Ne pas confondre avecanneau sans diviseur de zéro, où la commutativité de la multiplication n'est pas postulée
Unanneau intègre ouanneau d'intégrité est unanneau commutatif unitaire différent de l'anneau nul et qui ne possède aucundiviseur de zéro.
Unanneau commutatif unitaire est ditintègre[1] s'il est
En pratique, travailler dans un anneau intègre permet de résoudre deséquations produit nul.
Un nombre limité de sources fournissent des définitions différentes des termes « Anneau intègre » ou « Anneau d'intégrité », soit qu'elles n'exigent pas la commutativité[2], soit qu'elles n'exigent pas la présence d'un neutre pour la multiplication[3], soit très exceptionnellement qu'elles n'exigent pas que l'anneau ait au moins deux éléments[4].
Le présent article, qui se borne au cascommutatif et unitaire n'aborde pas ces variantes ; on renvoie à l'article intitulé « Anneau sans diviseur de zéro » pour celle où la commutativité n'est pas requise.
En revanche :
Tout anneau intègre fini est un corps commutatif.
La démonstration repose sur une observation : la multiplication par un élément fixé non nul, qui est toujoursinjective dans un anneau intègre, est nécessairement aussisurjective quand l'anneau est fini, ce qui montre l'existence d'un inverse de.
SoitA un anneau intègre. Un procédé de passage au quotient sous unerelation d'équivalence permet de construire uncorps commutatifK(A) et uneinjection deA dansK(A). Cette construction fournit le plus petit corps dans lequelA se plonge, au sens de lapropriété universelle suivante :
Pour tout corpsL et tout morphisme injectif d'anneauxdeA dansL, il existe un unique morphisme de corps deK(A) dansL tel que
Cette construction n'est que la réécriture en termes un peu plus abstraits de la construction du corpsQ desnombres rationnels à partir de l'anneauZ desentiers relatifs. Appliquée à un anneau depolynômes formels, elle produit un corps defractions rationnelles.
Les anneaux intègres forment un bon cadre pour généraliser des questions de divisibilté des entiers. On dit, pour deux élémentsa,b d'un anneau commutatifA, queadiviseb (dansA) s'il existeq dansA tel queaq =b (on a des formulations équivalentes « a est diviseur deb », « b est divisible para », et « b est multiple dea »). Ce qui est particulier pour les anneaux intègres est que dans ce cas, si un élément non nula diviseb, alors l'élémentq (lequotient) est toujoursunique, et peut donc être notéq =b/a : si l'on supposeaq =b =ap, alorsa(q −p) = 0, et doncq =p cara ≠ 0. En d'autres termes, tout élément non nul deA estrégulier.
La structure donnée par la divisibilité dans un anneau intègre peut être beaucoup plus compliquée que dans, ce qui mène à distinguer un certain nombre de propriétés et relations.
Les trois définitions qui suivent isolent des propriétés arithmétiques remarquables de l'anneauZ des entiers relatifs, et sont utilisées pour délimiter trois classes d'anneaux commutatifs dans lesquels l'arithmétique ressemble de plus ou moins près à celle des entiers.
Ce sont les anneaux dans lesquels on dispose d'une décomposition qui imite ladécomposition en produit de facteurs premiers desentiers naturels non nuls.
On appelleanneau factoriel un anneau intègre dans lequel tous les éléments non nuls se décomposent de manièreunique (à l'ordre et aux facteurs inversibles près) en produit d'éléments irréductibles[5].
SiA est un anneau factoriel, l'anneau de polynômesA[X] l'est également. Par application répétée de cette construction à un corps commutatifk, évidemment factoriel, les anneaux de polynômes à plusieurs indéterminéesk[X1,...,Xn] sont en particulier factoriels[6].
Tant enthéorie algébrique des nombres qu'engéométrie algébrique, des anneaux non factoriels se manifestent même à un niveau élémentaire[5] : ainsi l'anneau d'entiers quadratiquesZ[i√5] n'est pas factoriel ; il en est de même de l'anneau quotient dek[X,Y] par l'idéal engendré parX2 –Y3.
Dans cette section, on note (x1,x2,...,xn) l'idéal engendré parx1,x2,...,xn.
Un idéalI d'un anneau commutatifA est ditprincipal lorsqu'il existe una élément deA tel queI = (a). On appelleanneau principal un anneau intègre dans lequel tout idéal est principal.
Tout anneau principal est factoriel. La réciproque n'est pas vraie : ainsi l'anneau factoriel de polynômesk[X,Y] n'est pas principal — il est en effet impossible de trouver un polynôme à deux variablesP tel que (X,Y) = (P).
Dans un anneau principal[5], comme dans tout anneau factoriel, deux élémentsa etb admettent toujours unPGCD noté icid, mais on a davantage : la principalité garantit l'existence dex ety tels qued = ax +by. Ainsi, dans cette classe d'anneaux plus restreinte, on dispose non seulement de la décomposition en facteurs premiers mais aussi duthéorème de Bézout.
Dans cette classe d'anneaux, on a une structure similaire à celle donnée par ladivision euclidienne dansZ : pour toute division par un élément non nul, il existe un quotient et un reste, où le reste est toujours plus petit dans un sens précis que le diviseur. Si ce quotient et ce reste peuvent être déterminés par un algorithme de division (comme c'est le cas souvent), on pourra effectuer l'algorithme d'Euclide dansA en utilisant cette division. Toutanneau euclidien est principal, et c'est la façon la plus simple de prouver que certains anneaux sont principaux ; c'est notamment le cas deZ, et de tout anneau depolynômes à une indéterminée à coefficients dans un corps. Néanmoins, il existe des anneaux principaux qui ne sont pas euclidiens.
Dans un anneau intègreA contenant un sous-anneauB, un élémentx∈A est ditentier surBs'il estracine d'un polynôme unitaire à coefficient dansB.
Dans un anneau intègreA contenant un sous-anneauB, lafermeture intégrale deB dansA est l'ensemble des éléments deA entiers surB. C'est un sous-anneau deA contenantB comme sous-anneau.Unanneau intégralement clos est un anneau intègre égal à sa fermeture intégrale dans soncorps des fractions.
Unanneau de Dedekind est, par définition, unanneau noethérien intégralement clos dans lequel toutidéal premier non nul estmaximal.
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