenant tous, repose sur une forme ou une autre de l’axiome de l’infini.
Si les entiers naturels sont introduits avant la théorie des ensembles, celle-ci étant construite comme une extension de l’arithmétique, l’axiome de l’infini sous sa forme la plus simple énonce :il existe au moins un ensemble (infini) contenant tous les entiers naturels[16]. D’où l’existence de l’ensemble des entiers naturels par application de l’axiome de compréhension.
Si les entiers naturels sont introduits comme les cardinaux finis, l’existence peut être démontrée à partir de l’axiome :il existe au moins un ensemble infini[17]. On montre que tout cardinal fini est inférieur au cardinal d’un ensemble infini. Par ailleurs leschéma d'axiomes de remplacement permet de montrer que pour tout cardinal, il existe un ensemble des cardinaux qui lui sont inférieurs. L’ensemble des cardinaux inférieurs au cardinal d’un ensemble infini contient donc tous les entiers naturels.
Si les entiers naturels sont introduits par la méthode de Von Neumann, l’existence résulte directement de l’axiome de l’infini sous la forme :Il existe un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et qui est clos par application du successeur x ↦x ∪ {x} . L’ensemble des entiers naturels est alors l’intersection de tous les ensembles vérifiant cette propriété.
Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non zéro.
En 1894,Giuseppe Peano utilise les notations « N » pour « nombre entier strictement positif » et « N0 » pour « nombre entier positif ou nul » dans sesNotations de logique mathématique[18] qui servent d'introduction à son grand projet de formalisation des mathématiques, leFormulaire de mathématiques[19]. Il l'utilise commeprédicat une notion très proche de celle d'ensemble. Ainsi Peano écrit « x ε N » (qu'on écrit aujourd'hui « ») ce qui pour lui se lit « x est un nombre entier strictement positif ».
La notation historique de l'ensemble des entiers naturels en imprimerie devient « N », lettre capitale grasse. En écriture manuscrite (et particulièrement autableau noir), ce caractère a été distingué de la lettre « N » utilisée pour d'autres usages par le doublement de la première barre verticale, ou de la barre oblique, « ». Ce dernier choix a été adopté pour la policegras de tableau noir. L'édition mathématique moderne utilise maintenant les caractères « doublés », mais l'usage du gras typographique perdure également.
Cette idée consiste à définir chaque entiern comme lerassemblement de tous les ensembles ayantn éléments.
Cette très séduisante définition se heurte auparadoxe de Russell si l'on souhaite, en vue d'un monisme ontologique, qu'un telrassemblement soit, aussi, un ensemble.
Ceci car, sauf pour l'entier 0, identifié à l'ensemble contenant uniquement l'ensemble vide, pour tout autre entiern le rassemblement des ensembles ayantn éléments est uneclasse propre et donc n'est pas un ensemble.
La définition de Frege conduit donc à une impasse[20]. Pour en sortir, les mathématiciens ont cherché à définir un représentant dans chaque classe de bijectabilité, appelé cardinal de chacun des éléments de la classe. Cela peut être réalisé par le τ deHilbert[17] ou par un axiome adéquat garantissant la possibilité du choix d’un tel représentant dans chaque classe de bijectabilité[21]. Un cardinal a est dit fini s’il est différent de a + 1. Les entiers naturels sont définis comme les cardinaux finis.
0 = Card (∅)
1 = Card ({a})
2 = Card ({a, b})
Théorie des ensembles et construction par les ordinaux
Les entiers naturels peuvent être définis comme desordinaux, c'est-à-dire, par la méthode devon Neumann, comme des ensemblesbien ordonnés tous comparables parinclusion. Les entiers naturels sont les ordinaux finis, ceux dont l'ordre réciproque est aussi un bon ordre, ou encore les ordinauxsuccesseurs dont tous les minorants sont aussi des ordinaux successeurs.
Le plus petitordinal infini est laborne supérieure de tous les ordinaux finis, qui sont les entiers naturels. Il a été introduit parGeorg Cantor qui l'a noté ω (lettre minuscule grecqueoméga) ou ω0[22].John von Neumann a montré que les ordinaux pouvaient être définis de façon à identifier un ordinal à l'ensemble de ses minorants stricts, et l'ordinal ω s'identifie alors à l'ensemble des entiers naturels (un entier naturel étant lui-même identifié à l'ensemble des entiers naturels qui lui sont strictement inférieurs). Enthéorie des ensembles, la lettre ω est donc aussi utilisée pour désigner l'ensemble des entiers naturels. L'axiome de l'infini permet de montrer l'existence de cet ensemble.
Unensemble dénombrable est un ensemble qui a même cardinal que l'ensemble des entiers naturels (on précise parfois « infini dénombrable », dénombrable pouvant aussi signifier « fini ou de même cardinal que »). Lecardinal dudénombrable, celui de, est le plus petit cardinal infini, il est noté ℵ0,aleph-zéro.
Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci ont les mêmes propriétés fondamentales à partir desquelles on développe l'arithmétique.Richard Dedekind etGiuseppe Peano en ont proposé indépendamment des axiomatisations qui étaient essentiellement équivalentes[23]. Il s'agissait d'axiomatisation que l'on dit parfois aujourd'hui du second ordre : la notion d'ensemble (ou deprédicat) est supposée connue et n'est pas prise en compte par l'axiomatisation. Voici une présentation moderne de cesaxiomes (ditsaxiomes de Peano)[24] :
L'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel[n 10] ;
Tout entier natureln a un unique successeur, souvent notés(n) ouS n (ou autres variantes) ;
Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur ;
Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux ;
Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à.
