Le degré d'angle (ou d'arc), ou simplementdegré (symbole[note 1] : °), est uneunité d'angle, définie comme la trois-cent-soixantième partie d'un angle plein (1/360 tour)[1]. Un degré est équivalent àπ/180radians. Lorsque cet angle est en rapport avec un méridien de référence, il indique un emplacement le long d'ungrand cercle d'une sphère, comme laTerre (voirCoordonnées géographiques),Mars ou lasphère céleste[2]. Le rapport entre 365,25 (nombre de jours moyen de la rotation de la Terre autour duSoleil) et 360° (tour complet) permet d'établir l'approximation suivante : « La Terre tourne d'environ un degré autour du Soleil chaque jour ».
L'année cyclique babylonienne correspondait à un cercle de 360° (360 jours) pouvant être divisé en six parties de 60° (ici un des 6triangles équilatéraux).
Le degré, divisé enminutes et secondes qui sont des soixantièmes, vient desSumériens puis desBabyloniens, qui comptaient enbase 60 (sexagésimale) à l'instar des Chinois[3] qui, il y a plus de 4 700 ans selon lecalendrier chinois, utilisaient déjà 60 en fonction de leur astronomie et astrologie. Pour les Chinois, 60 correspond à un cycle temporel fondamental. Les mathématiciens persans ont poursuivi et mesuré les angles célestes et terrestres de la même manière. La mesure du temps de cette façon, directement issue des angles astronomiques, en a découlé.
Plusieurs explications ont été données sur l'origine du découpage en 360°.
Comme l'année durant laquelle laTerre fait le tour duSoleil dure 365 jours, chaque nuit les étoiles tournent d'une fraction de tour (1/365 environ) par rapport à l'axe. La mesure de temps n'étant pas nécessairement précise à ses débuts, le calendrier babylonien était basé sur une année de 360 jours répartis en 12 mois de 30 jours, comme le montre la tabletteMul Apin. Il est possible que le degré ait été défini comme la fraction d'angle de décalage entre le ciel d'une nuit et celui de la nuit suivante, à une même heure (cf.Cosmologie), les étoiles bougeant ainsi d'environ 30° entre deux lunes successives. Cette définition devait néanmoins être approximative à 1 ou 2 % près.
L'explication généralement répandue est que l’utilité originelle des 360° dusystème sexagésimal est de faciliter le calcul des fractions (et des multiplications). En effet, 360 étant le multiple de 1, 2, 3 et 5, il se divise par ces nombres ainsi que par leur multiples 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, etc., ce qui simplifie la plupart des calculs et des conversions.
n
2
3
4
5
6
15/2
8
9
10
45/4
12
15
18
360° /n
180
120
90
72
60
48
45
40
36
32
30
24
20
60' ou " /n
30
20
15
12
10
8
7.5
6.666
6
5.333
5
4
3.333
Autres fractions rationnelles
n
2/9
1/4
4/15
3/10
1/3
3/8
2/5
5/12
4/9
7/15
8/15
5/9
7/12
3/5
5/8
2/3
7/10
11/15
3/4
7/9
4/5
5/6
7/8
8/9
n.360°
80
90
96
108
120
135
144
150
160
168
192
200
210
216
225
240
252
264
270
280
288
300
315
320
Finalement, du fait que 360° égale 0°, on se retrouve à calculer enmodulo 360 lorsque l’on parle en degrés. On peut souvent opérer les calculs dans les modulos inférieurs que sont les multiplicateurs de 360. Au plus simple, sept demi-tours valent un demi-tour. En langage mathématique : 7 ≡ 1 (mod 2), sept est congru à un, modulo deux ; et 7 × 180° = 1260° ≡ 180° (mod 360°). En pratique, on se contente de dire« sept fois cent quatre-vingts degrés est égal à cent quatre-vingts degrés ». De même 120° + 270° = 390° ≡ 30° (mod 360°).
Mais la réalité sur l'origine des 360 degrés est vraisemblablement différente. La figure géométrique la plus simple qui soit n'est pas le cercle, mais le triangle équilatéral, avec ses trois côtés et ses trois angles égaux. Il semble que les Sumériens, pour définir le degré d'angle, aient pris l'angle du triangle équilatéral comme référence et qu'ils l'ont, en application de leur base sexagésimale, divisé en 60 degrés, puis le degré en 60 minutes d'angle, puis la minute en 60 secondes d'angle.
