Le développement de cette notion mathématique est lié à la rationalisation du calcul de grandeur de surfaces agricoles, par des techniques d'arpentage. Cette évaluation assortie d'une unité de mesure est aujourd'hui plutôt appeléesuperficie.
Informellement, l'aire permet d'exprimer un rapport de grandeur d'une figure relativement à une unité, par le biais de découpages et recollements, de déplacements et retournements et de passage à lalimite par approximation. La mesure d'une aire peut être unnombre réelpositif ou êtreinfinie pour certaines surfaces comme le plan dans son ensemble.
L'aire estadditive. Cela signifie que, les aires de deux surfaces disjointesA etB étant données, l'aire de leurunion est la somme de leurs aires :
S(A ∪B) =S(A) +S(B).
Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont la somme des aires est égale à l'aire de la figure initiale.
L'aire est invariante parisométrie. Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ouretournée sans que cela modifie son aire.
La propriété d'additivité est étendue, parrécurrence, à unentier natureln supérieur à deux quelconque : siA1,A2…An sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectivesS(A1),S(A2)…S(An), alors
S(A1 ∪A2 ∪… ∪An) =S(A1) +S(A2) +… +S(An)
ce qui se note plus rigoureusement :
Mais cette propriété d'additivitéfinie ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (voir plus bas). Elle est donc étendue à une famille infiniedénombrable de surfaces planes (An)n∈N∗ deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent :
Une unité de longueur (notée 1u.l.) étant préalablement choisie, on définit l'unité d'aire (notée 1u.a.) par 1u.a.=(1u.l.)2. Toutes les surfaces sont mesurées en unités d'aire. La figure de base pour le calcul d'une aire est lecarré unité, de côté 1u.l. ; il permet de calculer l'aire durectangle. À l'aide de l'aire du rectangle, il est possible de déterminer l'aire d'untriangle rectangle (vu comme un demi-rectangle) ou d'unparallélogramme, puis celle d'untriangle quelconque et, par suite, d'unpolygone quelconque.
La formule de l'aire d'undisque est plus complexe à démontrer : elle nécessite le passage par unelimite de suite. L'idée d'approcher successivement une surface complexe par une suite de surfaces plus simples (en général, des rectangles ou des polygones) est fondamentale. Une surface qui peut être « correctement » approchée par des rectangles, au point qu'on puisse en déduire son aire par un calcul de limite est ditequarrable.
Dans certains cas, l'analyse vient au secours de la géométrie, lorsque les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus. Certains calculs d'aires nécessitent le recours à desintégrales (notion d’« aire sous la courbe »), qui peuvent parfois être calculées à partir deprimitives d'unefonction.
D'autres cas sont pluspathologiques : les mathématiciens ont établi unethéorie de la mesure pour généraliser les résultats sur les aires. Pour lesfractales, les aires ne sont pas calculables — ou non satisfaisantes. La notion dedimension de Hausdorff généralise celle d'aire, pour un objet fractal plan.
Ci-dessous sont données les formules de calcul d'aire usuelles les plus courantes[3] et des démonstrations, qui illustrent les raisonnements géométriques souvent utilisés pour résoudre les problèmes d'aire[4] : « coupé-collé »[5], parfois en imaginant une infinité de découpages par des considérations sur les limites.
Un rectangle longueur 5 et de largeur 4 contient5 × 4 = 20 carrés unité. Son aire est donc égale à 20.
Aire d'un rectangle — L'aire d'un rectangle est égale auproduit de sa longueur par sa largeur.
Démonstration
Un rectangle[6] dont la longueur et la largeur sont égales à desnombres entiersm etn peut être vu comme composé dem lignes contenant chacunen carrés unité. Son aire est donc égale àm ×n.
Si les dimensions du rectangle sont desfractionsm/p etn/q, on considère qu'on a « découpé » le rectangle de dimensionsm etn enp parts égales, puis chacune de ces parts à nouveau enq parts égales. Le rectangle de dimensionsm etn contient doncp ×q fois celui de dimensionsm/p etn/q. L'aire de ce dernier rectangle est donc égale àm/p ×n/q.
Ce résultat se généralise au cas où la longueur et la largeur du rectangle sont desnombres réels, mais le raisonnement est plus abstrait : il nécessite un passage à la limite, en considérant que tout nombre réel est la limite d'unesuite de nombres rationnels[7].
Cas particulier du carré
Uncarré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales à un même nombre appelécôté du carré. Un carré de côtéc possède une aire égale àc ×c, ce qui se notec2. Réciproquement, tout nombre de la formec2 (oùc est positif) peut être considéré comme l'aire d'un carré de côtéc, ce qui explique quec2 se lit « c au carré » ou « le carré dec »[8].
La formule de calcul de l'aire d'un triangle la plus courante est[9] :
Aire d'un triangle — L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur.
