Les trois formes de coniques non dégénérées : la courbe fermée d’uneellipse (rouge), la courbe infinie d’uneparabole (verte) et les deux composantes infinies d’unehyperbole (bleue), de même foyerF et de même droite directrice (noire).
Engéométrie euclidienne, uneconique est unecourbe planealgébrique, définie initialement comme l’intersection d'uncône de révolution (supposé prolongé à l’infini de part et d’autre du sommet) avec unplan. Lorsque le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône, la conique est ditenon dégénérée et réalise l’une des trois formes de courbe suivantes :ellipse,parabole ouhyperbole (lecercle étant un cas particulier de l'ellipse, parfois appelé quatrième forme). Ces courbes sont caractérisées par un paramètre réel appeléexcentricité.
Ces courbes apparaissent aussi comme les courbes planes définies par une équation de degré 2, dit autrement leslignes de niveau defonctions quadratiques.
L’ellipse et l’hyperbole admettent aussi un axe de symétriesecondaire perpendiculaire à l’axe principal, définissant ainsi un deuxième foyer et permettant de redéfinir la conique par uneéquation bifocale.
Les intersections de cône par un plan pouvant être vues comme desprojections coniques d'un cercle sur un plan, l'étude des coniques engéométrie projective permet d'obtenir des résultats puissants et donne lieu à l'étude des coniques projectives.
Différentes coniques obtenues comme intersection d'uncône de révolution et d'un plan selon l'inclinaison de celui-ci :cercle (rouge),ellipse (violet),parabole (vert), branche d'hyperbole (bleu). Le solide de droite est appelé cône d'Apollonius.
On obtient une conique en prenant l'intersection d'unplan avec uncône dont la courbe directrice est un cercle. On peut, dans l'étude, se limiter à l'intersection d'un plan avec un cône de révolution.
Selon les positions relatives du plan de coupe et du cône de révolution, on obtient[1] différents types de coniques :
Exemples de coniques dégénérées.
Des coniquespropres, quand le plan de coupe ne passe pas par le sommet du cône. On distingue trois sortes de coniquespropres en fonction de l'angle d'inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône :
si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture (angle formé par l'axe du cône et une génératrice), l'intersection est unehyperbole ;
si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est uneparabole ;
si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est uneellipse ;
dans le cas maximal où l'angle d'inclinaison du plan de coupe est droit, cette ellipse est même uncercle.
Desconiquesdégénérées, quand le plan contient le sommet du cône. Là encore, on distingue trois sortes de coniquesdégénérées en fonction de l'angle d’inclinaison du plan de coupe avec l’axe du cône :
si cet angle d'inclinaison est inférieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un couple dedroites sécantes (deux génératrices du cône).
si cet angle d'inclinaison est égal à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à une seule droite (une des génératrices du cône là où le plan de coupe et le cône sont tangents) ;
si cet angle d'inclinaison est supérieur à l'angle d'ouverture du cône, l'intersection est réduite à un seul point (le sommet du cône).
On noteK leprojeté orthogonal du pointF sur la droite (D) eth la distance de K à F (le produitp = eh s'appelle leparamètre de la conique depuisPierre Hérigone).
Pour tout pointO de l'axe principal, on peut construire le repère orthonormal où dans lequelF a pour abscisseα.
Pour un pointM de coordonnées(x ,y) on peut exprimer les distances précédentes à l'aide des deux formules suivantes :ce qui implique en élevant [1] au carré et en utilisant [2] et [3] :soit après réduction :où.Un choix judicieux deO permet de simplifier cette équation.
Dans le cas oùe est différent de 1, pour, le coefficientB s'annule et le pointO estcentre de symétrie de la conique. L'équation s'écrit :,dans laquelle on retrouve, en posant,les équations caractéristiques suivantes[4] :
Dans les équations précédentes, on trouve l'équation d'un cercle de rayonr dans le cas oùe = 0 etp = r (Remarquez que l'équation [1], poure = 0 fournit un ensemble de points réduit au seul pointF et que dans ce casp = 0) . On considère alors le cercle comme un cas particulier d'ellipse d'excentricité nulle, dont le foyer est situé au centre du cercle et dont la directrice est éloignéeà l'infini[4] (car).
