Engéométrie euclidienne plane, la notion d'arc capable est unlieu géométrique caractérisé par la question suivante^[1] :Étant donnés deux pointsA etB, quel est l'ensemble des pointsM du plan tel que l'angle${\displaystyle \widehat{AMB}}$ soit égal à une valeur constante donnéeα ?

En fait sauf dans le cas oùA,B, etM sont alignés (et dans ce cas le lieu cherché est la droite (AB)), le lieu des pointsM est situé sur un arc decercle dont [AB] est une corde. On l'appelle l'arc capable^[1],[2],[3]. On dit que le segment [AB] est vu depuis l'arc sous l'angleα ou encore que l'arc${\displaystyle \stackrel{{\displaystyle ⌢}}{AB}}$ est capable d'inscrire un angle de la mesureα.

Le théorème de l'arc capable est très lié authéorème de l'angle inscrit dont on peut considérer qu'il est la réciproque. On peut aussi l'étudier sous l'angle des propriétés des homothéties du plan euclidien^[4].

La construction des arcs capables était une technique utilisée autrefois pour déterminer la position des navires.

Dans la formulation du théorème ci-dessus${\displaystyle \left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)}$ désigne unangle orienté. On peut aussi reformuler ce résultat en considérant l'angle géométrique${\displaystyle \widehat{AMB}}$ :

Cet arc est appelé l'arc capable${\displaystyle \stackrel{{\displaystyle ⌢}}{AB}}$.

Une démonstration figure dans l'article sur le théorème de l'angle inscrit.

Pour construire un arc capable, il est bon d'avoir remarqué que lorsqueM tend versA, [MB] tend vers la corde [AB] et (MA) tend vers latangente au cercle enA, que nous noterons [AT). L'angle entre la tangente [AT) au cercle enA et la corde [AB] a donc pour mesureα. L'article sur lethéorème de l'angle inscrit propose une démonstration de cette propriété.

En utilisant un rapporteur et en reportant l'angleα enA, on peut donc construire la tangente au cercle enA. Le centreO du cercle porteur de l'arc capable est situé à l'intersection de lamédiatrice de la corde [AB] et de laperpendiculaire enA à la tangente [AT).

Le rayon R de l'arc capable se calcule aisément en considérant letriangle rectangle issu de la division en 2 dutriangle isocèle AOB. L'angle au sommet de AOB étant de 2α (cf. :théorème de l'angle inscrit), la séparation de AOB en deux triangles rectangles via la médiatrice de AB, permet de scinder en deux angles égaux l'angle AOB, ce qui permet d'écrire :

$${\displaystyle \frac{\frac{AB}{2}}{R}=\sin (\alpha )}$$

donc :

$${\displaystyle R=\frac{AB}{2}\frac{1}{\sin (\alpha )}=\frac{AB}{2}\csc (\alpha )}$$

La distance du centre O du cercle au segment AB vaut :${\displaystyle R\cos (\alpha )=\frac{AB}{2}\frac{\cos (\alpha )}{\sin (\alpha )}=\frac{AB}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\alpha )}$

Cette technique est l'une des méthodes utilisées autrefois par les marins ennavigation côtière, pour déterminer la position du navire. Lesextant, lorsqu'il est utilisé dans le plan horizontal, permet de mesurer l'angle entre deux amers. Ainsi, observant à l'horizon deuxamers, c'est-à-dire deux points de repère identifiés, comme des phares, château d'eau, etc., on peut mesurer l'angle entre ces deux points, et ensuite tracer, sur la carte, l'arc capable correspondant à ces deux amers et à l'angle mesuré[5]^,[6],[7]. En répétant l'opération avec deux autres amers, on obtient la position du navire sur la carte à l'intersection des deux arcs capables.

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