Une addition, représentée à l'aide de chiffres et de symboles mathématiques.
L'addition[1] est l'une des quatreopérations de l'arithmétique élémentaire avec lasoustraction, lamultiplication et ladivision. L'addition permet notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction degrandeurs extensives de même nature, comme leslongueurs, lesaires, ou lesvolumes. L'addition de deux grandeurs ne peut s'effectuer que si ces grandeurs sont exprimées avec la mêmeunité de mesure[2]. Le résultat d'une addition est appelé unesomme, et les nombres que l'on additionne, lestermes.
Utilisée dès l'apparition des premiers calculs humains, l'addition est formalisée parEuclide dans leLivre VII de son traité intitulé "Éléments"[3], ouvrage considéré comme ayant fondé l'arithmétique occidentale[4]. Euclide, raisonnant sur les nombres entiers, utilise l'addition notamment pour définir la multiplication (définition 16 du Livre VII)[5] : "Un nombre est dit multiplier un nombre, lorsque le multiplié est ajouté autant de fois qu'il y a d'unités dans celui qui le multiplie, et qu'un nombre est produit".
L'addition peut donc être considérée comme à l'origine des trois autres opérations de l'arithmétique élémentaire, la soustraction (opération inverse de l'addition), la multiplication et la division (opération inverse de la multiplication). Ce lien entre l'addition et les trois autres opérations arithmétiques élémentaires se retrouve souvent de façon explicite dans les ouvrages d'enseignement de l'arithmétique de la fin duXIXe siècle[6].
C'est aussi à la fin duXIXe siècle que le mathématicien italienGiuseppe Peano énonce unethéorie axiomatique de l'arithmétique qui définit de façon formelle l'ensemble des nombres entiers à partir d'une fonction de "successeur". Celle-ci permet de générer les entiers et de définir l'opération d'addition dont l'ensemble des entiers est doté. Les opérations de soustraction, de multiplication et de division sont ensuite définies de façon semblable à celle dérivée des travaux d'Euclide.
L'addition se conçoit d'abord comme le dénombrement d'une réunion de collections d'objets, à trois conditions :
D'une part, ces objets ne doivent pas perdre leur individualité quand on les réunit, comme le feraient des liquides[7] ou des boules de pâte à modeler[pas clair].
D'autre part, les éléments « en double » apparaissant dans plusieurs collections à la fois doivent être considérés comme distincts et dénombrés individuellement.
Enfin, ces objets doivent être de même nature, c'est-à-dire répondre à une dénomination commune. Ainsi, pour additionner des pommes et des poires, il est nécessaire de les considérer globalement comme des fruits, afin d'exprimer le résultat ennombre de fruits[8].
Le résultat de l'addition est la quantité totale d'objets, qui peut se dénombrer soit par uncomptage, soit par uncalcul mathématique sur lesnombres décrivant les quantités de départ.
De même, pour que l'addition puisse décrire la réunion d'objetsfractionnaires, comme des portions de cercle ou des figures géométriques tracées sur un quadrillage, il faut que tous les objets soient évalués à partir d'une sous-division commune, une brique élémentaire. Mathématiquement, cette condition s'interprète comme la recherche d'undénominateur commun à plusieurs fractions.
Certaines grandeurs physiques, mais aussigéométriques ou économiques[9], peuvent également s'additionner par la réunion des objets sur lesquels elles sont mesurées. Mais ces grandeurs doivent alors être évaluées relativement à uneunité de mesure commune.
L'addition peut mettre en jeu desnombres négatifs en apparaissant comme le bilan des variations ou des déplacements successifs le long d'un axe orienté. Chaque terme est alors muni d'unsigne indiquant son sens : positif pour un gain, une augmentation ou un déplacement dans le sens de l'axe ; négatif pour une perte, une diminution ou un déplacement dans le sens contraire à celui de l'axe. Le résultat de l'opération est alors appelé une « somme algébrique ».
Les variations peuvent là encore concerner des quantités entières ou fractionnaires, ou n'importe quelle grandeur mesurée.