Touttriangle rectangle dont lescathètes (ou petits côtés) mesurenta etb peut être considéré comme la moitié d'un rectangle de dimensionsa etb partagé en deux par une de ses diagonales. L'aire de ce triangle rectangle est donc égale à.
Plus généralement, tout triangle dehauteur d'un triangleh et de côté associéb (dans ce cas, le côté est appelébase) est la moitié d'un rectangle de dimensionsh etb, ce qui donne la formule classique de calcul d'aire d'un triangle :
D'autres méthodes permettent de calculer l'aire d'un triangle et, par suite, l'aire d'un polygone quelconque, en utilisant le fait que toutpolygone peut êtrepartagé en un nombre fini de triangles[10]. C'est notamment en partageant un polygone régulier en triangles dont un sommet est son centre qu'on obtient les formules usuelles de calcul de l'aire d'un polygone régulier.
En accolant au triangle rectangle gris un autretriangle isométrique suivant l'hypoténuse, on obtient un rectangle.
Théorème — L'aire d'undisque de rayonR est égale àπ ×R2.
On se convainc de ce résultat[11] par un partage du disque en un nombre arbitrairement grand de triangles.
En considérantn pointsA1,A2…An régulièrement espacés sur un cercle de centreO et de rayonR, on obtient unpolygone régulier àn côtés constitué den triangles isocèles de même aireOA1A2,OA2A3, etc. L'aire du polygone régulier est doncn fois celle de l'un de ces triangles. Si la hauteur de chacun de ses triangles esthn, l'aire de chaque triangle est1/2hn ×A1A2. En multipliant parn, l'aire du polygone égale donc la moitié de la hauteurhn multipliée par lepérimètre du polygone. Lorsque le nombren de points tend vers l'infini, la hauteurhn tend versR, et le périmètre du polygone vers celui du cercle, soit 2πR, ce qui donne bien le résultat annoncé.
Approximations successives d'un disque par des polygones réguliers intérieurs, pourn allant de 3 à 10.
Connaissant le rayon du cercle, une autre méthode,utilisée parArchimède[Où ?] consiste à diviser le disque ensecteurs, comme montré sur la figure à droite.
Un cercle peut être divisé en secteurs qui peuvent être réarrangés pour former approximativement unparallélogramme.
Chaque secteur a une forme à peu près triangulaire et les secteurs peuvent être réarrangés pour former un parallélogramme. La hauteur de ce parallélogramme estr, et la largeur est la moitié de la circonférence du cercle, ouπr. Ainsi, la surface totale du disque estπr2
Bien que cette méthode de division en secteurs ne soit qu'approximative, l'erreur devient de plus en plus petite à mesure que le cercle est divisé en un plus grand nombre de secteurs. Lalimite de la somme des surfaces des parallélogrammes approximatifs est exactementπr2, qui est la surface totale du disque.
Cette aire vaut alors I(1u.a.) où le nombre I désigne l'intégrale
N.B. Lorsque le repère cartésien n'est plus orthonormé, la mesure de la surface (l'aire) précédente sera égale à I(Mu.a.) où Mu.a désigne l'aire de la "maille élémentaire" du repère (c'est-à-dire l'aire duparallélogramme construit sur les deux vecteurs de base du repère): l'intégrale correspond donc à la quantité de "mailles élémentaires" contenues dans la surface mesurée.
Cette aire peut être évaluée par desméthodes numériques en approchant l'aire sous la courbe par des surfaces usuelles : rectangles outrapèzes notamment. Dans certains cas, un calcul de limite permet de déterminer la valeur exacte de l'intégrale, par un raisonnement semblable à celui utilisé ci-dessus pour le disque[13].
Un raisonnement mêlant des considérations sur les aires et ducalcul différentiel permet de prouver[14] que
oùF est uneprimitive def sur[a ;b]. Ainsi, la connaissance de primitives d'une fonction permet d'élargir l'ensemble des aires calculables par « découpage » vues précédemment.
Ainsi les raisonnements sur les aires et le calcul différentiel se nourrissent et s'enrichissent mutuellement. Les calculs d'aire ont de ce fait un retentissement sur de nombreux domaines des mathématiques, par le biais des intégrales, notamment lesprobabilités ou les statistiques par le calcul de lavaleur moyenne d'une fonction.
Si le calcul d'aires permet d'améliorer la connaissance de probabilités via les intégrales, la réciproque est également vraie. Soit une surfaceS, dont l'aire est connue, qui en contient une autre,L d'aire inconnue. Laméthode de Monte-Carlo consiste à envoyer des points au hasard dansS. On dénombre alors le nombre totalnS de points et le nombrenL qui se sont trouvés, parhasard, dansL. Il est alors probable que le rapport des aires deL etS soit proche du rapport denL surnS. La marge d'erreur sera statistiquement d'autant plus faible que le nombre de pointsnS sera grand.
