Le cercle de centre M et de rayon r est l'ensemble des points du plan à distance r de M.
Engéométrie euclidienne, uncercle est unecourbe plane fermée constituée de points situés à égale distance d'un point nommécentre. Cette distance est appeléerayon du cercle.
Dans leplan euclidien, il s'agit du « rond » qui est associé en français au terme de cercle. Dans un plan non euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe. Dans un espace de dimension quelconque, l'ensemble des points placés à une distance constante d'un centre est appelésphère.
D'autres formes peuvent être qualifiées de « rondes » : les surfaces et solides dont certaines sections planes sont des cercles (cylindres,cônes,tore,anneau, etc.)[1].
Le cercle est un objet mathématique abstrait, qui peut servir à modéliser de nombreux phénomènes. Un certain nombre d'objets manufacturés ont une section circulaire :cylindres (rouleaux, roues, silos),sphères (ballon, balles, billes), cônes (rouleaux, entonnoirs). Les propriétés du cercle permettent donc de déduire des propriétés des objets, comme leurvolume qui permet de déduire la masse de l'objet (connaissant samasse volumique) ou sa contenance. Les objets de section circulaire sont intéressants pour principalement plusieurs raisons :
par définition, tous les points sont à égale distance du centre ; cela signifie qu'il faut le même temps et la même énergie pour atteindre chaque point à partir du centre, ce qui a donné la notion d'hémicycle (amphithéâtre) dans lequel le son a le même volume pour tous ceux assis sur le même banc. Cela a également de l'importance en termes d'organisation du territoire et delogistique ; en effet, si le déplacement se fait de la même manière dans toutes les directions (terrain idéalement plat et horizontal, sans obstacle, ou bien vol d'oiseau sans vent), alors un cercle représente l'ensemble des points que l'on peut atteindre pour une durée de trajet donnée ou une consommation d'énergie donnée à partir du centre, c'est la notion derayon d'action, et l'intérêt duproblème du cercle minimum ; lorsque l'onsouffle du verre, le verre s'éloigne du point de soufflage avec une vitesseisotrope, ce qui donne à l'objet une forme naturellement arrondie ;
le cercle est la courbe plane qui, pour une longueur donnée (périmètre), a l'aire la plus grande. En particulier, ledisque, dont la frontière est un cercle, correspond au cas d'égalité de l'inégalité isopérimétrique endimension 2 (pour plus de détails, consulterThéorème isopérimétrique). Ainsi, si l'on construit unsilo ou une bouteille cylindrique, on a la contenance la plus importante pour une quantité de matériau donné (pour faire la paroi), si l'on construit une palissade circulaire, on pourra loger plus de personnes pour une quantité de bois ou de pierre donnée ; dans le même ordre d'idées, la défense en cercle est une stratégie militaire permettant de défendre une population ou un stock avec le minimum de moyens, face à une attaque venant de toutes parts, tactique dite justement de l'encerclement.
cette forme ne présente pas d'aspérité, donc pas deconcentration de contrainte ; un objet ayant cette forme a une meilleure résistance mécanique ;
cette forme ne présente pas de partie plane, ainsi, un projectile a peu de chance de la frapper « de face », il lui transmet moins d'énergie, et donc risque moins de l'endommager ; si l'objet tombe, il a plus de chance derebondir sans casser ; un objet arrondi a aussi moins de risque de blesser en cas de choc avec une personne (ballon, arrondi descapots etpare-chocs de voitures modernes) ;
toute droite passant par le centre est un rayon, et donc est perpendiculaire au cercle ; cette propriété est utilisée en optique et a donné lescontre-miroirs sphériques, c'est aussi pour cela que leslentilles ont des surfaces sphériques (on peut facilement prédire le trajet lumineux auxdioptres) ;
un objet de section circulaire et à paroi mince peut se fabriquer par enroulement de fil (ressort hélicoïdal,bobine) ou parroulage d'une tôle (virole,tube) ; un objet de section circulaire creux ou massif peut aussi s'obtenir facilement par tournage (poterie,tournage mécanique) ;
si l'on met un objet dans un récipient circulaire, on impose sa position mais on n'impose pas son orientation ; si l'orientation n'a pas d'importance, alors cela permet de gagner du temps puisque l'on n'a pas à tourner l'objet avant de le mettre en position ; c'est le principe du centrage (long ou court) pour lamise en position (MiP).
Certains objets répondent à plusieurs de ces éléments. Par exemple, le fait qu'uncanon soit cylindrique :
permet une fabrication facile, en particulier l'alésage ;
donne une résistance mécanique (résistance à la pression de l'explosion) ;
facilite l'introduction de la munition (on n'a pas besoin de la tourner autour de son axe pour l'introduire) ;
en pratiquant unehélice dans le canon, on peut imprimer un mouvement de rotation lors du tir qui stabilise la trajectoire.
