Enmathématiques, l'ensemble de toutes lestopologies possibles sur unensemble donné possède une structure d'ensemble partiellement ordonné. Cetterelation d'ordre permet decomparer les différentes topologies.
Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensembleX.
On dit que τ2 estplus fine que τ1 (ou bien que τ1 estmoins fine que τ2) et on note τ1 ⊆ τ2 si l'application identité idX : (X, τ2) → (X, τ1) estcontinue.
Si de plus τ1 ≠ τ2, on dit que τ2 eststrictement plus fine que τ1 (ou bien que τ1 eststrictement moins fine que τ2).
Larelation binaire ⊆ définit unerelation d'ordre partiel sur l'ensemble de toutes les topologies possibles surX.
La topologie la plus fine surX est latopologie discrète ; dans cette topologie, tous les sous-ensembles sontouverts. La topologie la plus faible surX est latopologie grossière ; cette topologie admet uniquement l'ensemble vide et l'ensemble tout entier comme ouverts.
Dans lesespaces de fonctions et les espaces demesures, il existe un grand nombre de topologies possibles. Par exemple, l'espace desfonctions continues définies sur l'intervalle unité [0, 1] peut être doté de la topologie de laconvergence simple ou de topologie de laconvergence uniforme : la seconde est plus fine que la première.
Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensembleX. Les propositions suivantes sont équivalentes :
On a deux corollaires immédiats :
On peut également comparer des topologies en utilisant desbases de voisinages. Soient τ1 et τ2 deux topologies sur un ensembleX et soientBi(x) une base locale de voisinages pour la topologie τi enx ∈X pouri = 1,2. Alors τ1 ⊆ τ2 si et seulement si pour toutx ∈X, chaque ouvertU1 dansB1(x) contient un ouvertU2 dansB2(x). Intuitivement, cela signifie qu'une topologie plus fine doit avoir de plus « petits » voisinages.
L'ensemble de toutes les topologies sur un ensembleX muni de la relation d'ordre partiel ⊆ forme untreillis complet. Toute collection de topologies surX possèdeune borne inférieure et une borne supérieure. La borne inférieure d'une collection de topologies est l'intersection de ces topologies. La borne supérieure, cependant, n'est généralement pas l'union de ces topologies (l'union de deux topologies n'est pas une topologie) mais latopologie engendrée par l'union.
