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Dilatation thermique

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Pour les articles homonymes, voirdilatation.

Joint de dilatation d'un pont routier, utilisé pour éviter les dommages dus à la dilatation thermique.

Ladilatation thermique est l'expansion àpression constante duvolume d'un corps occasionné par son réchauffement, généralement imperceptible. Dans le cas d'ungaz, il y a dilatation à pression constante ou maintien du volume et augmentation de la pression lorsque latempérature augmente. À l'opposé de la dilatation, un refroidissement provoque unecontraction thermique.

Origine de la dilatation thermique

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Dans unsolide, les atomes possèdent uneénergie thermique et vibrent autour de leur position moyenne. Cette vibration dépend de la température mais aussi du voisinage des atomes, plus précisément dupotentiel interatomique créé par les atomes environnants.

À basse température, les potentiels interatomiques peuvent être décrits de façonharmonique : pour des températures proches de T = 0 K, les atomes restent centrés sur leur position moyenner₀. Ce n'est plus le cas pour des températures élevées : l'anharmonicité des potentiels interatomiques introduit une dépendance de la position moyenne des atomes avec la température, ce qui cause le phénomène de dilatation thermique.

Lorsqu'ungaz est soumis à un réchauffement, laquantité de mouvement des particules qui le composent augmente. À volume constant, cela se traduit par une augmentation de la pression, car le nombre de chocs entre particules par unité de surface et de temps augmente. Si la pression doit rester constante, le volume du gaz doit alors augmenter, selon la loi desgaz parfaits. Pour les gaz non parfaits, les forces d'attraction entre les particules du gaz peuvent réduire l'expansion thermique.

La dilatation thermique desliquides a en principe les mêmes causes que celle des gaz, mais l'effet des forces d'attraction entre les particules sur la dilatation est nettement augmenté, car elles sont plus proches les unes des autres.

Définition thermodynamique

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L'énergie interne $U {\displaystyle U}$ d'un système est unefonction d'état qui dépend de la pression $p {\displaystyle p}$ , du volume $V {\displaystyle V}$ et de la température $T {\displaystyle T}$ :

U=f(p,V,T)

Comme ces trois variables sont reliées par l'équation d'état du système, il est possible par exemple d'exprimer une variation infinitésimale de l'énergie interne $U {\displaystyle U}$ d'un système en fonction des variations infinitésimales du volume et de la température :

\mathrm {d} U=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\mathrm {d} V

Le premier terme de la somme contient le changement de l'énergie interne en fonction de la température à volume constant, lacapacité thermique isochore $C_{V}$ . Si le changement de température a lieu à pression constante, on obtient :

\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{p}=C_{V}(T)+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=C_{V}(T)+\beta V\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}

Le terme $\beta$ est le coefficient de dilatation thermique isobare du système (coefficient de dilatation volumique), il décrit le changement de volume à pression constante en fonction de la température :

\beta ={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}

Notons que pour un gaz parfait, on a :

\beta ={\frac {1}{T}}

Le coefficient de dilatation volumique $\beta$ est relié dans les matériauxisotropes de façon simple au coefficient de dilatation linéaire $\alpha$ :

\beta =3\;\alpha

En effet, une variation de longueur infinitésimale $\mathrm {d} L=\alpha \;L\mathrm {d} T$ d'un cube dans les trois directions de l'espace conduit à une variation de volume

\beta V\;\mathrm {d} T=3L^{2}\;\mathrm {d} L+3\;L(\mathrm {d} L)^{2}+(\mathrm {d} L)^{3}

où les deux derniers termes sont négligeables. On obtient ainsi $\beta =3\;\alpha$ .