Dans le repère d'origineF et de direction, une telle conique a pour équation polaire[5] :
Réciproquement, toute courbe dont l'équation polaire dans un repère est :,oùp est un réel non nul, et (A,B) un couple de réels différent de (0, 0), est une conique de foyerO, d'excentricité et d'axe la droite d'équationAy = Bx[3].
Cette forme d'équation polaire est utile dans l'étude de la trajectoire des planètes[3].
L'ellipse peut être définie comme le lieu des points M dont la somme des distances MF et MF' à deux points fixes F et F', appelés foyers de l'ellipse, est constante et égale à une valeur fixée. Cette définition reste valable dans le cas du cercle, pour lequel les foyers sont confondus.
L'hyperbole peut être définie comme le lieu des points M dont lavaleur absolue de la différence des distances MF et MF' à deux points fixes F et F', appelés foyers de l'hyperbole, est constante et égale à une valeur fixée.
La parabole n'a pas de définition bifocale.
Cette propriété bifocale correspond à une autre définition d'une conique par un point et une courbe directrice[6],[7] : l’ensemble des centres des cercles passant par un point fixeF et tangent à, soit un cercle fixe (C) ne passant pas parF, soit une droite fixe (D) ne contenant pasF, est une conique de foyerF et de courbe directrice (C) ou (D).
SiF est intérieur à (C), la courbe est une ellipse ; siF est extérieur à (C) la courbe est une hyperbole ; si la directrice est une droite, la courbe est une parabole.
En notantF' le centre du cercle (C) et2a son rayon (a > 0), on obtient en effet :
dans le cas de l'ellipse, le cercle centré enM est tangent intérieurement à (C), et le pointM vérifieMF + MF' = 2a ;
dans le cas de l'hyperbole, le cercle (C) est tangent au cercle centré enM, soit intérieurement, et le pointM vérifieMF – MF' = 2a, soit extérieurement, et le pointM vérifieMF' – MF = 2a. On regroupe les deux cas par la condition|MF – MF'| = 2a.
Les pointsF etF' sont les foyers de la conique.
Quant à la parabole, on retrouve, pour le cercle centré enM passant parF et tangent à (D), l'égalitéMF = d(M,(D)).
Les paraboles admettent un et un seul couple foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et l'excentricité correspondante vaut 1.
Ellipses et hyperboles admettent exactement deux couples foyer/directrice au sens de la définition monofocale, et ceux-ci correspondent à une même valeur de l'excentricité. Ils sont symétriques par rapport au centre de l'ellipse ou au point d'intersection des asymptotes de l'hyperbole. Ces foyers sont les points intervenant dans la définition bifocale.
vue en coupe des 2 sphères qui définissent les foyers de la conique, ici une ellipse (voirthéorème de Dandelin)
Les foyers et les directrices des coniques peuvent être déterminés géométriquement dans le cadre de la définition des coniques comme intersection d'un cône et d'un plan ne passant pas par le centre de celui-ci.
Il existe, selon l'orientation du plan par rapport à l'axe du cône, une (cas des paraboles) ou deux (cas des ellipses et des hyperboles) sphères tangentes à la fois au plan et au cône ; ce sont des sphères centrées sur l'axe, situées dans un même demi-cône (cas des ellipses) ou dans des demi-cônes opposés (cas des hyperboles).
Chacune de ces sphères définit l'un des foyers de la conique (c'est le point de tangence de la sphère et du plan) ainsi que la droite directrice associée (c'est l'intersection du plan de la conique et du plan contenant le cercle de tangence de la sphère et du cône) ; c'est lethéorème de Dandelin.
Une conique étant donnée, avec son équation dans un repère quelconque, on cherche à déterminer unrepère orthonormal dans lequel l'équation de la conique seraitaussi simple que possible. On se place d'emblée dans le cas où l'équation est donnée dans un repère orthonormal, si ce n'est pas le cas, on peut s'y ramener par changement de base. On peut également éliminer le terme enxy en changeant de base par rotation[9].