Plus on découpe, plus l'aire diminue et le périmètre augmente.
Lepérimètre est, avec l'aire, l'une des deux mesures principales des figures géométriques planes. Malgré le fait qu'elles ne s'expriment pas dans la même unité, il est fréquent de confondre ces deux notions[16] ou de croire que, plus l'une est grande, plus l'autre l'est aussi. En effet l'agrandissement (ou la réduction) d'une figure géométrique fait croître (ou décroître) simultanément son aire et son périmètre. Par exemple, si un terrain est représenté sur une carte à l'échelle 1:10 000, le périmètre réel du terrain peut être calculé en multipliant le périmètre de la représentation par 10 000 et l'aire en multipliant celle de la représentation par 10 0002. Il n'existe cependant aucun lien direct entre l'aire et le périmètre d'une figure quelconque. Par exemple, un rectangle possédant une aire égale à unmètre carré peut avoir comme dimensions, en mètres : 0,5 et 2 (donc un périmètre égal à 5 m) mais aussi 0,001 et 1000 (donc un périmètre de plus de 2 000 m).Proclus (Ve siècle) rapporte que des paysans grecs se sont partagé « équitablement » des champs suivant leurs périmètres, mais avec des aires différentes[17],[18]. Or, la production d'un champ est proportionnelle à l'aire, non au périmètre : certains paysans naïfs ont pu obtenir des champs avec de longs périmètres, mais une aire (et donc une récolte) médiocre.
L'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est ledisque[19]. Ceci explique pourquoi, notamment, les yeux à la surface d'un bouillon ont une forme circulaire.
Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche lequadrilatère ou letriangle d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont lecarré et letriangle équilatéral. De manière générale, lepolygone àn sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est celui qui se rapproche le plus ducercle, c'est lepolygone régulier.
L'isopérimétrie ne se limite pas à ces questions. On recherche aussi une zone d'aire la plus vaste possible pour un périmètre donné, avec des géométries différentes. Par exemple, dans le cas d'undemi-plan, la réponse est le demi-disque.
Ce concept donne naissance à une famille de théorèmes, ditisopérimétriques, à des majorations ditesinégalités isopérimétriques, ainsi qu'à un rapport, appeléquotient isopérimétrique. L'inégalité isopérimétrique indique qu'une surface de périmètrep et d'airea vérifie la majoration suivante :
Le terme de gauche, est appelé quotient isopérimétrique, il est égal à 1 si, et seulement si la surface est un disque.
Si l'origine de cette question date d'au moins 2 900 ans[20], ce n'est qu'en1895, à l'aide de méthodes dérivées duthéorème de Minkowski que la question est définitivement résolue sous sa forme antique[21]. Ces méthodes permettent de démontrer lethéorème isopérimétrique et de le généraliser à desdimensions supérieures dans le cas d'unegéométrie euclidienne.
Le problème d'isopérimétrie dans l'espace à trois dimensions consiste à chercher, le plus grand volume contenu dans une surface d'aire donnée. La réponse est lasphère, ce qui entraîne notamment la forme desbulles de savon.
Voir l'articleisopérimétrie pour les aspects élémentaires de cette question. Des éléments de réponse, faisant usage d'outils mathématiques plus sophistiqués, sont proposés dans l'articleThéorème isopérimétrique.
Surface minimale créée par un film de savon appuyé sur deux fils circulaires.
Unesurface minimale est une surface de l'espace à trois dimensions qui, sous certaines contraintes, minimise l'aire auvoisinage de chacun de ses points. Cela signifie qu'une petite variation de cette surface rend l'aire plus grande[22]. Pour un ensemble donné de contraintes, il peut exister plusieurs surfaces minimales. Les surfaces minimales sont spontanément prises par un film de savon qui s'appuie sur un cadre[23] car de telles surfaces minimisent également les forces exercées sur le film. La recherche de telles surfaces est appelée en mathématiquesproblème de Plateau, elle nécessite des raisonnements decalcul différentiel[22].
A contrario, le problème d'obtenir, pour un volume donné, la figure avec la plus grande superficie possible se pose. Une solution mathématiquement simple existe : unesurface sans épaisseur possède un volume nul. De telles formes se trouvent dans la nature : unefeuille de plante verte est généralement très peu épaisse mais large, afin d'exposer la plus grande surface possible au soleil, pour favoriser laphotosynthèse[24]. Mais une grande surface dulimbe foliaire de la feuille favorise également latranspiration, les plantes devant lutter contre des périodes de sécheresse (pins,cactus…) ont ainsi souvent des feuilles plus épaisses afin de diminuer leur superficie et donc lutter contre le dessèchement[25].
Premières étapes de la construction d'une éponge de Menger.