Dans la pratique, les coefficients de dilatation thermique $\alpha$ et $\beta$ sont souvent exprimés en fonction d'une valeur de référence pour une température déterminée $T_{0}$ :

\beta ={\frac {1}{V_{0}}}{\frac {\Delta V}{\Delta T}}

\alpha ={\frac {1}{L_{0}}}{\frac {\Delta L}{\Delta T}}

Cette formule est valable dans les cas où la variation de la longueur dépend linéairement de la variation de la température, mais pas pour de grands intervalles de température ou si le matériau subit unetransition de phase dans l'intervalle considéré. De manière générale, la dépendance en température du coefficient de dilatation thermique volumique $\beta$ est exprimée par la relation de Grüneisen

{\frac {\beta }{\chi _{T}C_{V}\rho }}=\gamma \simeq {\mbox{constante}}

où $\chi _{T}$ est lacompressibilité isotherme du matériau, $C_{V}$ sa capacité thermique isochore, $\rho$ sadensité et $\gamma$ leparamètre de Grüneisen. Comme $\chi _{T}$ et $\rho$ sont en première approximation indépendants de la température, les variations thermiques de $C_{V}$ compensent celles de $\beta$ .

Coefficients de dilatation thermique linéaire α

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Article connexe :Coefficient de dilatation.

Cas isotrope

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On peut calculer pour tous lesmatériaux isotropes la variation de longueur et donc de volume en fonction de la variation de température :

\Delta L=\alpha \;L_{0}\;\Delta T

avec :

$\Delta L$ la variation de longueur en mètres (m) ;
$\alpha$ le coefficient de dilatation linéaire en kelvins puissance moins un (K⁻¹) ;
$L_{0}$ la longueur initiale en mètres (m) ;
$\Delta T=T-T_{0}$ la variation de température en kelvins (K) ou en degrés Celsius (°C).

Remarque : puisqu'on utilise une variation (une différence de température) la différence d'origine entre kelvin et degré Celsius s'annule, la distinction n'est donc pas nécessaire.

On peut aussi directement calculer la longueur en fonction de la température :

L(T)=L_{0}+\Delta L=L_{0}\;(1+\alpha \;(T-T_{0}))

avec :

$L(T)$ la longueur en mètres (m) en fonction de la température ;
$T {\displaystyle T}$ la température considérée en kelvins (K) ou en degrés Celsius (°C) ;
$T_{0}$ la température initiale en kelvins (K) ou en degrés Celsius (°C).

Application

Soit un rail en acier de 30 m en hiver à−20 °C ; en été, la température est de40 °C.Le rail subit donc une variation de température ΔT =60 °C, sa variation de longueur est :

\Delta L=\alpha _{\mathrm {acier} }\cdot L_{0}\cdot \Delta T=12\times 10^{-6}\times 30\times 60=2{,}16\times 10^{-2}\ \mathrm {m}

Ainsi le rail s'allonge de 21,6 mm, sa longueur en été est de 30,021 6 m.

Tenseur de dilatation thermique

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Les matériauxcristallins noncubiques présentent une dilatation thermiqueanisotrope : on n'observe pas le même coefficient de dilatation α dans toutes les directions. Pour cette raison, on utilise untenseur symétrique d'ordre 2 pour décrire la dilatation dans les matériaux anisotropes^[1] :

{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{21}=\alpha _{12}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{31}=\alpha _{13}&\alpha _{32}=\alpha _{23}&\alpha _{33}\end{bmatrix}}

Ainsi, dans le cas général d'un matériautriclinique, six coefficients de dilatation thermique sont nécessaires. Ces coefficients se rapportant à un repère orthogonal, les coefficients de dilatation n'ont pas forcément de rapport direct avec les axes cristallographiques du matériau. En effet, lesvaleurs propres et vecteurs propres d'un tenseur d'ordre 2 forment toujours (dans le cas où les valeurs propres sont positives) une ellipsoïde de révolution, dont les axes sont perpendiculaires les uns aux autres : on dit qu'un tenseur d'ordre 2 possède toujoursau moins lasymétrie ponctuelle orthorhombique maximale 2/m 2/m 2/m.

