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Caustique

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Pour les articles homonymes, voirCaustique (homonymie).

Cet article possède unparonyme, voirKostić.

Lorsqu'une onde plane est réfléchie par un miroir parabolique, tous les rayons convergent en un seul point.

Lorsqu'une onde plane est réfléchie par un miroir circulaire, tous les rayons ne convergent pas en un seul point : ils forment une caustique.

Unecaustique désigne enoptique et enmathématiques l'enveloppe des rayons lumineux subissant uneréflexion ou uneréfraction sur une surface ou une courbe.

Plus spécifiquement, on parle de caustique « au flambeau » lorsque les rayons lumineux sont issus d'un point à distance finie et de caustique « au soleil » si la source lumineuse se trouve à une distance infinie.

Une caustique par réflexion est aussi appelée « catacaustique », tandis qu'une caustique par réfraction est appelée « diacaustique ».

Enastronomie, des caustiques sont associées auxmirages gravitationnels^[1].

Étymologie et histoire

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Unecardioïde peut être observée dans la vie de tous les jours, par exemple à la surface du café au lait dans une tasse conique éclairée par une source éloignée. Dans une tasse cylindrique, on n'observe pas une cardioïde mais bien un arc denéphroïde.

Le physicien allemandEhrenfried Walther von Tschirnhaus consacra sa vie à l'optique géométrique et à la fabrication delentilles etmiroirs à l'usage de l'astronomie. C'est dans ce cadre qu'il étudia en1682 les caustiques par réflexion. Il choisit le terme « caustique » en référence au mot greckaustikos provenant dekaiein (brûler)^[2].

Il prouva en outre que les caustiques descourbes algébriques sont rectifiables : on peut calculer analytiquement leurlongueur, sur un intervalle donné, par lecalcul intégral.

Le concept de caustique fut également étudié parJacques Bernoulli, leMarquis de l'Hôpital etLa Hire.

Anticaustique ou caustique secondaire

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Pour construire une caustique, il peut être utile de se servir d'une courbe auxiliaire appelée anticaustique ou caustique secondaire. C'est ladéveloppante de la caustique. Autrement dit, la caustique est ladéveloppée de sa caustique secondaire, c'est-à-dire lelieu descentres de courbure de la caustique secondaire.

Dans le cas de la caustique par réflexion d'une courbe $({\mathcal {C}})$ pour une source S, la caustique secondaire est l'orthotomique de la courbe par rapport à S, c'est-à-dire le lieu des symétriques de S par rapport aux tangentes à la courbe $({\mathcal {C}})$ ^[3]^,^[4].

Démonstration

Soit M un point quelconque de $({\mathcal {C}})$ ,s uneabscisse curviligne de la courbe, $T={\frac {dM}{ds}}$ le vecteur unitaire tangent en M à $({\mathcal {C}})$ ,N le vecteur unitaire directement orthogonal àT, W le symétrique de S par rapport à la tangente en M, $({\mathcal {O}})$ la courbe décrite par W. La développée de $({\mathcal {O}})$ étant l'enveloppe des droites normales à $({\mathcal {O}})$ et la caustique étant l'enveloppe des rayons réfléchis, pour montrer que les deux courbes coïncident, il suffit de montrer que la normale à $({\mathcal {O}})$ en W coïncide avec le rayon réfléchi en M, ou encore que le rayon réfléchi est orthogonal à la tangente en W à $({\mathcal {O}})$ . Or, $(\quad |\quad )$ désignant le produit scalaire :

Le rayon réfléchi est dirigé par le vecteur $\mathbf {MW} =(\mathbf {MS} |T)T-(\mathbf {MS} |N)N$
Un vecteur tangent à ${\mathcal {O}}$ en W est ${\frac {dW}{ds}}$ . Pour calculer ce vecteur, dérivons la relation précédente par rapport à S. On rappelle que, si K est la courbure de ${\mathcal {C}}$ en M, on a ${\frac {dT}{ds}}=KN$ et ${\frac {dN}{ds}}=-KT$ . Par ailleurs, ${\frac {d\mathbf {MS} }{ds}}=-{\frac {dM}{ds}}=-T$ . On obtient :

{\frac {dW}{ds}}={\frac {dM}{ds}}+{\frac {d\mathbf {MW} }{ds}}=T+(-T|T)T+(\mathbf {MS} |KN)T+(\mathbf {MS} |T)KN+(T|N)N+(\mathbf {MS} |KT)N+(\mathbf {MS} |N)KT

=2K(\mathbf {MS} |N)T+2K(\mathbf {MS} |T)N

et les deux vecteurs $\mathbf {MW}$ et ${\frac {dW}{ds}}$ sont bien orthogonaux.

