Enalgèbre, le terme debivecteur désigne untenseur antisymétrique d'ordre 2, c'est-à-dire une quantitéX pouvant s'écrire

${\displaystyle \mathbf{X}=X_{ab}{\omega }^a\wedge {\omega }^b}$,

où les quantitésω^a sont desformes linéaires et le signe${\displaystyle \wedge }$ désigne leproduit extérieur.

Un bivecteur peut être vu comme uneapplication linéaire agissant sur lesvecteurs et les transformant en formes linéaires. Les coefficientsX_ab peuvent être vus comme formant unematrice antisymétrique.

Les bivecteurs sont abondamment utilisés enrelativité générale, où plusieurs tenseurs peuvent être reliés à des bivecteurs. En particulier, letenseur électromagnétique est un bivecteur, et letenseur de Weyl peut être vu comme une application agissant sur les bivecteurs. Ce fait est d'ailleurs à l'origine d'une classification des différents espaces en fonction des caractéristiques que présente leur tenseur de Weyl dans ce contexte : il s'agit de laclassification de Petrov.

Un bivecteurX est dit simple s'il peut s'exprimer sous la forme du produit extérieur de deux formes linéairesu etv, c'est-à-dire si l'on a

${\displaystyle \mathbf{X}=\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}}$,

ou bien, en termes de composantes,

${\displaystyle X_{ab}=\frac{1}{2}\left(u_a{v}_b-v_a{u}_b\right).}$

Dans le cas d'une forme simple, la quantité${\displaystyle X_{ab}{X}^{ab}}$ est dite de genre temps, de genre espace ou de genre lumière selon sa valeur (respectivement positive, négative et nulle dans le cas où laconvention de signe de la métrique est (-+++) et respectivement négative, positive et nulle dans le cas de la convention inverse (+---)).

Dans un espace à quatre dimensions sur lequel est défini unemétrique riemannienne, on peut utiliser letenseur de Levi-Civita pour associer un bivecteur${\displaystyle \mathbf{X}}$ à son bivecteur dual, noté${\displaystyle \tilde{\mathbf{X}}}$^[1], selon la formule

${\displaystyle {\tilde{X}}_{ab}=\frac{1}{2}{ϵ}_{abcd}{X}^{cd}}$.

Le dual d'un bivecteur dual correspond au signe près au vecteur d'origine :

${\displaystyle \left({\tilde{X}}_{ab}\right)\stackrel{~}{}=-X_{ab}}$.

Deux bivecteursX etY satisfont à l'aide de leurs bivecteurs duaux quelques propriétés comme

${\displaystyle X_{ab}{\tilde{Y}}^{ab}={\tilde{X}}_{ab}{Y}^{ab}}$,

${\displaystyle X_{ac}{Y}_b{}^c-{\tilde{X}}_{bc}{\tilde{Y}}_a^c=\frac{1}{2}{g}_{ab}{X}_{cd}{Y}^{cd}}$

Un bivecteur complexe est dit autodual s'il satisfait à

${\displaystyle \tilde{\mathbf{X}}=-i\mathbf{X}}$.

Tout bivecteurX peut se voir associer un bivecteur autodualX^* en le combinant avec son dual, selon la formule

${\displaystyle {\mathbf{X}}^{\ast }=\mathbf{X}+i\tilde{\mathbf{X}}}$.

La signification physique d'un bivecteur autodual apparaît en remarquant que les six composantes indépendantes d'un bivecteur réel peuvent être transformées en un vecteur tridimensionnel complexe. Il suffit pour cela de choisir un vecteur de genre temps,u et de définir la quantitéX_a par

${\displaystyle X_a=X_{ab}^{\ast }{u}^b}$.

Un calcul simple permet immédiatement de reconstituer le bivecteur original, par

${\displaystyle X_{ab}^{\ast }=2u_{[a}{X}_{b]}+i{ϵ}_{abcd}{u}^c{X}^d=2{\left(u_{[a}{X}_{b]}\right)}^{\ast }}$.

Letenseur électromagnétique est un tenseur antisymétrique d'ordre 2. C'est donc un bivecteur. Le vecteurX calculé par la méthode ci-dessus donne

${\displaystyle X^j=E^j-ic{B}^j}$.

• (en) D.Kramer, HansStephani, MalcolmMac Callum et E.Herlt,Exact solutions of Einstein’s field equations, Cambridge,Cambridge University Press,1980, 428 p.(ISBN 0521230411), pages 47 à 49.

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