Pour un cristalorthorhombique par exemple, où α₁₂ = α₁₃ = α₂₃ = 0, le tenseur de dilatation est diagonal et α₁₁, α₂₂ et α₃₃ décrivent la dilatation le long des trois directions cristallographiquesa,b etc du matériau. Par contre, dans le systèmemonoclinique, α₁₃ est non nul : alors que α₂₂ représente la dilatation thermique le long deb, la relation entre α₁₁, α₃₃, α₁₃ et les paramètres demaillea,c,β n'est pas aussi triviale. Par convention, le repère orthogonal (e₁,e₂,e₃) choisi pour décrire la dilatation thermique dans les matériaux monocliniques est tel quee₂ est parallèle au vecteurb, axe de symétrie du cristal,e₃ est parallèle àc ete₁ est parallèle au vecteur duréseau réciproquea*, qui forme par définition untrièdre direct avecb etc : α₃₃ représente la dilatation thermique le long dec, alors que α₁₁ représente la dilatation le long du vecteur réciproquea* qui est différent dea.

Dans le cas général triclinique, il est possible de calculer les coefficients du tenseur de dilatation thermique à partir des variations en température des paramètres de maille^[2]. Dans le repère conventionnel orthogonal (e₁,e₂,e₃), défini pare₃ parallèle àc,e₂ parallèle àb* ete₁ étant leproduit vectoriel dee₂ ete₃, on obtient :

{\begin{array}{rcl}\alpha _{11}&=&\displaystyle {{\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} T}}\cot {\beta }}\\[3ex]\alpha _{22}&=&\displaystyle {{\frac {1}{b}}{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} T}}\cot {\alpha }+{\frac {\mathrm {d} \gamma ^{*}}{\mathrm {d} T}}\cot {\gamma ^{*}}}\\[3ex]\alpha _{33}&=&\displaystyle {{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} T}}}\\[3ex]\alpha _{12}&=&\displaystyle {{\frac {1}{2}}\cot {\gamma ^{*}}\left({\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} T}}-{\frac {1}{b}}{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} T}}-{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} T}}\cot {\alpha }+{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} T}}\cot {\beta }\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} \gamma ^{*}}{\mathrm {d} T}}}\\[3ex]\alpha _{13}&=&\displaystyle {{\frac {1}{2}}\cot {\beta }\left({\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} T}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} T}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} T}}}\\[3ex]\alpha _{23}&=&\displaystyle {{\frac {1}{2}}\left\{\left({\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} T}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} T}}\right)\cot {\gamma ^{*}}\cot {\beta }+\left({\frac {1}{b}}{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} T}}-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} T}}\right){\frac {\cot {\alpha }}{\sin {\gamma ^{*}}}}-\left({\frac {1}{\sin {\gamma ^{*}}}}{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} T}}+{\frac {\mathrm {d} \beta }{\mathrm {d} T}}\cot {\gamma ^{*}}\right)\right\}}\end{array}}

où $a {\displaystyle a}$ , $b {\displaystyle b}$ , $c {\displaystyle c}$ , $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ sont les paramètres de maille du cristal dans le réseau direct et $\gamma ^{*}$ est l'angle entre les vecteursa* etb* du réseau réciproque.

Lesvaleurs propres du tenseur de dilatation thermique, ou coefficients de dilatation linéaires principaux $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ et $\alpha _{3}$ , permettent aussi d'obtenir le coefficient de dilatation volumique $\beta$ vu plus haut,trace du tenseur : $\beta =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=\alpha _{11}+\alpha _{22}+\alpha _{33}$ , puisque latrace d'une matrice carrée est invariante par changement debase. Pour les matériaux isotropes, on retrouve ainsi le résultat $\beta =3\;\alpha$ .

Mesure des coefficients de dilatation linéaires

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Un dilatomètre permettant de mesurer la dilatation d'un liquide ou d'un solide selon la température.

Une méthode établie de mesure des coefficients de dilatation thermique est celle de ladilatométrie.

Dans le cas des matériaux cristallins, la dilatation thermique peut se mesurer de façon précise pardiffraction des rayons X. Une méthode couramment utilisée consiste à mesurer les paramètres de maille du cristal pour différentes températures et d'en déduire les coefficients de dilatation linéaires. Cependant, le calcul intermédiaire des paramètres de maille introduit des erreurs supplémentaires dans le calcul des coefficients et il est préférable de les obtenir à partir de la variation en température de l'angle de diffraction θ. Plusieurs programmes fournissent les composantes du tenseur de dilatation à partir des variations de θ^[3].