Si un objet a une surface courbe, elle peut être localement approchée par un cercle. Ainsi, si l'on connaît les propriétés du cercle, on connaît les propriétés locales de l'objet. C'est ce qui a donné les notions decercle osculateur, derayon de courbure et d'harmonique sphérique.
Si l'on dispose des objets ou des personnes en cercle, on sait que l'on peut les atteindre avec le même effort depuis le centre, mais aussi que l'on peut les voir de la même manière, ce qui peut faciliter la surveillance. On peut aussi les désigner en faisant appel à un seul paramètre, la direction ; c'est par exemple l'intérêt descadrans à aiguille. Cela donne aussi les notions decoordonnées cylindriques etsphériques.
De par sa définition, le cercle euclidien est très simple à tracer : il suffit d'avoir un objet dont les deux extrémités ont une distance constante, une corde tendue par exemple ou une branche (même tordue), ou de manière plus courante uncompas. Il est donc simple de tracer un cercle « parfait », ce qui en fait un outil d'étude privilégié pour la géométrie.
Pour des problèmes et des formes plus complexes, on peut faire appel à la notion d'ellipse.
Le cercle peut servir à représenter de manière symbolique des objets « plus ou moins ronds » :
L'organisation du système solaire selon l'astronome et théologien allemandJohannes Kepler.
Du point de vue purement symbolique, il représente :
une certaine forme deperfection, de par sasymétrie et son absence d'aspérité, car, selonRonsard,« rien n'est excellent au monde s'il n'est rond »[2] ; depuis l'Antiquité grecque, la sphéricité est associée à la perfection, et par conséquent à la divinité[3] ; pourKepler, le cercle représente lasainte Trinité,« Le Père au centre, le Fils à la superficie, le Saint Esprit dans l'égalité de la relation du centre au pourtour. Et bien que le centre, la surface et l'intervalle soient manifestement trois, pourtant ils ne font qu'un, au point qu'on ne peut même pas concevoir qu'il en manque un sans que le tout soit détruit »[3],[4] ;
un mouvement continu et infini, la notion decycle ; il est une des représentations du recommencement (ouroboros), de la continuité, de l'éternité et dutemps cyclique (voir la roue du temps duTantra de kalachakra), avec la variante de laspirale ;
Pendant longtemps, le langage courant a employé le mot « cercle » autant pour nommer la courbe(circonférence) que la surface qu'elle délimite[5]. De nos jours, enmathématiques, le cercle désigne exclusivement la ligne courbe, la surface étant, quant à elle, appeléedisque.
unarc est une portion de cercle délimitée par deux points ;
uneflèche est le segment reliant les milieux d'un arc de cercle et d'une corde définis par deux mêmes points du cercle ;
unrayon est un segment de droite joignant le centre à un point du cercle ;
undiamètre est une corde passant par le centre ; c'est un segment de droite qui délimite le disque en deux parts égales. Le diamètre est composé de deux rayonscolinéaires ; sa longueur est2r oùr est le rayon du cercle ;
undisque est une région du plan délimitée par un cercle ;
unsecteur circulaire est une partie du disque comprise entre deux rayons ;
unsegment circulaire est une portion de disque comprise entre une corde et l'arc de cercle qu'elle sous-tend ;
unangle au centre est un angle formé par deux rayons du cercle ;
lacirconférence est le périmètre du cercle et est égale à2πr, oùr est le rayon du cercle.
Cette équation est en fait une application duthéorème de Pythagore pour letriangle rectangle formé par le point du cercle et sa projection sur les deux rayons parallèles aux axes.
En mettanty en évidence, on obtient la double équation cartésienne du cercle (en fait une équation pour chaque demi-cercle délimité par le diamètre horizontal) :
.
Des équationsparamétriques possibles du cercle (en fonction du paramètreθ qui exprime ici unangle orienté duvecteur joignant le centre du cercle à un de ses points par rapport auvecteur horizontal unité du repère) sont données par :
soit, pour un cercle centré sur l'origine(0 ; 0) :
Un cercle est une section droite d'un cône de révolution.Représentation conventionnelle d'un cercle endessin industriel.
Le cercle est uneellipse dont les foyers sont confondus au centre du cercle ; la longueur du grand axe est égale à la longueur dupetit axe. C'est uneconique dont l'excentricitée vaut 0. Elle peut être obtenue par l'intersection d'un plan avec uncône de révolution lorsque le plan est perpendiculaire à l'axe de révolution du cône (on parle parfois de « section droite » du cône).
Endessin industriel, un cercle est le plus souvent représenté avec son axe horizontal et son axe vertical (en traits d'axe : trait fin composé de tirets longs et courts), ou bien simplement avec son centre matérialisé par une croix droite « + » en traits fins. Une forme de révolution, pleine ou creuse (cylindre,cône,sphère) et vue selon l'axe de révolution est représentée par un cercle.