En effet, les équations de changement de base, pour une rotation d'angleθ, sont :
Le coefficient devantXY s'écrit alors :et siB est non nul, ce coefficient s'annule lorsque2θ est un argument deC –A – 2Bi
On suppose désormais que la conique a pour équation :
Un changement d'origine en prenantO1(−D1/A1,−E1/C1) permet d'éliminer les termes enx ety. La conique a pour équation dans ce nouveau repère :Trois cas se présentent alors :
siF1 est de signe opposé àA1 et C1, en posanta2 = −F1/A1 etb2 = −F1/C1, on obtient l'équation réduite d'une ellipse ;
siF1 est nul, la conique est réduite àun point :O1 ;
siF1 est de même signe queA1 etC1, la conique estvide.
Le même changement de repère conduit à l'équation :et l'on peut même, en permutant éventuellement les vecteurs de la base, supposer queC1F1 ≥ 0. Deux cas se présentent alors :
siF1 est non nul, en posanta2 = −F1/A1 etb2 =F1/C1, on obtient l'équation réduite d'une hyperbole ;
;
siF1 est nul, en posanta2 = |1/A1| etb2 = | 1/C1|, la conique est la réunion dedeux droites sécantes d'équations :bx ±ay = 0.
On peut, en permutant éventuellement les vecteurs de la base, supposer queA1 est nul etC1 non nul. Un changement d'origine en prenantO1(0, −E1/C1) conduit à l'équationet deux cas se présentent :
siD1 est non nul, le changement d'origine en prenantO2(−F1/(2D1), 0) permet d'éliminer le terme constant. Ensuite, en posantp = −D1/C1, on obtient l'équation réduite d'une parabole
;
siD1 est nul, l'équation se réduit àet l'on distingue trois sous-cas :
siF1 est de signe opposé àC1, en posantp2 = −F1/C1 la conique est la réunion dedeux droites parallèles d'équationsy = ± p,
siF1 est nul, la conique se réduit àune droite d'équationy = 0,
siF1 est de même signe queC1, la conique estvide.
Ces équations réduites permettent de mettre en évidence lesorbites des coniques pour les isométries : toutes les coniques d'une même classe avec les mêmes paramètres sont isométriques.
On se place dans le cadre d'un plan affine réel muni d'un repère et on considère l'ensemble des fonctionsf définies pour tout point M(x,y) paroùA,B,C,D,E,F sont des constantes réelles telles que (A,B,C) ≠ (0,0,0).
On noteCf la conique d'équationf(M) = 0. La question qui se pose est de savoir quel est l'effet des transformations affines sur la coniqueCf, plus exactement de déterminer sonorbite pour lestransformations affines. Pour deux coniquesCf1 etCf2, on observe que s'il existe une transformation affine et un réelλ non nul tels quef1 ∘φ =λf2, alorsφ(Cf2) =Cf1. On dit alors quef1 etf2 sont affinement équivalentes. Le but de la classification affine est de ranger les fonctionsf en classe d'équivalence[10].
On définit pour cela
On obtient les écritures matricielles def suivantes
On démontre ensuite quef1 etf2 sont affinement équivalentes si et seulement siQf1 etQf2 ont mêmesignature (à l'ordre près) ainsi queMf1 etMf2. De plus la signature deQf (à l'ordre près) caractérise le signe de son déterminantAC -B2. On obtient alors une classification des coniques en fonction des signatures de ces deux matrices :
Signature deQf
signe deAC - B2
Signature deMf
Det(Mf)
Équation type
Classe de conique
(2, 0)
positif
(3, 0)
non nul
X2 +Y2 + 1 = 0
Vide
(2, 1)
non nul
X2 +Y2 – 1 = 0
Ellipse
(2, 0)
nul
X2 +Y2 = 0
Un point
(1, 1)
négatif
(1, 2)
non nul
X2 -Y2 – 1 = 0
Hyperbole
(1, 1)
nul
X2 –Y2 = 0
Deux droites sécantes
(1, 0)
nul
(2, 1)
non nul
X2 –Y = 0
Parabole
(2, 0)
nul
X2 + 1 = 0
Vide
(1, 1)
nul
X2 – 1 = 0
Deux droites parallèles
(1, 0)
nul
X2= 0
Une droite
Quand le déterminant deMf est nul, on dit que la conique est dégénérée[11].
