L'algèbre linéaire est initiée dans son principe par le mathématicien perseAl-Khwârizmî qui s'est inspiré des textes de mathématiques indiens et qui a complété les travaux de l'école grecque, laquelle continuera de se développer des siècles durant[1]. Elle a été reprise parRené Descartes qui pose des problèmes degéométrie, comme la détermination de l'intersection de deuxdroites, en termes d'équation linéaire, établissant dès lors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'alors séparées : l'algèbre et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qu'est celle d'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès, et cette utilisation naturelle des aspects linéaires des équations manipulées demeurera utilisée de manièread hoc, fondée essentiellement sur les idées géométriques sous-jacentes. Après cette découverte, les progrès en algèbre linéaire vont se limiter à des études ponctuelles comme la définition et l'analyse des premières propriétés desdéterminants parJean d'Alembert.
Sous leur forme la plus simple, les applications linéaires dans lesespaces vectoriels représentent intuitivement les déplacements dans les espaces géométriques élémentaires comme ladroite, leplan ou notreespace physique. Les bases de cette théorie remplacent maintenant la représentation construite parEuclide auIIIe siècle av. J.-C. La construction moderne permet de généraliser la notion d'espace à desdimensions quelconques.
L'algèbre linéaire permet de résoudre tout un ensemble d'équations dites linéaires utilisées non seulement en mathématiques ou enmécanique, mais aussi dans de nombreuses autres branches comme lessciences naturelles ou lessciences sociales.
L'algèbre linéaire commence par l'étude devecteurs dans les espaces cartésiens de dimension 2 et 3. Un vecteur, ici, est uneclasse d'équivalence de bipoints qui unifie les segments de droite caractérisés à la fois par leur longueur (ounorme), leur direction et leur sens : deux bipoints représentent un même vecteur si le quadrilatère formé sur les quatre points est unparallélogramme. Les vecteurs peuvent alors être utilisés pour représenter certaines entités physiques comme des déplacements, additionnés entre eux ou encore multipliés par des scalaires (nombres), formant ainsi le premier exemple concret d'espace vectoriel.
L'algèbre linéaire moderne s'intéresse beaucoup aux espaces dedimension arbitraire, éventuellement infinie. La plupart des résultats obtenus en dimension 2 ou 3 peuvent être étendus aux dimensions finies supérieures, ce qui permet une interprétation géométrique de listes de nombres (une liste den nombres s'interprétant comme un vecteur d'un espace àn dimensions).
Les espaces vectoriels forment le support et le fondement de l'algèbre linéaire. Ils sont aussi présents dans de nombreux domaines distincts. S'il n'est pas possible d'indiquer ici tous lescas d'utilisation, on peut tout de même citer pour les principales structures objet de théories, des exemples significatifs. Leurs rôles dans de vastes théories ne traitant pas d'une structure particulière, comme celles desnombres algébriques ou deGalois peuvent aussi être évoqués.
Les espaces vectoriels utilisés sont d'une grande diversité. On y trouve les classiques espaces vectoriels de dimension 2 ou 3 sur lesnombres réels, cependant la dimension peut être quelconque, même infinie. Les nombres complexes sont aussi très utilisés, ainsi que lesrationnels. Il n'est pas rare qu'une partie des nombres réels ou complexes soit considéré comme un espace vectoriel rationnel. Le corps de base peut aussi contenir un nombre fini d'éléments, définissant parfois unespace vectoriel fini.
Les propriétés géométriques de la structure permettent la démonstration de nombreux théorèmes. Elles ne se limitent pas aux cas où l'espace est réel, même dans le cas de corps plus insolites comme lescorps finis ou lesextensions finies des rationnels, les propriétés géométriques s'avèrent parfois essentielles.
Laclassification des groupes finis est une vaste question, encore objet de recherche. Si le groupe contient un petit nombre d'éléments, lesthéorèmes de Sylow peuvent suffire pour en déterminer la structure. Une méthode beaucoup plus puissante est nécessaire dans le cas général.
