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Unaxiome (engrec ancienἀξίωμα /axíōma, « principe servant de base à unedémonstration, principe évident en soi » – lui-même dérivé deἀξιόω /axióō, « juger convenable, croire juste ») est uneproposition non démontrée, utilisée comme fondement d’unraisonnement ou d’unethéorie mathématique.
PourEuclide et certainsphilosophes grecs de l’Antiquité, un axiome était une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de démonstration.
Pour l'épistémologie (branche de laphilosophie des sciences), un axiome est une vérité évidente en soi sur laquelle une autre connaissance peut se reposer, autrement dit peut être construite[1]. Tous les épistémologues n'admettent pas que les axiomes, dans ce sens du terme, existent. Dans certains courants philosophiques, comme l'objectivisme, le mot « axiome » a une connotation particulière : un énoncé est axiomatique s'il est impossible de le nier sans se contredire. Par exemple : « Il existe une vérité absolue » ou « Le langage existe » sont des axiomes.
Enmathématiques, le mot « axiome » désignait une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique desÉléments d’Euclide. Il est utilisé désormais, enlogique mathématique, pour désigner une proposition posée comme vraie à l'intérieur d'unethéorie.L'ensemble des axiomes d'unethéorie est l'axiomatique outhéorie axiomatique[réf. nécessaire].Elle fonde la théorie : si les axiomes qui la fondent sont vrais, alors les propositions qui y sont démontrées le sont aussi.[pas clair] Toutsystème delogique formelle a ainsi comme point de départ des axiomes, et lapertinence[Quoi ?] d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes et de leur interprétation. L'axiome est à lalogique mathématique ce qu'est leprincipe à laphysique théorique.
Par exemple, on peut définir unearithmétique simple, comprenant un ensemble de « nombres », uneloi de composition : l'addition notée « + »,interne à cet ensemble, uneégalité qui est réflexive,symétrique et transitive, et en posant (en s'inspirant un peu dePeano) :
un nombre noté 0 existe
tout nombre X a un successeur noté succ(X)
X + 0 = X
succ(X) + Y = X + succ(Y)
Desthéorèmes peuvent être démontrés à partir de ces axiomes.
En utilisant ces axiomes, et en définissant les mots usuels 1, 2, 3, et ainsi de suite pour désigner les successeurs de 0 : succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(0))) respectivement, nous pouvons démontrer ce qui suit :
succ(X) = X + 1 (axiome 4 et 3)
et
1 + 2 = 1 + succ(1)
Développement de l'abréviation (2 = succ(1))
1 + 2 = succ(1) + 1
Axiome 4
1 + 2 = 2 + 1
Développement de l'abréviation (2 = succ(1))
1 + 2 = 2 + succ(0)
Développement de l'abréviation (1 = succ(0))
1 + 2 = 2 + 1 = succ(2) + 0 = 0 + succ(2)
Axiome 4
1 + 2 = 3 = 0 + 3
Axiome 3 et utilisation de l'abréviation (succ(2) = 3)
Une proposition qui peut être déduite[2] à partir d'un ensemble d’axiomes est un théorème de la théorie axiomatique associée à cet ensemble d'axiomes. Un ensemble d'axiomes est unsystème axiomatique et unethéorie axiomatique consiste en un ensemble d'axiomes et des théorèmes qui en découlent.
Toute affirmation qui ne peut être déduite des axiomes et dont la négation ne peut pas non plus être déduite de ces mêmes axiomes peut être ajoutée comme axiome sans en modifier la cohérence. On dit qu'une telle affirmation estindépendante des axiomes précédents.
L'ajout d'un nouvel axiome, s'il est indépendant des axiomes antérieurs, permet de démontrer de nouveaux théorèmes.
Lecinquième postulat (par un point en dehors d'une droite, il passe une unique parallèle à cette droite) a été suspecté d'être une conséquence des quatre premiers pendant presque deux millénaires. Finalement, il s'est avéré indépendant. En effet, nous pouvons supposer qu'aucune parallèle ne passe par un point situé en dehors d'une droite, ou qu'il existe une unique parallèle, ou encore qu'il en existe une infinité. Chacun de ces choix nous donne différentes formes alternatives de géométrie, dans lesquelles les mesures des angles intérieurs d'un triangle s'additionnent pour donner une valeur inférieure, égale ou supérieure à la mesure de l'angle formé par une droite (angle plat). Ces géométries sont celleselliptique,euclidienne ethyperbolique respectivement.
Larelativité générale affirme que la masse donne à l'espace unecourbure, c'est-à-dire que l'espace physique n'est pas euclidien.
AuXXe siècle, lesthéorèmes d'incomplétude de Gödel énoncent qu'aucune liste explicite d'axiomes suffisante pour démontrer quelques théorèmes très élémentaires sur les entiers (par exemple l'arithmétique de Robinson) ne peut être à la fois complète (chaque proposition peut être démontrée ou réfutée à l'intérieur du système) et cohérente (aucune proposition ne peut être à la fois démontrée et réfutée).
