Cet article est uneébauche concernant l’algèbre.

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Enmathématiques, unealgèbre associative sur uncorps (commutatif) est une desstructures algébriques utilisées enalgèbre générale. C'est unespace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés debilinéarité (en particulier dedistributivité) et d'associativité. Autrement dit, c'est à la fois unealgèbre associative et unealgèbre sur un corps.

Une algèbre associative${\displaystyle A}$ sur uncorps commutatif${\displaystyle \mathbb{K}}$, encore appelée${\displaystyle \mathbb{K}}$-algèbre associative, est un espace vectoriel sur${\displaystyle \mathbb{K}}$ muni d'une multiplicationbilinéaire${\displaystyle A\times A\to A}$ telle que

• (x y)z =x (y z) pour tousx,y etz dans${\displaystyle A}$,

où l'image de(x,y) est notéexy.

Si${\displaystyle A}$ contient une unité, i.e. un élément 1 tel que 1x=x=x1 pour toutx dans${\displaystyle A}$, alors${\displaystyle A}$ est appelée algèbre associative unifère ou unitaire. Une telle algèbre est unanneau et contient le corps de base${\displaystyle \mathbb{K}}$ par identification dec dans${\displaystyle \mathbb{K}}$ avecc1 dans${\displaystyle A}$.

La dimension d'une algèbre associative${\displaystyle A}$ sur un corps${\displaystyle \mathbb{K}}$ est sa dimension comme espace vectoriel sur${\displaystyle \mathbb{K}}$.

• Lesnombres complexes${\displaystyle \mathbb{C}}$ forment une algèbre associative, commutative et unitaire de dimension 2 sur le corps${\displaystyle \mathbb{R}}$ desnombres réels.
• Lespolynômes à coefficients dans${\displaystyle \mathbb{K}}$ forment une algèbre associative, commutative et unitaire de dimension infinie sur${\displaystyle \mathbb{K}}$.

• L’ensemble des endomorphismes d'un 𝕂-espace vectoriel de dimension finien, muni de la somme, de la multiplication par un scalaire et de la composition, forme une 𝕂-algèbre associative unitaire de dimension finien², non commutative sauf sin = 1.
• L’ensemble des matricesn×n à coefficients dans 𝕂, muni de la somme, de la multiplication par un scalaire et du produit matriciel, est une 𝕂-algèbre associative unitaire isomorphe à la précédente (donc de même dimension) : l’application qui à un endomorphisme associe sa matrice dans une base fixée est unisomorphisme de 𝕂-algèbres (voirmatrice d’une application linéaire).
• Plus généralement, pour tout 𝕂-espace vectorielV (de dimension finie ou non), lesendomorphismes deV forment une 𝕂-algèbre associative unitaire, non commutative sauf siV est de dimension égale à 1.
• Lesquaternions forment une algèbre associative, unitaire et non commutative de dimension 4 sur le corps desnombres réels.
• Lesalgèbres symétriques et lesalgèbres extérieures d'un espace vectoriel sont des algèbres associatives.
• Lesalgèbres enveloppantes desalgèbres de Lie sont des algèbres associatives.
• Lesalgèbres d'incidence desordres partiels localement finis sont des algèbres associatives utilisées encombinatoire.

• Lesalgèbres de Lie sont des algèbres non associatives.
• Lesoctonions${\displaystyle (\mathbb{O},+,\cdot ,\times )}$ forment une${\displaystyle \mathbb{R}}$-algèbre unifèrenon associative etnon commutative.

• Algèbre associative (sur un anneau)
• Algèbre de Clifford
• Algèbre enveloppante
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