Lacycloïde , aussi appeléeroue d'Aristote ouroulette dePascal, est unecourbe planetranscendante,trajectoire d'un point fixé à uncercle quiroule sans glisser sur une droite ; elle a été appeléecycloïde pour la première fois parJean de Beaugrand[1]. Il s'agit donc d'uneroulette, oucourbe cycloïdale particulière dont ladirectrice est une droite et dont le point générateur est situé sur le cercle lui-même ; c'est un cas particulier detrochoïde.
Alors que le chewing-gum (point directeur) collé sur le pneu d'une roue de vélo décrit une cycloïde parce qu'il entre en contact avec la chaussée (directrice) à chaque tour de roue, la valve (point directeur) d'une roue de vélo avançant en ligne droite décrit une trochoïde qui n'est pas une cycloïde car elle n'entre pas en contact avec la chaussée (directrice).
Le mot vient du grecκύκλος, (« cercle, roue ») et du radical-ειδος, (« en forme de, semblable à »), bien que cette courbe n'ait pas été connue desGrecs. SelonTorricelli[2], son maîtreGalilée aurait été le premier à étudier cette courbe et à lui donner ce nom, en1599, mais d'aprèsJohn Wallis, sa construction aurait été mentionnée parCharles de Bovelles[3], et même encore auparavant auXVe siècle parNicolas de Cues alors qu'il s’essayait à laquadrature du cercle[4].Moritz Cantor dément toutefois cette dernière assertion et confirme que Bovelles est le premier à mentionner le problème de la courbe décrite par un point d'une roue roulant sur un plan[5].
Toujours est-il qu’en 1626,Mersenne en reprit l'étude et essaya, sans succès, de déterminer l'aire sous une arche de cycloïde.« Galilée l'avait étudié auparavant : il s'était même occupé de déterminer, par une curieuse méthode empirique, le rapport de la surface d'une arche de cycloïde à la surface du cercle qui l'engendre : pour cela, il avait réalisé, en métal, aussi parfaitement que possible, les deux surfaces, et les avait pesées ; il trouva que l'aire de l'arche vaut trois fois celle du cercle générateur, résultat exact, malgré la bizarrerie du procédé[6]. » Il faudra attendre 1634 pour queRoberval, un membre del'académie de Mersenne, démontre, mathématiquement cette fois, que cette aire est égale à trois fois l'aire du cercle qui l'a engendrée.Descartes, qui fut consulté sur ce calcul, le trouva intéressant mais trivial.
La cycloïde et le calcul de ses propriétés furent alors l'objet de défis constants entre mathématiciens, si bien qu'elle fut surnommée « l'Hélène des géomètres[7]. » Après Descartes,Pascal (sous le pseudonyme de Dettonville) offrit un prix à qui résoudrait deux problèmes liés à la cycloïde et au mouvement dupendule. En 1658,Christopher Wren démontra que la longueur d'une arche de cycloïde est égale à quatre fois le diamètre du cercle qui l'a générée. En 1656-1659,Christian Huygens étudie ses propriétésisochrones et les applique à la conception d'une horloge dans laquelle le pendule est suspendu entre deux lames correctement recourbées (« joues ») pour obtenir l'isochronisme du battement, préalable indispensable pour permettre la construction d'horloges marines et donc la détermination du « secret deslongitudes »[8]. Enfin, ses propriétésbrachistochrones furent étudiées à partir de1696 parJean Bernoulli, puis parIsaac Newton,Gottfried Wilhelm Leibniz,Jacques Bernoulli et lemarquis L'Hôpital. Il s'agissait d'un des premiers problèmes de variations, et son étude fut le point de départ de l'élaboration ducalcul des variations.
La courbe peut être définieparamétriquement par l'équation suivante :
ce qui correspond (sur un intervalle convenable) à l'équation cartésienne
Une arche de cycloïde a une longueur de8R et une aire de3πR². Le calcul de la longueur est proposé dans l'article « Longueur d'un arc ».
La courbe formée d'une arche de cycloïde, supposée demasse linéique constante, a pourcentre de gravité G(πR ;4/3 R).
Le domaine situé sous une arche de cycloïde, supposé demasse surfacique constante, a pour centre de gravité G(πR ;5/6 R).
Laroulette de la pointe d'unecardioïde roulant sur une cycloïde de même longueur est rectiligne.
Laradiale de la cycloïde est un cercle de rayon2R.
Ladéveloppée de la cycloïde est une cycloïdetranslatée (cf. figure).
La cycloïde est unecourbe brachistochrone au sens deRoberval, c'est-à-dire qu'elle représente la courbe sur laquelle doit glisser sans frottement et sans vitesse initiale, un point matériel pesant placé dans un champ depesanteur uniforme, de sorte que son temps de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés. Autrement dit, c'est la courbe de descente la plus rapide pour aller d'un point A à un point B.
La demi-arche de cycloïde est également unecourbe tautochrone, c'est-à-dire une courbe telle que tout point matériel lâché sans vitesse initiale sur la courbe arrive en un point donné (celui ayant la plus basse altitude pour la cycloïde) en un temps indépendant du point de départ.
Elle est enfin une courbeisochrone au sens deHuygens, c'est-à-dire telle qu'un point matériel se déplaçant sans frottement sur elle a unmouvement périodique dont la période est indépendante de la position initiale.
Ces deux dernières propriétés, ainsi que le fait que la développée d'une cycloïde soit aussi une cycloïde, expliquent son utilisation dans la conception dependules cycloïdaux enhorlogerie[9].
La trajectoire d'une particule soumise sans vitesse initiale à unchamp électrique et unchamp magnétique orthogonaux uniformes est une cycloïde orthogonale au champ magnétique.
Des propriétéscaustiques particulières font que la cycloïde est également utilisée enoptique.
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