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Cardioïde

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Lacardioïde est unecourbe algébrique plane,trajectoire d'un point fixé à uncercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre^[1]. Il s'agit donc d'unecourbe cycloïdale dont ladirectrice est un cercle (ouépicycloïde).

Étymologie et histoire

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Son nom vient du greckardia (cœur), en référence à sa forme, et lui fut donné parJean Castillon.

D'abord étudiée comme un cas particulier dulimaçon de Pascal, la première évocation de la cardioïde en tant qu'épicycloïde remonte à 1674 :Rømer l'étudia au cours de ses recherches sur la forme la plus adaptée aux dents desengrenages. En 1708,La Hire détermina son périmètre (8 fois le diamètre du cercle directeur).Castillon la décrit plus en détail et la baptisa dans un document qu'il publia en 1741. Néanmoins, comme il s'agit d'un cas particulier de limaçon de Pascal (courbe étudiée parÉtienne Pascal, le père deBlaise), on peut dire que son histoire commence bien avant les travaux de La Hire et Castillon.

Définitionanalytique

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4 cardioïdes orientées selon les quatre directions cardinales.

La courbe peut être définie par l'équation cartésienne suivante :

(x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})

On peut également la définir par uneéquation polaire :

\rho (\theta )=a(1+\cos \theta )

ou par une équation paramétrique :

\left\{{\begin{matrix}x(\theta )=a\cos \theta (1+\cos \theta )\\y(\theta )=a\sin \theta (1+\cos \theta )\end{matrix}}\right.

Propriétés et applications

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Géométrie

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La cardioïde est :

uneconchoïde de cercle relativement à un point situé sur le cercle, avec une raison égale au diamètre du cercle. Il s'agit donc d'un cas particulier delimaçon de Pascal ;
unepodaire de cercle par rapport à l'un de ses points ;
l'enveloppe des cercles dont le centre décrit un cercle donné (C), et qui passent par un point donné A de ce cercle (C)^[1] ;
uneinverse deparabole par rapport à son foyer^[1].
dans leplan complexe, l'image du cercle de centre 1 et de rayon 1 par la fonction $z\to z^{2}$ .

Cardioïde comme conchoïde d'un cercle.
Cardioïde comme podaire d'un cercle.
Cardioïde comme enveloppe de cercles.
Cardioïde comme inverse d'une parabole.

Le périmètre d'une cardioïde formée à partir d'un cercle de diamètre $a\,$ vaut $8a\,$ ; son aire vaut ${\frac {3}{2}}\pi a^{2}$ .

Comme pour toutecourbe cycloïdale, ladéveloppée de la cardioïde est une cardioïde homothétique.

Optique

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La cardioïde est unecaustique de cercle par réflexion avec la source lumineuse située sur le cercle^[1]. Cette propriété explique que la forme dessinée au fond d'un récipient par la réflexion des rayons lumineux provenant d'une source ponctuelle proche du bord du récipient soit une cardioïde.

Cardioïde apparaissant nettement dans une cocotte en fonte.
Cardioïde comme caustique. La source lumineuse est le point du cercle situé sur l'axe des abscisses, à droite.

Lorsque la source est infiniment éloignée et que ce sont des rayons parallèles qui se reflètent sur le cercle, on distingue une forme comparable mais il s'agit alors d'une autreépicycloïde, lanéphroïde.

La caustique par réflexion de la cardioïde, avec la source lumineuse aupoint de rebroussement de la cardioïde, est également une néphroïde.

Microphones à directivité cardioïde

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On dit d'unmicrophone qu'il est unidirectionnel ou cardioïde lorsque sa sensibilité varie en fonction de la position de la source par rapport à l'axe du micro en dessinant une courbe en forme de cœur. Cette directivité s'obtient en ajoutant une directivité en huit (bidirectionnelle) à une directivité omnidirectionnelle :

micro omnidirectionnel (capteur de pression) : ${\overline {U}}=1$ ;
micro bidirectionnel (capteur de gradient de pression : ${\overline {U}}=\cos \theta$ ;
micro cardioïde (capteur mixte) : ${\overline {U}}=1+\cos \theta$ .

Le son provenant de l'arrière est complètement éliminé, celui venant des côtés, atténué. En dirigeant le micro vers la source, on réduit l'importance du son réverbéré, qui vient de toutes les directions. En sonorisation, on évite l'oscillation (effet Larsen) en plaçant les haut-parleurs de retour à l'arrière des micros.

On construit des microphones de directivitécardioïde large,supercardioïde ethypercardioïde en changeant les proportions entre la composante omnidirectionnelle et la composante bidirectionnelle.

Divers

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Cardioïde dans l'ensemble de Mandelbrot.

On trouve une cardioïde au centre d'unefractale très connue, l'ensemble de Mandelbrot.

Notes et références

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↑^{abc etd}(en) Arseniy V. Akopyan, « Geometry of the cardioid »,Amer. Math. Monthly,vol. 122,n^o 2,‎2015,p. 144-150(DOI 10.4169/amer.math.monthly.122.02.144)

Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :
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