Par exemple, l'addition de et traduit une perte de cinq unités et le gain de deux unités. Le résultat de l'addition,, correspond à la variation globale du nombre d'unités : trois unités ont été perdues.
Cette conception peut être étendue pour définir l'addition des vecteurs par juxtaposition de déplacements ou translations, en n'imposant plus qu'ils se fassent le long d'un même axe.
La formalisation mathématique des nombres entiers naturels privilégie cependant une définition ordinale de l'addition, parrécurrence.Ainsi, partant de la seule opération « ajouterun », l'addition des nombres et se conçoit sous la forme « auquel on ajouteun par deux fois ».Dans ce contexte, les propriétés de commutativité et d'associativité ne sont alors plus du tout évidentes et doivent être démontrées.
À partir de l'addition des entiers naturels, sont construites successivement les additions desentiers relatifs, des rationnels, des réels et des complexes. (Cet ordre ne reflète pas l'ordre chronologique selon lequel sont apparus cesensembles de nombres.)
L'addition de deux termes et se note habituellement et se lit « plus », parfois « et » ou « ajouté à ». Le signe« + » remplace depuis la fin duXVe siècle le symbolep pour « plus »[10].
Cette notation infixe peut être remplacée dans certains contextes par unenotation fonctionnelle ou par unenotation postfixée. Dans ladécomposition arborescente d'une expression algébrique, l'addition est représentée par un nœud trivalent avec deux entrées et une sortie.
Le nombre 1527 en notation égyptienne
La plupart des systèmes de notation de nombres utilisent l'addition pour les constituer :
dans un système denotation additive tel que lesystème unaire ou lanumération égyptienne, le signe « + » n'a pas besoin d'être indiqué puisque l'écriture des nombres consiste déjà à décomposer les nombres en une somme de valeurs numériques fixées.
dans un système denotation positionnelle telle lanotation moderne, les nombres sont constitués par des chiffres dont la position est reliée à la position voisine par un multiplicateur, appelébase dusystème de numération. Ainsi , par exemple en base 10, le nombre 25 vaut 2x10+5=(10+10)+5 : les signes "+" ne sont pas indiqués.
L'évaluation du résultat d'une addition dépend dusystème de numération employé, c'est-à-dire de la manière de représenter les nombres.
Dans un système additif, il suffit de juxtaposer les écritures puis de simplifier l'expression en regroupant les symboles de même valeur pour en remplacer une partie par des symboles de valeur plus élevée lorsque c'est possible. De manière générale, les systèmes de numération non chiffrés ont pu développer une technique d'addition par la pratique de l'abaque.
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
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10
2
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
3
3
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5
6
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11
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4
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5
5
6
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6
6
7
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7
7
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9
10
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12
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8
8
9
10
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12
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16
17
9
9
10
11
12
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14
15
16
17
18
Table d'addition en écriture positionnelle décimale
Dans un système denumération positionnelle chiffrée, le calcul d'une somme d'entiers passe par l'utilisation d'unetable d'addition. Celle-ci permet de trouver la somme des chiffres sur chaque position.
L'écriture du résultat se fait de la position la plus basse à la position la plus haute (de droite à gauche en notation moderne[12]). Pour chaque position, on inscrit le chiffre des unités de la somme des chiffres et on reporte une retenue sur la position suivante si cette somme est plus grande que la base. Chaque chiffre du résultat est ensuite incrémenté de l'éventuelle retenue.
Comment poser une addition ?
Pour clarifier visuellement le procédé, on peut commencer par poser l'addition, c'est-à-dire en notation moderne, écrire l'un en dessous de l'autre les nombres à additionner en alignant verticalement les positions correspondantes.
Cette méthode se généralise pour lesnombres décimaux en alignant verticalement les virgules.
L'addition defractions d'entiers passe par une mise au même dénominateur, puis une addition des numérateurs et enfin par une éventuelle simplification de la fraction obtenue.
Quant à l'addition desfractions égyptiennes de numérateur unitaire et de dénominateurs tous distincts, elle fait appel à un processus itératif de simplification des fractions apparaissant en double.