Dans le cas de la caustique par réfraction d'indice n d'une courbe $({\mathcal {C}})$ pour une source S, la caustique secondaire est l'enveloppe des cercles^[5] de centres M appartenant à la courbe $({\mathcal {C}})$ et de rayons ${\frac {SM}{n}}$ .

Exemples géométriques

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Caustiques de cercles

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La courbe réfléchissante est ici un cercle. Lorsque la source lumineuse est un point infiniment éloigné, la caustique est unenéphroïde. Lorsque la source est sur le bord du cercle, c'est unecardioïde.

Semi-néphroïde comme caustique. La source lumineuse est située infiniment loin vers le bas de la figure.
Cardioïde comme caustique. La source lumineuse est le point du cercle situé sur l'axe des abscisses, à droite.

Ci-dessous, une animation décrit l'évolution d'une caustique de cercle lorsque la source lumineuse (représentée par un point bleu) parcourt une droite passant par le centre du cercle. On observe en particulier le passage d'une néphroïde à une cardioïde. Seuls le cercle réfléchissant et la caustique sont représentés, sans les rayons incidents et réfléchis. La caustique et la source peuvent être réels, ou virtuels (i.e. situés sur les prolongements des rayons au-delà du cercle réfléchissant)^[6].

Caustique de cycloïde

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La surface réfléchissante est unecycloïde, la source lumineuse étant infiniment loin dans l'axe de la cycloïde. La caustique est constituée de deux cycloïdes deux fois plus petites que la cycloïde initiale.

Caustique d'une cycloïde réfléchissante.

Caustiques de parabole

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Lorsque la surface réfléchissante est uneparabole et que la source lumineuse est à l'infini, la caustique est unecubique de Tschirnhausen. Lorsque la direction de la source varie, toutes les caustiques engendrées restent semblables entre elles, par unesimilitude de centre lefoyer de la parabole. La cubique se réduit à ce foyer lorsque la direction de la source est l'axe de la parabole^[7].

Ci-dessous à gauche, on représente une telle caustique. Seuls les rayons réfléchis sont représentés. La direction des rayons incidents (non représentés) est donnée par celle de la tangente commune à la parabole et à la caustique, en noir. Les rayons réfléchis sur la gauche de la parabole proviennent d'une source à l'infini vers la droite, ceux réfléchis sur la droite de la parabole proviennent d'une source à l'infini vers la gauche. Dans la figure de droite, on montre comment varie la caustique lorsque la direction de la source tourne dans le sens trigonométrique : on représente seulement la parabole et la caustique, mais ni les rayons incidents, ni les rayons réfléchis.

Caustique de parabole, la source lumineuse étant à l'infini
Évolution de la caustique lorsque la direction de la source lumineuse varie

Caustiques de deltoïde

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Lorsque la surface réfléchissante est undeltoïde et que la source lumineuse est à l'infini, la caustique est uneastroïde.Lorsque la direction de la source varie, toutes les caustiques engendrées restentisométriques entre elles^[7]. Ci-dessous, à gauche, on a représenté le deltoïde et sa caustique. A droite, l'animation montre l'évolution de la caustique lorsque la direction de la source varie. La courbe bleue est une courbe auxiliaire, lieu des points de rebroussement de la caustique. Il s'agit d'uneépicycloïde à trois rebroussements.

Caustique de deltoïde, la source lumineuse étant à l'infini. Seuls les rayons réfléchis, réels ou virtuels, contribuant à la caustique sont représentés.
Caustique de deltoïde. Le deltoïde est en noir. La caustique est une astroïde, en rouge, la source lumineuse étant à l'infini. Les rayons incidents et réfléchis ne sont pas représentés.