Une autre stratégie possible consiste à prendre une solide et à le percer d'un grand nombre de trous. Par exemple, l'éponge de Menger est construite à partir d'uncube qu'on partage trois tranches égales suivant chacune des trois dimensions. Cela donne vingt-sept cubes égaux, puis on enlève les cubes centraux. On obtient alors un nouveau solide, de volume inférieur et d'aire supérieure au précédent, constitué de vingt cubes. Puis on reprend le même procédé pour chacun de ces vingt cubes, puis à nouveau pour les cubes ainsi obtenus, etc. En répétant le procédé indéfiniment, on obtient unobjet fractal qui possède une aire infinie et un volume égal à zéro, tout en ayant des dimensions (longueur, largeur, profondeur) égales à celles du cube de départ[26]. Des formes très découpées comme l'éponge de Menger se trouvent dans la nature, lorsqu'il s'agit de favoriser les échanges entre deux milieux : par exemple lespoumons de mammifères (afin de maximiser les échanges gazeux dans un volume réduit)[26], lesbranchies,intestins…
Lasurface spécifique d'un matériau est sa superficie par unité de masse[27] : plus la surface spécifique est grande, plus l'objet peut échanger avec son environnement, plus il est poreux. La surface spécifique est notamment une caractéristique physique importante d'unsol, qui détermine sa capacité à retenir des éléments nutritifs et à les échanger avec des plantes[27],[28].
SelonHérodote, lagéométrie dans l'Égypte antique prend son origine dans la nécessité de répartir équitablement les surfaces des champs cultivés après les crues duNil[29]. Les Égyptiens connaissaient les formules usuelles de calcul des aires des polygones et la majorité des problèmes de géométrie conservés de cette époque concernent des problèmes d'aires[30].
À Babylone, l'aireA était calculée à partir du périmètreP d'un cercle suivant une procédure équivalente à la formule[29] :
Même lorsqu'ils connaissaient le diamètre d'un cercle, les scribes passaient toujours par le calcul de son périmètre (en multipliant le diamètre par 3) pour ensuite obtenir son aire. La procédure était la suivante[31], comme dans cet exemple, extrait de la résolution d'un problème où il est demandé de déterminer le volume d'une bûche cylindrique dont le diamètre était1 +2/3 :
Méthode babylonienne — Triple1 +2/3, le dessus de la bûche, et 5, la circonférence de la bûche, viendra. Prends le carré de 5 et 25 viendra. Multiplie 25 par1/12, la constante, et2 +1/12, l'aire, viendra.
L'aire du disque rouge est proche de celle de l'octogone construit sur le tiers du carré.
En Égypte[29],[30], le calcul s'effectuait à partir du diamètreD :
Le raisonnement consistait probablement à inscrire un octogone et un cercle dans uncarré[29],[30]. La figure ci-contre illustre ce raisonnement : si le carré a pour côté le diamètreD du disque, l'octogone construit sur le tiers du côté du carré possède une aire de
.
L'aire du disque est considérée comme légèrement supérieure à celle de l'octogone, soit
Cette mesure est parfois désignée par le terme « surface » lui-même, qui partage la même étymologie[34].
Les grandes superficies sont parfois exprimées en un nombre équivalent deterrains de football, un terrain correspondant approximativement à 0,7ha.
Les calculs de superficie liés à la notion de rendementagricole et à l'imposition fiscale ont motivé la notion d'aire engéométrie. La modélisation d'un terrain par unesurface géométrique simple permet une évaluation efficace de sa superficie.
La superficie des entités administratives (par exemple en France, celle d'unecommune, d'undépartement…) peut prendre plusieurs valeurs différentes selon qu'elle est mesurée en se limitant aux terres émergées ou en prenant en compte les surfaces en eau.
Pour le calcul de ladensité de population, on utilise la superficie terrestre qui correspond à l'aire de l'ensemble des terres en excluant les eaux intérieures comme les lacs ou fleuves[35].
↑L'usage de ce terme d'informatique pour une pratique datant au moins de l'époque paléo-babylonienne peut sembler étrange, mais il est attesté dansChristine Proust, « Hoyrup, 2002 »,Éducmath,(lire en ligne).
↑D'autres définitions plus générales existent. Celle-ci est notamment celle donnée par leProgramme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié auJO du 4-8-2001,p. 67).
↑Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié auJO du 4-8-2001,p. 67).
↑Dominique Barataud, « Aire et périmètre »,dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositifs relais, sureduscol.education.fr(consulté le).
A. Amiot,Éléments de géométrie : rédigés d'après le nouveau programme de l'enseignement scientifique des lycées ; suivis d'un Complément à l'usage des élèves de mathématiques spéciales, Paris, C. Delagrave etCie,, 428 p.(lire en ligne)
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