Les coordonnées (X,Y,Z) d'un point dans un repère de l'espace projectif ne sont pas toutes nulles, et deux triplets de coordonnées proportionnelles définissent le même point. On travaille plus précisément dans leplan projectif réelP(E), où E est l'espace vectoriel réel de dimension 3. Une conique projective réelle est une courbe qui possède une équation polynomiale homogène du second degré dans unrepère projectif deP(E).
Même pour les coniques réelles (les coefficientsA, B, C, D, E, F ci-dessus sont réels), il peut être utile de considérer lecomplexifiéP(EC) deP(E), qui est leplan projectif complexe. Un repère deP(E) est aussi un repère deP(EC), les coordonnées étant complexes. Les points réels sont ceux deP(E), les points imaginaires ceux deP(EC) qui ne sont pas dansP(E). Les points imaginaires sont ceux qui ont au moins une coordonnée non réelle dans un repère deP(E) (ceci ne dépend pas du repère). Sauf précision, les points de la conique sont les points réels qui satisfont l'équation, mais on peut parler des points imaginaires d'une conique réelle[12].
Les coordonnées homogènes sont les coordonnées dans la base de E déterminée par le repère projectif choisi. On voit alors qu'une conique deP(E) est définie par une forme quadratique sur E. Plus précisément la conique (Cq) deP(E) associée à une forme quadratiqueq deE est l'ensemble des points deP(E) déterminés par des vecteurs non nulsu de E tels queq(u) = 0. Deux formes quadratiques proportionnelles définissent la même conique[12].
Une conique est ditepropre si elle est associée à une forme quadratique non dégénérée,dégénérée sinon. Une forme quadratique dégénérée est soit le carré d'uneforme linéaire, soit la somme ou la différence de carrés de formes linéaires. Elle se factorise donc toujours comme produit de deux formes linéaires (éventuellement complexes). Les noyaux de ses formes linéaires sont des plans qui définissent des droites projectives (éventuellement complexes). Une conique dégénérée réelle non vide (sur l'espace réel) est donc soit une droite, soit la réunion de deux droites (éventuellement complexes)[13].
L'image d'une conique par unehomographie est encore une conique, puisque celle-ci correspond à unetransformation linéairef surE, si la conique est associée à la forme quadratiqueq, l'image de celle-ci est associée à la forme quadratiqueq ∘f−1[13].
La classification projective des coniques est la classification à homographie près : deux coniques sont dans la même classe si l'une est image de l'autre par une homographie. Elle se déduit donc de laclassification des formes quadratiques, sachant que deux coniques proportionnelles (opposées en particulier) définissent la même conique. La classification projective des coniques réelles s'obtient alors directement à partir de celle des formes quadratiques réelles donnée par laloi d'inertie de Sylvester. Autrement dit, l'orbite d'une conique réelle sous l'action dugroupe projectif linéaire PGL(3,R) est caractérisée par la signature de la forme quadratique.
Comme deux formes quadratiques opposées sont associées à la même conique, on peut toujours supposer que le premier terme de la signature est supérieur ou égal au second.
Par diagonalisation des formes quadratiques, par exemple parréduction de Gauss, on obtient une écriture de celle-ci comme somme et/ou différence de carrés qui est déterminée par la signature. La conique est alors l'image par transformation projective d'une conique de l'équation réduite indiquée dans le même repère, ou, de façon équivalente, il existe un repère dans lequel l'équation de la conique est l'équation indiquée.
Forme quadratique
Conique
rang
Signature
Équation type
Classe
3
(3, 0)
X2 +Y2 +Z2 = 0
Conique propre imaginaire, vide sur le plan projectif réel
3
(2, 1)
X2 +Y2 –Z2 = 0
Conique propre réelle
2
(2, 0)
X2 +Y2 = 0
Conique dégénérée en un seul point réel (deux droites sécantes complexes)
2
(1, 1)
X2 –Y2 = 0
Conique dégénérée en deux droites sécantes (réelles)
1
(1, 0)
X2 = 0
Conique dégénérée en une droite double (réelle)
Le rang de la forme quadratique est précisé mais se déduit de la signature ; on parle également de rang pour la conique associée.