Caustique et roulement sans glissement

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On a vu plus haut que lacardioïde et lanéphroïde étaient des caustiques de cercles. Or ces deux courbes sont connues pour être engendrées par le point d'un cercle roulant sans glisser sur un autre cercle. Cette situation n'est qu'un cas particulier, à rayon constant, d'un résultat plus général. Le théorème de Boyle^[7] énonce que, pour toute caustique par réflexion, il existe une courbe auxiliaire et un cercle de rayon variable roulant sans glisser sur la courbe auxiliaire tout en restant tangent à la courbe réfléchissante, et dont l'un des points décrit la caustique. On illustre cette propriété par deux exemples. À gauche, on considère une caustique de cercle, intermédiaire entre la cardioïde et la néphroïde. À droite, on considère une caustique de deltoïde. Dans les deux cas, la courbe réfléchissante est en noir, la caustique en rouge, la courbe auxiliaire en bleu.

Caustique de cercle
Caustique de deltoïde

Notes et références

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↑« Simulateur de mirages gravitationnels », surulg.ac.be.
↑Sous la direction d'Alain Rey,Dictionnaire historique de la langue française, Le Robert,1992(ISBN 2-85036-187-9)
↑Robert Ferreol et Jacques Mandonnet, « Caustique », surEncyclopédie des formes mathématiques remarquables (mathcurve),2012.
↑(en) J. W. Bruce, P. J. Giblin, C. G. Gibson, « On caustics of plane curves »,Amer. Math. Monthly,n^o 88,‎1981,p. 651-667
↑Robert Ferreol et Jacques Mandonnet, « Anticaustique », surEncyclopédie des formes mathématiques remarquables (mathcurve),2000.
↑(en)Arthur Cayley, « A memoir upon caustics »,Philos. Trans. R. Soc. London,n^o 147,‎1857,p. 295-296(lire en ligne)
↑^{ab etc}(en) Jeffrey A. Boyle, « Using rolling circles to generate caustic envelopes resulting from reflected light »,Amer. Math. Monthly,vol. 122,n^o 5,‎mai 2015,p. 452-466(lire en ligne)

Voir aussi

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Sur les autres projets Wikimedia :

Caustique, surWikimedia Commons

Liens externes

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Michèle Audin, « Des caustiques dans la vie quotidienne », surImages des mathématiques

Bibliographie

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A. Bouvier, M. George,F. Le Lionnais,Dictionnaire des mathématiques, PUF (1979)
(en) Jeffrey A. Boyle, « Using rolling circles to generate caustic envelopes resulting from reflected light »,Amer. Math. Monthly,vol. 122,n^o 5,‎mai 2015,p. 452-466(lire en ligne)
(en)Arthur Cayley, « A memoir upon caustics »,Philos. Trans. R. Soc. London,n^o 147,‎1857,p. 273-312(lire en ligne)

v ·m Objectif optique
Optique géométrique	Rayon lumineux Dioptre etréfraction Réflexion etmiroir Verre optique Nombre d'Abbe Vergence Stigmatisme Aplanétisme Axe optique Centre optique Focale Point principal Relation de conjugaison Mise au point Focalisation Image réelle
Conception optique	Système optique etInstrument d'optique Lentille optique Doublet Doublet achromatique Triplet Triplet apochromatique Formule optique Objectif à focale fixe Zoom Système afocal Oculaire
Objectif photographique	Objectif catadioptrique Objectif macro Objectif grand angle Objectif de longue focale Fisheye Distance focale équivalente en 35 mm Objectif à bascule et décentrement Hypergonar Lentille de Barlow Multiplicateur de focale Bonnette
Performances	Angle de champ Ouverture Grandissement Grossissement optique etGrossissement commercial Puissance optique Rapport de Strehl Fonction d'étalement du point Fonction de transfert de modulation Pouvoir de résolution
Défauts d'objectifs	Vignettage Distorsion Aberration Aberration chromatique Aberration géométrique Astigmatisme Courbure de champ Diffraction Caustique Coma Lentille asphérique
Monture d'objectif	Minolta AF Monture C Sony E Canon EF,EF-M,EF-S,FD,RF Nikon F Nikon Z Leica M39 Zeiss M42 Pentax K Arri PL
Modèles remarquables	Appareil photographique historique Objectif à ménisque de Wollaston Objectif de Petzval Aplanat Miroir de Mangin Anastigmat Triplet de Cooke Double Gauss Planar Unar Tessar Sonnar Biogon