Coefficients de dilatation linéaires pour les principaux matériaux

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Coefficient de dilatation volumique isobare β d'un polypropylène semi-cristallin.

Coefficients de dilatation linéiques pour quelques aciers.

Les coefficients donnés ci-dessous constituent desordres de grandeur valables pour des températures comprises approximativement entre0 °C et100 °C. En réalité ces coefficients dépendent de la température, la loi d'allongement n'est donc pas linéaire pour des différences de température très élevées. À titre d'illustration, sont fournies ci-dessous :

la variation avec la température du coefficient volumique (le triple du coefficient linéaire) d'un polypropylène semi-cristallin pour plusieurs pressions ; le pic correspond à la fusion ;
la variation avec la température du coefficient linéaire à pression atmosphérique pour plusieurs nuances d'acier.

substances	coefficient de dilatation linéaire K⁻¹
acier	12,0 × 10⁻⁶
acier inoxydable	14 × 10⁻⁶ +/- 4 selon famille^[4]
aluminium	23 × 10⁻⁶
béton	12 × 10⁻⁶
bronze	17,5 × 10⁻⁶
constantan	15,2 × 10⁻⁶
cuivre	17 × 10⁻⁶
diamant	1 × 10⁻⁶[1]
fonte	10,5 × 10⁻⁶
invar (36 % Ni + 64 % Fe)	1,2 × 10⁻⁶
titane	8,6 × 10⁻⁶
laiton	18,5 × 10⁻⁶
maillechort	18,0 × 10⁻⁶

substances	coefficient de dilatation linéaire K⁻¹
nylon	30 × 10⁻⁶
polypropylène	150 × 10⁻⁶
porcelaine	4,0 × 10⁻⁶
quartz	0,5 × 10⁻⁶
rilsan	150 × 10⁻⁶
stéatite	8 × 10⁻⁶
verre sodo-calcique (verre ordinaire)	9 × 10⁻⁶[2]
verre borosilicate (Pyrex)	4 × 10⁻⁶
Zerodur	0,05 × 10⁻⁶

Coefficients d'expansion linéaire des éléments à25 °C (10⁻⁶ K⁻¹)[5] :

Li
46

Be
11,3

Na
71

Mg
24,8

Al
23,1

Si
2,49

K
83,3

Ca
22,3

Sc
10,2

Ti
8,6

V
8,4

Cr
4,9

Mn
21,7

Fe
11,8

Co
13

Ni
13,4

Cu
16,5

Zn
30,2

Ga
18

Ge
6,1

Sr
22,5

Y
10,6

Zr
5,7

Nb
7,3

Mo
4,8

Ru
6,4

Rh
8,2

Pd
11,8

Ag
18,9

Cd
30,8

In
32,1

Sn
22

Sb
11

Cs
97

Ba
20,6

Lu
9,9

Hf
5,9

Ta
6,3

W
4,5

Re
6,2

Os
5,1

Ir
6,4

Pt
8,8

Au
14,2

Hg
60,4

Tl
29,9

Pb
28,9

Bi
13,4

Po
23,5

↓

La
12,1

Ce
6,3

Pr
6,7

Nd
9,6

Pm
11

Sm
12,7

Eu
35

Gd
9,4

Tb
10,3

Dy
9,9

Ho
11,2

Er
12,2

Tm
13,3

Yb
26,3

Th
11

U
13,9

Pu
46,7

Anomalies

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Le cas le plus généralement connu d’anomalie dilatométrique est celui de l'eau, qui présente un comportement particulier dans sa phase liquide entre0 °C et +4 °C : lorsque la température augmente dans cet intervalle l'eau se contracte, son volume massique diminue, ce qui correspond à un coefficient de dilatation thermique négatif.Ce phénomène est couramment appelé le « paradoxe de l'eau ».

