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Arc de méridien

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Engéodésie, la mesure d'unarc de méridien est la détermination la plus exacte possible de la distance entre deux points situés sur un mêmeméridien, soit à la mêmelongitude. Deux ou plusieurs déterminations de ce type dans des endroits différents précisent ensuite la forme de l'ellipsoïde de référence qui donne la meilleure approximation de la forme dugéoïde. Ce processus est appelé « déterminer lafigure de la Terre ». Les premières mesures de la taille d'une Terre sphérique eurent besoin d'un seularc. Les mesures les plus récentes utilisent des mesures astro-géodésiques et des méthodes de géodésie par satellite afin de déterminer l'ellipsoïde de référence.

Description mathématique

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Un arc deméridien sur un ellipsoïde a la forme exacte d'uneellipse. Par conséquent, sa longueur entre l'équateur et un point à lalatitude φ peut être calculée comme uneintégrale elliptique et approchée par une série tronquée. Le développement suivant qui fait intervenir le carré de l'excentricitée a été donné parJean-Baptiste Joseph Delambre en 1799[1]:

B≈a(1−e2){(1+34e2+4564e4+175256e6+1102516384e8)φ −12(34e2+1516e4+525512e6+22052048e8)sin⁡2φ +14(1564e4+105256e6+22054096e8)sin⁡4φ −16(35512e6+3152048e8)sin⁡6φ +18(31516384e8)sin⁡8φ}.{\displaystyle {\begin{aligned}B\approx &\;a(1-e^{2})\left\{\left(1+{\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {45}{64}}e^{4}+{\frac {175}{256}}e^{6}+{\frac {11025}{16384}}e^{8}\right)\varphi \right.\\&\ -{\frac {1}{2}}\left({\frac {3}{4}}e^{2}+{\frac {15}{16}}e^{4}+{\frac {525}{512}}e^{6}+{\frac {2205}{2048}}e^{8}\right)\sin 2\varphi \\&\ +{\frac {1}{4}}\left({\frac {15}{64}}e^{4}+{\frac {105}{256}}e^{6}+{\frac {2205}{4096}}e^{8}\right)\sin 4\varphi \\&\ -{\frac {1}{6}}\left({\frac {35}{512}}e^{6}+{\frac {315}{2048}}e^{8}\right)\sin 6\varphi \\&\ +{\frac {1}{8}}\left.\left({\frac {315}{16384}}e^{8}\right)\sin 8\varphi \right\}.\\\end{aligned}}}

Friedrich Robert Helmert a utilisé la formule suivant en 1880[2], en posantn=1−1−e21+1−e2≃e24{\displaystyle n={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}\simeq {\frac {e^{2}}{4}}} :

B≈a1+n{(1+n24+n464)φ−32(n−n38)sin⁡2φ +1516(n2−n44)sin⁡4φ−3548n3sin⁡6φ+315512n4sin⁡8φ}.{\displaystyle {\begin{aligned}B\approx &\;{\frac {a}{1+n}}\left\{\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}\right)\varphi -{\frac {3}{2}}\left(n-{\frac {n^{3}}{8}}\right)\sin 2\varphi \right.\\&\ \left.+{\frac {15}{16}}\left(n^{2}-{\frac {n^{4}}{4}}\right)\sin 4\varphi -{\frac {35}{48}}n^{3}\sin 6\varphi +{\frac {315}{512}}n^{4}\sin 8\varphi \right\}.\\\end{aligned}}}

Kazushige Kawase a donné une formule générale en 2009[3],[4] :

B=a1+n∑j=0∞(∏k=1jεk)2{φ+∑l=12j(1l−4l)sin⁡2lφ∏m=1lεj+(−1)m⌊m/2⌋(−1)m},{\displaystyle B={\frac {a}{1+n}}\sum _{j=0}^{\infty }\left(\prod _{k=1}^{j}\varepsilon _{k}\right)^{2}\left\{\varphi +\sum _{l=1}^{2j}\left({\frac {1}{l}}-4l\right)\sin 2l\varphi \prod _{m=1}^{l}\varepsilon _{j+(-1)^{m}\lfloor m/2\rfloor }^{(-1)^{m}}\right\},}

dans laquelleεi=3n/2i−n{\displaystyle \varepsilon _{i}=3n/2i-n}.

En tronquant la somme à j=2, on obtient la formule de Helmert.

Approximations

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La distance polaire peut être approchée par la formule deMuir :

mp=∫0π/2M(φ)dφ≈π2[a3/2+b3/22]2/3.{\displaystyle m_{p}=\int _{0}^{\pi /2}\!M(\varphi )\,d\varphi \;\approx {\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {a^{3/2}+b^{3/2}}{2}}\right]^{2/3}\,\!.}

Notes et références

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  1. ↑Delambre, J. B. J. (1799):Méthodes Analytiques pour la Détermination d'un Arc du Méridien; précédées d'un mémoire sur le même sujet par A. M. Legendre, De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
  2. ↑(de) Helmert, F. R. (1880):Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie, Einleitung und 1 Teil, Druck und Verlag von B. G. Teubner, Leipzig, 44–48
  3. ↑(ja) 河瀬和重 (Kawase, K.) (2009):緯度を与えて赤道からの子午線弧長を求める一般的な計算式 (A General Formula for Meridional Distance from the Equator to Given Latitude), 国土地理院時報 (Journal of the Geographical Survey Institute),119, 45–55
  4. ↑(en) Kawase, K. (2011):A General Formula for Calculating Meridian Arc Length and its Application to Coordinate Conversion in the Gauss-Krüger Projection, Bulletin of theGeospatial Information Authority of Japan,59, 1–13

Voir aussi

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Articles connexes

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