Le premier axiome permet de poser que l'ensemble des entiers naturels n'est pasvide, le second que le successeur est unefonction, le quatrième que cette fonction estinjective, le troisième qu'il possède un premier élément (ces deux axiomes assurent que l'ensemble des entiers naturels est infini). Le cinquième est une formulation duprincipe de récurrence.
Une propriété importante, démontrée parRichard Dedekind à partir de ces axiomes, est le principe dedéfinition par récurrence. Il permet par exemple de définir les opérations usuelles.
Opérations et relations d'ordre dans l'ensemble des entiers naturels
L'ensemble des entiers naturels peut être doté d'opérations d'addition et de multiplicationassociatives,commutatives, munies deneutres et satisfaisant une propriété dedistributivité : l'ensemble des entiers naturels est donc unsemi-anneau. On peut démontrer que l'opération "addition" est entièrement définie par les axiomes de Peano, ainsi que l'opération "multiplication"[25]: elles sont donc uniques[n 11].
Il estordonné pour la relation d'ordre usuelle induite par l'addition, qui lui donne une structure debon ordre, c'est-à-dire que toute partie non vide admet un plus petit élément. Cette propriété est à la base duraisonnement par récurrence[24].
Certains historiens des mathématiques considèrent que les avancées réalisées à cette époque grâce à l'étude des entiers et leur axiomisation sont à la base d'une très grande partie des mathématiques, affirmant même qu'à partir du milieu des années 1800 "les entiers sont devenus le fondement de toutes lesmathématiques classiques"[28] . Le présent chapitre donne, à titre d'exemples des conséquences que les mathématiciens ont tirées de l'étude des entiers, la construction progressive, à partir des entiers, de tous les nombres.
Représentation sur une droite des entiers relatifs de -4 à +10.
En partant des entiers naturels, les mathématiciens ont pu formellement définir lesentiers relatifs et construire leurensemble, communément appelé. L'origine de cette construction serait la volonté de définir des nombres tels que, pour tous et donnés, on puisse trouver tel que, ce qui est impossible avec des entiers naturels si . Lesnombres négatifs ont été utilisés dès l'Antiquité en Asie[n 13], mais il leur a fallu longtemps pour être admis en Occident[29] : introduits par la géométrie, leur définition formelle date duXIXe siècle[28]. Les nombres relatifs sont alors définis à partir de couples d'entiers naturels et d'unerelation d'équivalence. Quant à l'addition comme la multiplication, elles sont déduites de celles définies pour les entiers naturels. L'ensemble peut être considéré comme constitué de la réunion de l'ensemble des entiers naturels[n 14],, et de celui de leurs opposés.
Les mathématiciens de la Grèce antique savaient déjà que laracine carrée de, qui sera notée, ne pouvait être représentée ni calculée par le rapport de deux entiers[30]. Et, vers 1760, il est démontré que lenombreπ ne peut pas l'être non plus. De tels nombres sont dénommés "irrationnels". C'est vers la fin des années 1860 que sont formellement définis les nombres réels, rationnels comme irrationnels, et l'ensemble qu'ils constituent. Deux méthodes ont été utilisées[31] : lacoupure de Dedekind appliquée à l'ensemble des nombres rationnels, et une construction à partir dessuites de Cauchy. Et, à partir de couples de nombres réels, les mathématiciens définissent lesnombres complexes, dont l'ensemble est communément désigné par.
↑Georg Cantor est le premier mathématicien à avoir étudié les différents infinis, il s'est appuyé sur l'ensemble ordonné des entiers naturels pour définir une première base d'infini et ensuite mieux découvrir les autres ensembles infinis.
↑Sous l'entrée « nombre », le Lexis (1975) définit un « nombre naturel » comme« chacun des entiers de la suite 1,2,3, etc. », et lePetit Robert (1977) donne« À l'origine, et dans le cas le plus simple des nombres naturels (1,2,3,4…)[…] » ; l'Académie française, dans la neuvième édition de son dictionnaire, sous l'entrée « entier », définit un « nombre entier naturel » comme un« nombre entier positif » et, sous l'entrée « positif », précise qu'un « nombre positif » est« supérieur à zéro ».
↑Une partie de l'explication mathématique formelle de cette relation apparemment étonnante est donnée dans les parties de cet article dédiées aux axiomes de Peano et aux conséquences qu'ils ont sur la définition des opérations addition et multiplication dans l'ensemble des entiers naturels.
↑Peano utilise en fait 1 (un), ce qui correspond aux usages de l'époque mais ne change rien fondamentalement
↑La démonstration de cette unicité fait aussi apparaitre une relation entre l'élément neutre de l'addition z et l'élément neutre de la multiplication u : si on note s la fonction "successeur" dans l'ensemble des entiers, alors s(z) = u. Ce qui veut dire que l'entier immédiatement supérieur à "0", usuellement noté "1", est aussi l'entier neutre de la multiplication.
↑Un sujet, en particulier, résistait jusqu'alors aux mathématiciens : comment concilier le caractère discret des nombres entiers avec les notions de continuité maniées par l'algèbre et de grandeurs, elles aussi continues, utilisées par la géométrie.
↑L'utilisation de tels nombres négatifs n'était pas appuyée sur des définitions formelles, mais sur des considérations pratiques. Par exemple une dette pouvait être associée à un nombre négatif.
Peter J. Bentley,Livre des nombres, leur histoire et leurs secrets, des origines à nos jours, Eyrolles, Paris, 2009, 272 pages,(ISBN978-2-212-54226-4). Traduction par Anne-Marie Terel et Laurence Nicolaïeff du livreThe Book of Numbers, Cassel Illustrated, London, 2008.
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