Les sommes d'entiers, de décimaux et derationnels peuvent toujours se ramener à une forme où ne figure plus le signe « + ». En revanche, une somme de réels n'admet pas toujours une telle forme : on ne peut pas simplifier l'écriture de 1 +√2.
En choisissant un terme constant, l'addition permet de définir une fonction que l'on peut itérer pour construire dessuites arithmétiques de raison. De telles suites vérifient pour tout entier positif la relation. Elles s'écrivent alors sous la forme :
.
Ces répétitions d'addition permettent de définir lamultiplication par un nombre entier :
.
L'addition d'une suite finie de nombres définie par une formule générale (par exemple, l'addition des entiers impairs de 1 à 99) utilise des procédés spécifiques qui quittent le domaine opératoire de l'addition. L'étude des suites etséries associées fournit des méthodes plus efficaces pour le calcul de telles sommes.
L'addition donne aussi lieu à certains jeux. Lamourre, par exemple, consiste à deviner la somme de deux petits nombres, que les deux adversaires donnent simultanément avec leurs doigts.
Les nombres intervenant dans une addition représentent parfois des grandeurs géométriques : longueur d'un segment, mesure d'un angle (orienté ou non), aire d'une surface carrée. Dans chacun de ces cas, le calcul de la somme peut être illustré par une construction géométrique à larègle et aucompas. Il existe aussi dans chaque cas une construction de lasoustraction qui permet à partir de la grandeur somme et d'une des grandeurs de départ de trouver l'autre grandeur de départ.
Pour représenter la somme deslongueurs de deux segments, il suffit de prolonger à la règle l'un de ces deux segments au-delà de l'une de ses extrémités, puis de tracer un cercle centré en cette extrémité et ayant pour rayon l'autre longueur. L'intersection du cercle avec le prolongement définit la nouvelle extrémité de la longueur prolongée.
Étant donnés deuxsecteurs angulaires tracés dans le plan, il est possible de construire un secteur angulaire dont la mesure de l'angle soit la somme des mesures des angles donnés. Il suffit pour cela de tracer d'abord untriangle isocèle dont le sommet principal et ses côtés adjacents constituent l'un des secteurs angulaires, puis de construire untriangle isométrique de sommet principal à la pointe de l'autre secteur angulaire avec un côté adjacent en commun et l'autre côté à l'extérieur du secteur angulaire. Les deux côtés extérieurs délimitent alors l'angle somme.
En cas d'addition d'angles avec des mesures importantes, l'angle somme peut avoir une mesure de plus de 360°.
Cette procédure, appliquée aux angles d'un triangle, permet de vérifier que la somme des mesures de ces angles vaut bien 180°.
L'addition d'angles orientés se fait de manière analogue à celle desangles géométriques, à la différence que le premier côté du deuxième angledoit être superposé au deuxième côté du premier angle.
La construction peut alors se décrire en termes de transformations du plan. Si le premier angle orienté est déterminé par un couple de vecteurs représentés à partir de la même origine et d'extrémités respectives et, il suffit de construire l'image de par larotation de centre et d'angle le second angle orienté. Les vecteurs de même origine et d'extrémités et définissent alors l'angle orienté somme.
En appliquant cette opération aux angles de vecteurs de la forme, où est un point ducercle trigonométrique, l'addition angulaire définit une opération sur les points du cercle qui correspond à la multiplication desnombres complexes de module 1.
Étant donné deuxcarrés tracés dans le plan, il est possible de construire un carré dont l'aire est la somme des aires des carrés initiaux. En effet, si les deux carrés initiaux peuvent être tracés de façon à avoir un sommet en commun et deux côtés perpendiculaires, le triangle formé par ces deux côtés est alors un triangle rectangle. Lethéorème de Pythagore permet alors de montrer que le carré formé sur le troisième côté du triangle a pour aire la somme des aires des carrés initiaux.
L'opération ainsi définie sur les longueurs des côtés des carrés est l'addition pythagoricienne qui s'exprime (sur les couples de réels positifs) par :
.
