Le dernier théorème de Fermat, énoncé par Pierre de Fermat en 1637, affirme qu'il n'existe pas de solution en nombres entiers positifs à l'équation xⁿ + yⁿ = zⁿ pour tout n supérieur à 2. Ce théorème, apparemment simple, a résisté aux efforts des mathématiciens pendant plus de 350 ans avant que Wiles ne parvienne à le démontrer.
Cependant, personne n'a la moindre piste de travail pour la démontrer. Travaillant dans le plus grand secret pendant huit ans, et faisant part de ses idées et progrès àNicholas Katz, un collègue de Princeton, Wiles démontre un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (le cas des courbes elliptiquessemi-stables), suffisant pour démontrer le théorème de Fermat. Comme toute démonstration de cette ampleur, elle est un tour de force riche en nouvelles idées.
Pour expliquer (par Wiles) et vérifier (par Katz), pas à pas, cette démonstration sans éveiller les soupçons, Wiles et Katz ont l'idée d'organiser un cours de doctorat intituléCalculs sur des courbes elliptiques, ouvert aux étudiants et professeurs.Peter Sarnak avait lui aussi été mis dans le secret. Wiles annonce donc trois interventions lors d'une conférence (les 21, 22 et) sans en donner l'objet, ce qu'il ne fait que lors de la dernière en précisant que le grand théorème de Fermat est uncorollaire de ses principaux résultats.
Dans les mois qui suivent, le manuscrit de sa démonstration circule auprès d'un petit nombre de mathématiciens. Plusieurs critiques sont émises contre la démonstration que Wiles a présentée en 1993, presque toutes de l'ordre du détail et résolues rapidement, sauf une, qui met en évidence une lacune. Avec l'aide deRichard Taylor, Wiles réussit à contourner le problème soulevé, en. Son travail met ainsi fin à une recherche qui a duré plus de 300 ans.
Récipiendaire dès 1988 duprix Whitehead pour ses résultats innovants dans le domaine des courbes elliptiques, il reçoit plusieurs prix pour sa preuve du dernier théorème de Fermat, dont leprix Schock en 1995, leprix Ostrowski en 1995, leprix Fermat en 1995, leprix Wolf en 1996, leprix Cole en 1997, le prix duClay Mathematics Institute en 1999 et leprix Shaw en 2005. Ayant dépassé l'âge de quarante ans au moment de sa découverte, il n'a pas pu être honoré de lamédaille Fields, mais a reçu une récompense officielle de l'Union mathématique internationale lors de son congrès de 1998.
En, il reçoit leprix Abel[3] « pour sa démonstration stupéfiante du dernier théorème de Fermat en utilisant la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant une ère nouvelle enthéorie des nombres ».
En 2019, il reçoit lamédaille De Morgan par laLondon Mathematical Society pour ses travaux en théorie des nombres, sa résolution du Grand théorème de Fermat et ses activités liées à la promotion des mathématiques[5],[6].