En particulier, il n'y a à homographie près qu'une seule conique projective réelle non dégénérée non vide, celle qui a pour équation dans un certain repère projectifX2+Y2-Z2=0 (signature (2,1) ou (1,2)). Cette équation est celle d'un cône à base elliptique de sommet l'origine dans l'espace vectoriel E[14].
Un plan affine peut toujours être plongé dans unespace vectoriel E de dimension 3, comme plan affine ne passant pas par l'origine. Un repère de E peut être choisi de façon que le plan affine soit identifié au plan affine d'équationZ = 1 dans ce repère. Ce plan affine apparait alors également comme la partie du plan projectif P(E) formée des points de coordonnées homogènes (X:Y:1), donc par homogénéité ceux de coordonnées (X :Y :Z) avecZ ≠ 0. Les points de coordonnées (X;Y:0) forment alors unedroite projective, qui est ladroite à l'infini associée au plan affine.
La restriction de la conique projective d'équation
au plan affineZ = 1, a pour équation, en choisissant lerepère affine déduit du repère projectif
et l'on a bien l'équation d'une conique affine, et par l'opération inverse, en homogénéisant l'équation de la conique affine, celle-ci apparaît comme la restriction au plan affine d'une conique projective.
L'intersection de la conique projective avec la droite à l'infini associée au plan affine a pour équation
.
Le trinômeAX2 + 2BXY +CY2 est laforme quadratique à l'infini de la conique affine. Le nombre de solutions de l'équation à homogénéïté près est le nombre depoint à l'infini de la conique. Celui-ci est 0, 1, ou 2, suivant le signe deB2 -AC, discriminant (réduit) de l'équation (enY/X ouX/Y suivant que l'on cherche des solutions telles queX est non nul ouY est non nul).
On retrouve alors la classification affine à partir de la classification projective et du nombre de points à l'infini : les critères sont les mêmes, signature de la forme quadratique donnée par l'équation homogénéisée, le discriminant est l'opposé du déterminant de la forme quadratique à l'infini. En particulier une ellipse (B2 -AC < 0) n'a pas de point à l'infini, une parabole (B2 -AC = 0) a un seul point double à l'infini, c'est-à-dire qu'elle est tangente à la droite à l'infini, une hyperbole (B2 -AC > 0) a deux points à l'infini.
En géométrie analytiquebarycentrique, les coniques sont toujours les courbes planes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les courbes planes dont les points ont descoordonnées barycentriquesλ,μ etν qui vérifient une équation polynomiale homogène du second degré de la forme :
.
On peut identifier cette équation à la précédente, en posant :
.
On obtient alors, à un coefficient multiplicatif près :
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Illustration de la méthode du cercle de Boscovich pour le tracé d'une ellipse.
L'intersection d'une droite et d'une conique consiste en 0, 1 ou 2 points, selon la position relative de la droite par rapport au foyer de la conique. Cette étude est au cœur des techniques de construction des coniques[15], comme le cercle deBoscovich[16].
Démonstration
Déterminer les intersections d'une conique et d'une droite revient à résoudre un système de la forme :
Cela mène à uneéquation du second degré enx ouy, qui admettra deux solutions distinctes, une solution double (cas de la droite tangente) ou aucune.
Lethéorème des cinq points, cas particulier duparadoxe de Cramer, permet de montrer qu'il suffit de connaitre cinq points distincts, non alignés trois par trois, pour déterminer de façon unique une conique. Plus précisément, elle sera déterminée de façon unique si aucun sous-ensemble de quatre points n'est aligné, et non dégénérée si et seulement si les cinq points sont non alignés trois par trois.
Démonstration
On note les cinq pointsA1,A2,A3,A4,A5, qu'on suppose donc non alignés quatre à quatre. En se plaçant dans le repère affine, on note lescoordonnées barycentriques dans ce repère (X,Y,Z). Alors toute conique passant parA1,A2,A3 dans ce repère a une équation de la forme :
Les pointsA4,A5, de coordonnées barycentriques dans ce repère(x4,y4,z4) et(x5,y5,z5) étant également sur la conique, les coefficientsp,q,r vérifient
Ce système linéaire est de rang exactement 2, car sinon, au moins quatre points parmiA1,A2,A3,A4,A5 seraient alignés, ce qui est exclu. Ainsi, l'ensemble solution de ce système est une droite vectorielle, donc défini à une constante près. Les équations sont donc toutes proportionnelles et définissent bien la même courbe.