Cependant, d'autres matériaux possèdent un coefficient de dilatation thermique négatif :

le tungstate de zirconium, α-ZrW₂O₈, se contracte lorsque la température augmente entre -272,85 °C et777 °C, température à laquelle le matériau se décompose. Ce phénomène a aussi été observé pour d'autres membres de la famille AM₂O₈ (A = Zr ou Hf et M = Mo ou W)[6] ;
le germanate de cuivre et fer Cu₂Fe₂Ge₄O₁₃,monoclinique et constitué de chaînes d'octaèdres FeO₆ en zigzag le long de la directionb qui sont séparées dans la directiona par des dimères de carrés plans CuO₄, a un coefficient de dilatation thermique négatif le long dea entre−233,15 °C et−73,15 °C, alors que dans les autres directions le coefficient de dilatation thermique est positif. Cette contraction thermique à basse température est supposée être due à la répulsion magnétique entre les ions Cu²⁺ à l'intérieur des dimères [7] ;
le borate de strontium et de cuivre SrCu₂(BO₃)₂, quadratique et constitué de couches ondulées Cu₂(BO₃)₂ dans le plan (a,b) séparées le long dec par des atomes de strontium, possède un coefficient de dilatation thermique négatif dans la directionc entre76,85 °C et121,85 °C. Ce matériau subit une transition de phase structurelle du second ordre à121,85 °C : au-dessus de cette température les couches Cu₂(BO₃)₂ deviennent planes, nécessitant moins de place dans la direction perpendiculairec, ce qui explique le coefficient de dilatation thermique négatif [8] ;
lalibéthénite Cu₂PO₄(OH) se contracte dans la directionc lorsque la température augmente à partir de500 °C, signe précurseur de la déshydratation du matériau qui est complète à580 °C [9].

Ainsi, plusieurs causes peuvent être à l'origine d'un coefficient de dilatation thermique négatif. Une application potentielle des matériaux à coefficient de dilatation thermique négatif eningénierie est la mise au point de matériaux composites, mélanges de matériaux à coefficients α positifs et négatifs, qui auraient une dilatation thermique totale nulle.

Structure cristalline de ZrW₂O₈. Octaèdres ZrO₆ en vert, tétraèdres WO₄ en rouge.
Structure cristalline de Cu₂Fe₂Ge₄O₁₃. Marron :fer, orange :cuivre, jaune :germanium, bleu :oxygène.
SrCu₂(BO₃)₂ à−173,15 °C. Vert :strontium, rouge :cuivre, jaune :bore, bleu :oxygène.
SrCu₂(BO₃)₂ à249,85 °C. Vert :strontium, rouge :cuivre, jaune :bore, bleu :oxygène.

Problèmes dus à la dilatation

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La dilatation dessolides est compensée sur certaines structures par desjoints de dilatation. Par exemple dans le cas desponts, des « rainures » appeléesjoints de chaussée (ou par abus de langage simplement joints de dilatation) permettent de compenser les effets dus aux différences d'exposition ausoleil et d'échauffement de l'atmosphère, pouvant allonger de quelques centimètres un solide long de plusieurs dizaines de mètres. Sans l'espace laissé par ces joints de dilatation, le pont subirait des contraintes internes supplémentaires.

La dilatation d'unliquide est souvent négligeable par rapport à sonébullition, mais peut expliquer certains phénomènes, notamment avec des récipients rigides. Elle n'est pas la cause du débordement dulait que l'on chauffe trop, qui est un phénomène propre aux protéines bouillies.
La casse du verre chauffé ou refroidi brusquement s'explique par la dilatation. On parle dans ce cas dechoc thermique, dû à la différence de température entre les zones superficielles et le cœur de la pièce. La surface ayant refroidi plus vite, elle tente de se rétracter, mais le cœur, encore chaud et dilaté l'en empêche. Descontraintes de traction apparaissent alors, et occasionnent unerupture fragile.
Blocage de roue : si une roue est d'une matière différente de celle de son axe, elle pourra se bloquer à certaines températures si les tolérances mécaniques ont été mal calculées.