Georg Frobenius, à la suite de travaux deRichard Dedekind, développe une nouvelle théorie[3] en1896. Elle se fonde sur l'idée que l'ensemble des « symétries » (au sens :automorphismes) d'un espace vectoriel possède une structure de groupe. Il est toujours possible dereprésenter un groupe fini par des « symétries » bien choisies sur un espace vectoriel de dimension suffisante. Un groupe est ainsi incarné par destransformations géométriques simples. Une telle incarnation prend le nom dereprésentation d'un groupe.
Les espaces vectoriels choisis sont de dimension finie, en général sur le corps des complexes[4], cependant pour disposer de bonnes propriétés arithmétiques le corps peut être celui desrationnels[5] ou encore utiliser desentiers algébriques comme pour la démonstration duthéorème de Burnside sur les groupes résolubles[6].Richard Brauer étudie un cas très abstrait, celui des représentations sur un espace vectoriel construit à l'aide d'uncorps fini[7].
Emmy Noether utilise la notion d'espace vectoriel pour étudier lesanneaux portant maintenant son nom.
Un exemple célèbre d'anneau disposant aussi d'une structure d'espace vectoriel est celui despolynômes à coefficients dans un corps. Cet espace vectoriel, de dimension infinie, est largement utilisé en algèbre linéaire, à travers par exemple lepolynôme minimal oucaractéristique. Lemorphisme canonique entre les polynômes et les applications linéaires d'un espace vectoriel est à l'origine d'une structure d'algèbre qui est un anneau, si la multiplication externe estoubliée.
Cette méthode permet d'élucider la structure de certains anneaux. Tout anneau est un espace vectoriel sur ceux de ses sous-anneaux qui sont des corps. L'espace vectoriel ressemble à la structure développée par Grassman. Cette remarque est utilisée au début duXXe siècle, en particulier parEmil Artin etEmmy Noether, pour élucider cette structure dans le cas des anneaux artiniens etnoethériens, qui sont des copies de sous-algèbres sur un espace vectoriel construit sursous-anneau qui s'avère être un corps.
La théorie de Galois permet de déterminer quels polygones réguliers sont constructibles à la règle et au compas.Le pentagone en fait partie.
La théorie de Galois contient de nombreux exemples d'espaces vectoriels. Elle consiste à étudier un corps comme un espace vectoriel sur un sous-corps. Ainsi chaque sous-corps permet de considérer la structure initiale comme un espace vectoriel particulier.
Un exemple d'application est celui des figuresconstructible à la règle et au compas. Ces points forment un corps disposant d'une structure d'espace vectoriel sur les nombres rationnels. Il est de dimension infinie et, pour chaque point, le plus petit sous-corps le contenant est de dimension finie égale à unepuissance de 2. Un tel sous-corps est appelé unetour d'extensions quadratiques. Cette propriété de ces espaces vectoriels permet de résoudre d'antiques conjectures comme laduplication du cube, latrisection de l'angle ou la construction d'unpolygone régulier.
L'exemple historique de la théorie est celui de la résolution d'uneéquation polynomiale. Lethéorème d'Abel donne unecondition nécessaire et suffisante de résolution parradicaux. Les espaces vectoriels utilisés ont pour éléments ceux du plus petit corpsL contenant tous les coefficients du polynôme ainsi que ses racines et le corps sous-jacent est un sous-corpsK du premier contenant tous les coefficients. Legroupe de Galois est composé des automorphismes du corpsL qui laissent invariant le corpsK. Ces automorphismes sont en nombre fini et sont desautomorphismes duK-espace vectorielL. L'élément clé dela démonstration montre que l'équation est résoluble seulement si ces automorphismes sontdiagonalisables.
↑Les 11 premiers chapitres deJean-PierreSerre,Représentations linéaires des groupes finis[détail des éditions] ne concernent que les espaces vectoriels complexes.