Problème de Ménechme :OM etON étant donnés, il faut placerOP etOQ tels queOM/OP =OP/OQ =OQ/ON. Cette série d'égalités est équivalente àOP2 =OM.OQ (1) etOP.OQ =OM.ON (2). Ces deux conditions placent le pointR, quatrième point du rectanglePOQR, à l'intersection d'une parabole (1) et d'une hyperbole (2).
L'étude des coniques remonte, enGrèce, au moins jusqu'auIVe siècle av. J.-C. quandMénechme, recherchant une double moyenne proportionnelle entre deux segments, la trouve comme l'intersection de deux courbes, une parabole et une hyperbole[17]. Ménechme ne donne pas de nom à ses courbes. Elles furent également étudiées parEuclide etAristée. Pour eux, un cône est obtenu comme rotation d'un triangle (ABC) rectangle enB autour d'un côté de l'angle droitAB, l'hypoténuse est appelée génératrice du cône. Le cône est dit rectangle si l'angle de sommetA est égal à 45°, acutangle (respectivement obtusangle) si l'angle de sommetA est inférieur (respectivement supérieur) à 45°. Pour Aristée, une conique est obtenue par intersection d'un cône avec un plan perpendiculaire à une génératrice. Si le cône est rectangle, la section (parabole) est appelée unesection rectangle, si le cône est acutangle, la section (ellipse) est appeléesection acutangle et si le cône est obtusangle, la section (hyperbole) est appeléesection obtusangle du cône[18]. PourApollonius de Perge, le cône est généré par un cercle, un point non situé dans le plan du cercle et unfaisceau de droites passant par le point et s'appuyant sur le cercle (le cône n'est donc pas nécessairement droit). Il parle de surface conique et envisage les deux nappes du cône[19]. Une conique est l'intersection d'un plan avec le cône. Il est donc un des premiers à voir que l'hyperbole est formée de deux parties : une section et sa section opposée.
Dans cette ellipse de centreO, les cordesMM',NN' etTT' sontordonnées. Le segment [SS'] qui passe par le milieu de ces cordes est lediamètre associé aux cordes ordonnées. Les longueursSm,Sn etSO sont desabscisses et les longueursmM,nN etOT sont desordonnées. Le segmentSP est lecôté droit de l'ellipse associé à ce diamètre. Il est tel que SP=2OT²/OS.
C'est également dans ses écrits que l'on trouve les termes d’abscisse et d’ordonnée : il remarque que, dans une conique, des cordes parallèles ont des milieux alignés. La droite passant par ces milieux est appelée un diamètre, les segments parallèles sont appelés segmentordonnés et les segments découpés sur un diamètre par les ordonnées sont lesabscisa (découpées)[20].
Il caractérise également les coniques par une égalité d'aire : l'aire du carré s'appuyant sur une ordonnée est fonction de l'aire d'un rectangle s'appuyant sur l'abscisse. Il définit une longueur constante qu'il appelle lecôté droit[20] et qui portera plus tard le nom deparamètre (mesuré à côté)[21] (bien que de nos jours, on appelleparamètre le demi-côté droit) et s'en sert pour exprimer la relation d'aire :
dans une section parallèle à une génératrice du cône, l'aire du carré s'appuyant sur l'ordonnée est égale à l'aire du rectangle construit sur l'abscisse et de hauteur le côté droit. Il donne à cette courbe le nom deparabole (application simple) ;
dans une section traversant le cône, l'aire du carré s'appuyant sur l'ordonnée est inférieure à l'aire de ce rectangle. La courbe obtenue porte alors le nom d'ellipse (ajustementpar défaut) ;
dans une section recoupant le cône dans l'autre nappe, l'aire du carré s'appuyant sur l'ordonnée est supérieure à l'aire de ce rectangle. La courbe porte alors le nom d'hyperbole (ajustementpar excès)[20].
