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Dimension (physique)

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Enphysique, ladimension d'unegrandeur physique est une propriété qui la relie aux grandeurs de base d'unsystème de grandeurs choisi. Dans un système de grandeurs donné, une grandeur physique peut être mesurée à l'aide de multiplesunités, mais sa dimension est unique. Certaines grandeurs sont dedimension 1, comme l'indice de réfraction, l'indice adiabatique d'un gaz ou laconstante de structure fine. Elles sont ditessans dimension ouadimensionelles.

La manipulation des dimensions au moyen de l'analyse dimensionnelle permet de contrôler la cohérence des formules physiques, en vérifiant le principe d'homogénéité. Elle permet aussi, notamment endynamique des fluides, de rassembler les différentes grandeurs influençant unsystème physique en nombres sans dimension qui caractérisent fondamentalement son comportement.

Définition

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LeVocabulaire international de métrologie (VIM) définit comme suit la dimension d'une grandeur^[1] :

« Expression de la dépendance d'une grandeur par rapport aux grandeurs de base d'un système de grandeurs sous la forme d'unproduit depuissances defacteurs correspondant aux grandeurs de base, en omettant tout facteur numérique. »

La dimension d'une grandeur ne tient pas compte de son caractèrescalaire,vectoriel outensoriel^[2]. Elle consiste en un produit dit« produit de dimensions »^[3], dans lequel chaque facteur est la dimension d'une grandeur de base^[4] mise à unepuissance rationnelle^[4] appelée« exposant dimensionnel »^[3]^,^[5]. Par exemple, la dimension d'une force dans le système international est : ${\text{dim}}(F)={\mathsf {L}}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}$ , où les trois symboles de droite désignent respectivement la dimension de lalongueur, de lamasse et dutemps.

Toutsystème de grandeurs se fonde sur des grandeurs dites« de base »^[6]^,^{[N 1]}. Par exemple, le système de grandeurs sur lequel s'appuie leSystème international (SI) se fonde sur sept grandeurs de base, indépendantes entre elles au sens où aucune équation physique ne permet d'exprimer une de ces grandeurs en fonction des autres. Leurs dimensions sont les dimensions de base du système. Les autres grandeurs sont dites « grandeurs dérivées », leurs dimensions pouvant toujours s'exprimer par combinaison des dimensions de base.

Dimension et nature d'une grandeur

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La dimension d'une grandeur est reliée à sa nature : dans un système de grandeurs donné, d'une part, les grandeurs de même nature ont toujours la même dimension^[8]^,^[9] et, par contraposée, des grandeurs de dimensions différentes sont toujours de nature différente^[8] ; mais des grandeurs de même dimension ne sont pas nécessairement de même nature^[8]^,^[9]^,^{[N 2]}.

Grandeurs de base

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LeBureau international des poids et mesures a choisi comme grandeurs de base pour leSystème international d'unités (SI) :

lalongueur, dont la dimension est de symbole ${\mathsf {L}}$ ;
lamasse, dont la dimension est de symbole ${\mathsf {M}}$ ;
letemps, dont la dimension est de symbole ${\mathsf {T}}$ ;
lecourant électrique, dont la dimension est de symbole ${\mathsf {I}}$ ;
latempérature thermodynamique, dont la dimension est de symbole $\Theta$ ;
laquantité de matière, dont la dimension est de symbole ${\mathsf {N}}$ ;
l'intensité lumineuse, dont la dimension est de symbole ${\mathsf {J}}$ .

Le choix de ces grandeurs de base est arbitraire. L'union internationale de chimie pure et appliquée écrit dans la3^e édition deQuantities, Units and Symbols in Physical Chemistry :

« Le nombre et le choix des grandeurs de base est purement arbitraire. D'autres quantités pourraient être considérées plus fondamentales, comme la charge électrique $Q {\displaystyle Q}$ au lieu du courant électrique $I {\displaystyle I}$ [11]^,^{[N 3]}. »

D'autres systèmes de grandeurs, historiques ou actuels, ont fait d'autres choix. Par exemple dans lessystèmes CGS, il n'y a pas de grandeur de base associée aux phénomènes électromagnétiques. La dimension du courant électrique est ${\text{dim}}(I)={\mathsf {M}}^{1/2}{\mathsf {L}}^{1/2}{\mathsf {T}}^{-1}$ dans le système CGS électromagnétique, ou encore ${\text{dim}}(I)={\mathsf {M}}^{1/2}{\mathsf {L}}^{3/2}{\mathsf {T}}^{-2}$ dans le système CGS électrostatique. Autre exemple, l'ancien systèmeEnglish Engineering Units (en) compte parmi ses grandeurs de base à la fois la durée, la longueur, la masse et la force.

Grandeurs dérivées

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On obtient la dimension d'une grandeur dérivée à partir d'une relation entre cette grandeur et d'autres grandeurs dont les dimensions sont connues. Par exemple, dans le cas d'une vitesse, on peut exploiter $v=d/t$ avec $d {\displaystyle d}$ une distance et $t {\displaystyle t}$ une durée : on en déduit ${\text{dim}}(v)={\mathsf {LT^{-1}}}$ . En connaissant la dimension d'une vitesse, on peut utiliser pour une force la seconde loi de Newton ${\vec {F}}=m{\operatorname {d} \!{\vec {v}} \over \operatorname {d} \!t}$ , et obtenir ${\text{dim}}({\vec {F}})={\mathsf {MLT^{-2}}}$ .

Par exemple, les dimensions de quelques grandeurs dérivées sont :

Accélération : ${\text{dim}}({\vec {a}})={\mathsf {LT^{-2}}}$ ;
Énergie : ${\text{dim}}(E)={\mathsf {ML^{2}T^{-2}}}$ ;
Capacité thermique : ${\text{dim}}(C)={\mathsf {ML^{2}T^{-2}\Theta ^{-1}}}$ ;
Champ magnétique : ${\text{dim}}({\vec {B}})={\mathsf {MT^{-2}I^{-1}}}$ ;
Champ électrique : ${\text{dim}}({\vec {E}})={\mathsf {MLT^{-3}I^{-1}}}$ .

Histoire

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La notion moderne de dimension d'une grandeur apparaît avec le mathématicien et physicien françaisJoseph Fourier^[12] et saThéorie analytique de la chaleur^[13] parue en 1822^[12]^,^[13]. Il assimile à l'origine les dimensions aux valeurs numériques que prennent les exposants dimensionnels. Pour lui, par exemple, l'accélération est donc de dimension 1 en longueur, et de dimension -2 en temps.

PourJames Clerk Maxwell, la dimension de l'accélération est toute l'expression ${\mathsf {L}}{\mathsf {T}}^{-2}$ , et non la série des exposants^[14] : c'est cette terminologie qui est utilisée aujourd'hui.

Notes et références

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Notes

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↑On les nomme parfois« primaires »^[7] ou« fondamentales »^[7]^,^[6]. Le vocabulaire retenu par leBureau international des poids et mesures est« de base »^[1].
↑Par exemple, les grandeursmoment d'une force eténergie ne sont pas considérées, par convention, comme étant de même nature, bien qu'elles aient la même dimension^[10] ; il en est de même, pour lacapacité thermique et l'entropie^[10].
↑Citation originale :« The number and choice of base quantities is pure convention. Other quantities could be considered to be more fundamental, such as electric charge Q instead of electric current I ».