Le nombre 360 est donc le résultat de la multiplication de 3 phalanges × 4 doigts d'une main × 5 douzaines × 6 angles de référence pour un tour complet de cercle. Le fait qu'il y ait 360 degrés dans un cercle apparaît ainsi à la fois en raison du nombre important des diviseurs de 360 et comme résultat d'un calcul cohérent. Le triangle peut aussi évoquer l'astronomie dans l'Égypte antique par l'entremise de sonzodiaque de Dendérah ou des multiples tombes au plafond astronomique, notamment celui de la tombeTT353 deSénènmout qui savait qu'une journée compte 24 heures.
Le degré d’arc (symbole « ° ») est une unité pratique d’angle plan. Un degré vautπ/180radians, 10/9grades ou 160/9mils, soit 1/360 d’un tour complet.
Le degré d’arc permet de mesurer avec des entiers à la fois lesangles d'une étoile à cinq branches (36°) et ceux d'uneétoile à six branches (60°) — deux figures multimillénaires — ainsi que les angles qu'ils forment avec leurs intersections, et les angles formés par ajouts ou suppressions d'angles.
Même s'il ne s'agit pas d'une unité duSystème international (SI), sonusage est accepté avec lui. Lespréfixes du SI sont rarement appliqués aux symboles du degré d’arc et de ses subdivisions (uniquement à laseconde d’arc, en fait) ; ces symboles sont également les seuls à ne pas être séparés du nombre les précédant par uneespace : on écrit « 12° 30′ » et non « 12 ° 30 ′ ».
Un degré est subdivisé en 60 minutes d’arc (symbole « ′ »), elles-mêmes divisées en 60 secondes d’arc (symbole « ″ »).
1′ = 0,0166…°
1″ = 0,000 277…°
1‴ = 0,000 004629…°
1⁗ = 0,000 000 07716049382…°
On utilise aussi fréquemment la notation décimale : on note aussi bien « 12,5° » que « 12° 30′ », ou encore, « 48,59039° » que « 48° 35′ 25,4″ ». La préférence dépend ici de l'outil de calcul ou de mesure.
Lesfonctions trigonométriques sont indépendantes de l’unité angulaire choisie.Mais en analyse, les fonctions sont définies par les valeurs prises par les fonctions pour des variables exprimées en radians.[Information douteuse]
Pour un angle de mesured°, exprimée en degrés, on a doncsin(d°) = sin(d ×π/180), et de même pour les autresfonctions trigonométriques.
En astronomie ou en optique, on utilise l’approximation pour les faibles angles (inférieurs à 5°). Le sinus et la tangente d’un angle faible sont doncquasi égaux à sa valeuren radians[Information douteuse].
La minute vaut 1/60 degré, la seconde 1/60 minute d’arc ; il n’y a aucun lien dans la définition avec les minutes et secondes horaires du cadran des montres, si ce n'est l'utilisation dusystème sexagésimal.
Les autres unités homonymes « minute », « seconde » d’ascension droite ou d’astronomie sont des mesures horaires utilisées surtout pour la mesure de lalongitude céleste. En règle générale, quand aucune précision n’est donnée, on parle de minutes et de seconde d’arc et non pas d’ascension droite. Même en astronomie, on utilise également les unités dérivées du degré : leparsec, par exemple, est défini par rapport à la seconde d’arc.
De même, toute unité d’angle ou de direction angulaire qu’on appellerait « heure » n’a aucun lien dans sa définition avec les minutes et secondes d’arc (il y a plusieurs unités dont le nom comprend « heure » : voir les pages respectives pour les rapports de conversion, par exempleUnités de l'ascension droite).
↑Contrairement aux autres unités de mesure (y compris les autres degrés utilisés en physique et en chimie), le symbole du degré d'angle suit immédiatement la valeur, sans espace. On écrira par exemple qu'un angle vaut 30°, mais une température30°C. Il en est de même pour les symboles de laminute d'arc et de la seconde d'arc : on écrira par exemple qu'un angle vaut 29° 59' 30".