Il précise par une construction la relation exacte entre l'aire du carré et l'aire d'un rectangle s'appuyant sur l'abscisse[22].
Égalité d'aire, dans une ellipse, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse. Ce rectangle estplus petit que le rectangle de hauteurSP (paramètre de l'ellipse) d'où le nom d'ellipse (ajustement par défaut) donné à la courbe parApollonius.
Égalité d'aire, dans une parabole, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse. Ce rectangle estégal au rectangle de hauteurSP (paramètre de la parabole) d'où le nom deparabole (ajustement exact) donné à la courbe par Apollonius.
Égalité d'aire, dans une hyperbole, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse. Ce rectangle estplus grand que le rectangle de hauteurSP (paramètre de l'hyperbole), d'où le nom d'hyperbole (ajustement par excès) donné à la courbe par Apollonius.
Cette propriété est illustrée par les équations de coniques dans un repère orthonormé (S,u,v) oùS est un sommet de la conique etu le vecteur unitaire de l'axe principal orientant la demi-droite [S,u) vers l'intérieur de la conique :,
oùp = eh dans le cas des coniques à foyer et directrice et oùp = R dans le cas du cercle poure = 0. On voit en effet que l'aire du carré est égale à l'aire du rectangle dans le cas de la parabole (e = 1), excède celle du rectangle dans le cas de l'hyperbole (e > 1) et est en déficit par rapport à celle du rectangle dans le cas de l'ellipse (e < 1).
Il étudie également les asymptotes de l'hyperbole, les tangentes, les propriétés des foyers et les intersections de coniques[23]
Vision animée de l'égalité d'aire dans une parabole, entre le carré mené sur l'ordonnée et le rectangle bleu mené sur l'abscisse, telle que mise en évidence par Apollonius.
Apollonius accorde peu de place à la définition par foyer et directrice qui est plus spécialement étudiée parPappus[24]. C'est également Pappus qui montre comment déterminer les éléments remarquables d'une ellipse (centre et diamètre) lorsque 5 points sont connus[25]. Les propriétés optiques des coniques sont utilisées dans les problèmes de réflexions notamment dans l'étude desmiroirs ardents. Les quadratures (c'est-à-dire les calculs d'aire de surfaces délimitées par des coniques) sont étudiées par Archimède qui entreprend laquadrature de la parabole et celle du cercle et montre la relation entre l'aire de l'ellipse et l'aire de son cercle directeur[26].
Détail desConiques d'Apollonius de Perge dans une traduction arabe duIXe siècle.
Les écrits d'Apollonius sont ensuite traduits en arabe[27] et les coniques et leurs intersections sont exploitées pour théoriser la classification des équations de degré trois[28]. Les mathématiciens de langue arabe élaborent des procédés mécaniques de tracés de coniques en continu[29] (méthode du jardinier et sa variante pour l'hyperbole d'Ibn Sahl,compas parfait d'al Quhi). Ils exploitent les propriétés géométriques des coniques dans des problèmes optiques de réflexion et de réfraction[30].
Mais le bond le plus important est lié aux avancées de lagéométrie projective[32] avec les travaux deGirard Desargues sur les involutions et lespolaires de points par rapport à des coniques[33].Blaise Pascal démontreson théorème sur unhexagramme construit sur une conique[34]. D'autres mathématiciens s'intéressent à ce sujet :Grégoire de Saint-Vincent qui entreprend le calcul d'aire sous l'hyperbole origine de lafonction logarithme[35],Jean de Witt s'intéresse aux tracés continus de coniques[36],Philippe de La Hire écrit uneNouvelle méthode en géométrie pour les sections et superficies coniques etSectione Conicae faisant une recension des propriétés des coniques et présentant des démonstrations claires utilisant des propriétés projectives, des rapports harmoniques et des propriétés sur pôles et polaires[37].
↑Ernest Lebon, « Construction nouvelle des points d’intersection d’une droite et d’une conique »,Nouvelles annales de mathématiques,vol. 3,no 4,,p. 338-342(lire en ligne)
Abdelmalek Bouzari,Contribution de l’Occident Musulman au développement des mathématiques - L’exemple des sections coniques., Printemps de Cirta, Éclosions Mathématiques et Philosophiques,
