Il travaille ensuite comme graphiste et dessinateur de bijoux. Il réalise des décors de théâtre (notamment pourL'Hermine, deJean Anouilh), ainsi que des affiches de spectacles (notamment pourDamia etJean Lumière)[4].
Sa carrière de chanteur débute en 1936[3], lorsqu'il participe à un concours amateur intitulé Premières chances organisé par la radioLe Poste parisien. Il en sort vainqueur, avec la chansonChez moi[4]. Il se lie avec le pianiste et compositeurAlec Siniavine, qui l'accompagne dans ses spectacles ultérieurs[5]. Durant les six années suivantes, il passe en troisième, deuxième, puis première partie de programme dans différentsmusic-halls placé par le producteurRoger Audiffred. Il se produit auThéâtre Mogador en 1939, auConcert Pacra en 1940 et à L'Européen en 1941[1].
En 1942, durant l'Occupation, il est remarqué par l'imprésarioMarc Duthyl et sa renommée s'accroît[1]. Sa voix et son charisme lui permettent de devenir l'animateur d'une émission de variétés surRadio Paris[4].
Après laLibération, André Claveau est banni durant deux années des antennes pour ses activités durant la guerre[4]. Il anime à nouveau des émissions de variété à la radio, mais c'est en tant que chanteur qu'il atteint l'apogée de sa carrière professionnelle. Surnommé le « prince de la chanson de charme », il enchaîne les succès commerciaux et devient l'un des chanteurs français les plus célèbres de son temps[5].
Ses titres les plus connus demeurentMarjolaine (tiré de l'albumLe Bal de la victoire) etDeux petits chaussons (inspiré de la musique originale du filmLes Feux de la rampe, deCharlie Chaplin). Il est le premier à interpréterBon Anniversaire. Cette chanson, écrite parJacques Larue sur une musique deLouiguy, faisait partie de la bande originale du filmUn jour avec vous, sorti en 1951 et dirigé parJean-René Legrand. Claveau y partage l'affiche avecSimone Logeart etAndré Gabriello et prononce le célèbre« Bon anniversaire, nos vœux les plus sincères, que ces quelques fleurs vous apportent le bonheur…[1] »
Le chef d'orchestreFranck Pourcel, la présentatriceHannie Lips et André Claveau, après la remise de la médaille du Grand Prix.
Le, André Claveau fait partie des candidats de la sélection nationale française pour latroisième édition duConcours Eurovision de la chanson, présentée parMarianne Lecène. Un jury d'experts composé de 13 professionnels de la musique et de la télévision dontEddie Barclay est chargé d'élire la chanson et son interprète. Lors de cette sélection, les auteurs de chaque chanson interprètent tout d'abord eux-mêmes leur titre.
La chansonDors, mon amour, écrite parPierre Delanoë sur une musique d'Hubert Giraud et interprétée pour l'occasion par ce dernier, est choisie[3],[6]. Après la sélection de la chanson, il l'interprète à l'aide d'une partition.
Le mercredi, àHilversum, auxPays-Bas, il représente laFrance auConcours Eurovision de la chanson (nommé cette année-là Grand Prix Eurovision de la chanson européenne 1958). Il le remporte[3], offrant au pays sa première victoire[2]. Après avoir reçu la médaille du Grand Prix, il remercia tous les pays ayant voté pour lui (tous les pays à l'exception des Pays-Bas lui donnèrent des points), ainsi queFrank Pourcel, son chef d'orchestre, et les auteurs de sa chanson,Delanoë etGiraud. Il conclut en disant : « Croyez bien que mon cœur bat très fort et que je suis très heureux. » Il devient ainsi le premier artiste masculin à remporter le concours.
La vague duyéyé, au début desannées 1960, affecte sa popularité et son succès va en diminuant. André Claveau est d'ailleurs souvent pris en exemple pour dire qu'il était l'un des chanteurs-types avant 1960, avant que les plus jeunes n'envahissent le marché du disque. Globalement, son déclin marque aussi la fin d'une époque pour la chanson française.
Son alter ego féminin estLucienne Delyle, elle aussi grande vedette de la chanson desannées 1940 à 1960. À la fin des années 1960, il décide de mettre un terme à sa carrière, prend sa retraite et se retire des médias. Il n'apparaît presque plus en public.
Il tente un retour en 1978, où il interprète le la chansonMarlène, dans l'émissionLoto chanson présentée par Guy Lux.