Lalongueur d'un arc de rayonr sous-tendu par unangle au centreα, exprimé enradians, est égale àαr. Ainsi, pour un angle de2π (un tour complet), la longueur du cercle vaut2πr.
L'aire dudisque délimité par un cercle de rayonr vautπr2 ; si l'on prend une corde de longueurl donnée et que l'on s'en sert pour délimiter une surface fermée, la surface ayant la plus grande aire est délimitée par un cercle.
Selon la légende de la fondation deCarthage, le souverain avait permis aux Phéniciens de fonder une ville dont le pourtour serait délimité par une peau devache ;Didon en fit une grande lanière et choisit une forme circulaire pour avoir la plus grande surface.
Lalongueur d'une corde sous-tendue par un angleα est égale à2r sin(α/2).
On peut exprimer le rayonr d'un cercle, la cordec et la flèchef d'un quelconque de ses arcs, selon deux d'entre eux, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle formé parr –f,c/2 etr qui est l'hypoténuse :
.
Lasinuosité de deux arcs de cercle semblables opposés joints dans le même plan en continûment dérivable est indépendante du rayon du cercle.
Trouver le point de tangence.Tangente perpendiculaire au rayon.
La tangente en un point du cercle est la perpendiculaire au rayon en ce point.
Cette propriété a des applications enoptique géométrique : un rayon lumineux passant par le centre d'unmiroir sphérique repart en sens inverse selon la même direction (on a uneréflexion perpendiculaire au miroir). Si l'on met une ampoule au centre d'un miroir sphérique, la lumière est renvoyée de l'autre côté, ce qui permet par exemple, de « rabattre » la lumière vers un miroir parabolique (principe du contre-miroir).
Considérons un cercle de centreO et un pointA extérieur à ce cercle. On cherche une tangente à ce cercle passant parA ; le point de tangence est appeléT.
On utilise le fait que letriangleAOT est rectangle enT. Cetriangle rectangle est doncinscrit dans un cercle dont le centre est le milieu de[AO], ou encore, ce qui est équivalent, que l'hypoténuse a une longueur double de lamédiane issue de l'angle droit.
On détermine donc le milieuI de[AO], puis on trace un arc de cercle de centreI et de rayonIO. Cet arc de cercle coupe le cercle aux points de tangence.
Lamédiatrice d'une corde passe par le centre du cercle.Ceci permet de trouver le centre d'un cercle : il suffit de tracer deux cordes non parallèles et de rechercher l'intersection de leurs médiatrices.
On peut aussi montrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et que le point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets, appelécercle circonscrit au triangle.
Prenons sur un cercle trois pointsA,B etC, dont deux —A etC — sont diamétralement opposés (c'est-à-dire que [AC] est un diamètre). Alors, le triangleABC est rectangle enB.
Ceci découle du fait que la médiane issue de l'angle droit vaut la moitié de l'hypoténuse (on a un rayon et un diamètre) ; ceci est une propriété du triangle appelée le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle, ou théorème de Thalès (enAllemagne et certains pays anglophones).
Réciproquement, soitA etC deux points diamétralement opposés d'un cercle. SoitB un point du plan tel queABC soit rectangle enB. AlorsB appartient au cercle[6].
Prenons deux points distinctsA etB du cercle.O est le centre du cercle etC est un autre point du cercle. Alors, on a
Pour l'angle au centre, il faut considérer le secteur angulaire qui intercepte l'arc opposé à l'arc contenantC.
Cette propriété est utilisée dans les appareils d'analyse spectrale par dispersion delongueur d'onde, c'est la notion decercle defocalisation oucercle de Rowland.
On appelle alorspuissance du pointM par rapport au cercleΓ le produit des mesures algébriquesMA etMB. Ce produit est indépendant de la droite choisie et vaut toujours.
Lorsque le pointM est à l'extérieur du cercle, il est possible de mener des tangentes au cercle. En appelantT le point de contact d'une de ces tangentes, d'après lethéorème de Pythagore dans le triangleOMT, la puissance deM estMT2.
L'égalité :
est suffisante pour affirmer que la droite(MT) est tangente au cercle.
Lapuissance d'un point permet de vérifier que quatre points sont cocycliques : en effet, si
A,B,C,D sont quatre points tels que(AB) et(CD) se coupent enM et
Deux cercles, de centre et de rayon, de centre et de rayon ont une intersection non vide si et seulement s'il existe un triangle de côtés de longueurs, et, autrement dit, d'après lesinégalités triangulaires, si et seulement si :.
Les deux cercles sont sécants lorsque les inégalités ci-dessus sont strictes.
Plus précisément, on a les positions relatives suivantes :
↑Dans l'encyclopédie de Diderot et d'Alembert, par exemple, le cercle est «l'espace renfermé par la circonférence» (s:L’Encyclopédie/1re édition/CERCLE) et le dictionnaire Robert édition 1993, donne, comme troisième sens au mot cercle :« par extension courante : surface plane limitée par un cercle ».
