Pour les articles homonymes, voirArgument .
Cette figure montre qu'un argument n'est pas unique. Ajouter2 π {\displaystyle 2\pi } Enmathématiques , plus précisément enanalyse complexe , unargument d’unnombre complexe z est une mesure de l'angle entre lademi-droite des nombres réels positifs (l'axe desabscisses ) et celle issue de l'origine et passant par le point représenté parz (voir la figure ci-contre). La notion d'argument n'a pas de sens pourzéro . On mesure un argument enradians . Il n'y a pas de valeur unique pour un argument puisque les angles sont les mêmesmodulo 2π . Si l'on souhaite une valeur unique, on peut utiliser la notion d'argument principal , qui est l'unique valeur dans] − π , π ] {\displaystyle ]-\pi ,\pi ]}
Dans le plan complexe, siz est l'affixe du pointM , alors un argument dez correspond à une mesure de l'angle( O x → , O M → ) {\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})} Étant donné un nombre complexez non nul, un argument dez est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :
( O x → , O M → ) {\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})} oùM est l'image dez dans leplan complexe , c'est-à-dire le point d'affixez .
De manière équivalente, un argument dez = x + i y {\displaystyle z=x+iy} θ {\displaystyle \theta }
cos θ = ℜ ( z ) | z | = x x 2 + y 2 et sin θ = ℑ ( z ) | z | = y x 2 + y 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Re (z)}{|z|}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad \sin \theta ={\frac {\Im (z)}{|z|}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}} Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sabranche principale hachurée en rouge. oùℜ ( z ) = x {\displaystyle \Re (z)=x} ℑ ( z ) = y {\displaystyle \Im (z)=y} | z | {\displaystyle \left|z\right|} parties réelle etimaginaire et lemodule dez .
Souvent, on note un argument du nombre complexez de façon simplifiée par :
arg z = θ {\displaystyle \arg z=\theta } ou plus précisément :
arg z ≡ θ mod 2 π {\displaystyle \arg z\equiv \theta {\bmod {2\pi }}} Remarque : en anglais, on parle parfois de laphase [ 1] amplitude [ 2] p h ( z ) {\displaystyle \mathrm {ph} (z)}
L'argumentprincipal dez , notéArg z {\displaystyle {\text{Arg }}z} mesure principale de l'angle( O x → , O M → ) {\displaystyle ({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})} ] − π , π ] {\displaystyle ]-\pi ,\pi ]} arg z ≡ Arg z mod 2 π {\displaystyle \arg z\equiv {\text{Arg }}z{\bmod {2\pi }}}
Cette expression se déduit d'une desformules de l'arc moitié ,tan θ 2 = sin θ 1 + cos θ {\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}
Soientz ,z 1 etz 2 des complexes non nuls. On a,mod 2 π {\displaystyle {\bmod {2\pi }}}
arg ( z 1 z 2 ) ≡ arg z 1 + arg z 2 {\displaystyle \arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}} En particulier :
SiA ,B ,C etD sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectivesa ,b ,c etd , alors :
( A B → , C D → ) ≡ arg d − c b − a mod 2 π {\displaystyle ({\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {CD}})\equiv \arg {\frac {d-c}{b-a}}{\bmod {2\pi }}} 