Ce problème de construction généralise celui de laduplication du carré, où les carrés initiaux ont la même dimension.
Enthéorie des catégories, les entiers naturels forment unsquelette de la catégorie desensembles finis et l’addition et lasomme, parce que l’addition est équivalente à laréunion disjointe. Dit informellement, la somme de deux entiers est l’objet minimal qui peut contenir toutes les deux indépendamment. Dans divers domaines des mathématiques, cette somme est un concept important, par exemple lasomme directe enalgèbre linéaire.
D'autresstructures mathématiques étendent certains ensembles de nombres et sont munis d'une opération binaire qui prolonge l'addition usuelle, mais qui ne possède pas toujours toutes ses propriétés.
Si lesapplications définies sur un ensemble donné commun et à valeur numérique peuvent s'additionner simplement composante par composante comme des vecteurs, il n'en est pas de même pour lesfonctions qui ont undomaine de définition propre.
Étant donné deux fonctions et définies sur les domaines respectifs et (par exemple desintervalles réels), la fonction a pourdomaine l'intersection et pourexpression l'addition usuelle.
Cette addition est associative et commutative. Son neutre est la fonction définie partout et constamment nulle, mais l'addition d'une « fonction opposée » ne permet pas d'étendre le domaine de définition. Par exemple, la somme des fonctions et est lafonction nulledéfinie seulement sur les réels positifs.
Dans certains contextes, comme dans l'addition desfonctions méromorphes, l'effacement des singularités permet cependant d'évacuer le problème du domaine de définition de la somme.
En probabilités élémentaires, étant données deuxvariables aléatoires indépendantes ne pouvant prendre qu'un nombre fini de valeurs, l'addition se calcule en construisant un tableau avec une ligne par valeur de la première variable et une colonne par valeur de la seconde variable.
Chaque case du tableau est remplie avec d'une part lasomme des valeurs de la ligne et de la colonne correspondante, d'autre part leproduit des probabilités correspondantes.Ensuite, il suffit pour chaquevaleur apparaissant dans le tableau de faire la somme desprobabilités des cases qui la contiennent.
En probabilités continues, ladensité de probabilité d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes est donnée par leproduit de convolution des densités de probabilités initiales.
.
Cette présentation s'étend aux variables aléatoires dont la fonction de densité est unedistribution.
Cette opération est associative et commutative. Le neutre est la variable aléatoire toujours nulle, mais seuls les nombres, représentés par les variables aléatoires constantes admettent des opposés. Il n'existe pas d'opposé aux variables aléatoires non constantes : elles sont d'étendue strictement positive, or l'étendue d'une somme est la somme des étendues.
Leslimites de suites ou de fonctions à valeur réelle peuvent être prises dans la droite continuée. L'addition des nombres peut alors s'étendrepartiellement aux termes infinis. Pour tout réel :
, et
.
Cette opération garde des propriétés de commutativité et d'associativité mais n'est pas définie pour les couples et.
Selon les cas, la somme de deux suites ou fonctions admettant des limites infinies opposées peut avoir une limite finie, infinie ou pas de limite du tout.
Cette extension de l'addition est utilisée notamment enthéorie de la mesure pour satisfaire l'additivité de la mesure sur des espaces de mesure infinie.
La classe desordinaux étend l'ensemble desentiers naturels par lesnombres transfinis. L'addition s'étend ainsi en une opération sur les nombres ordinaux qui est associative mais non commutative. Par exemple, le premier ordinal infini, noté, vérifie la relation mais.
L'élément 0 reste neutre pour l'addition mais il n'y a pas d'ordinal négatif, bien que l'on puisse définir une différence entre deux ordinaux.
Cette opération s'étend auxensembles ordonnés en général, l'addition de deux ensembles ordonnés et ayant pour résultat l'union disjointe dans lequel l'ordre des éléments est préservé à l'intérieur de chaque ensemble de départ et tous les éléments de sont inférieurs à tous les éléments de.
Unnombre surréel est une généralisation du concept de nombre sous la forme d'un couple d'ensembles s'écrivant, dans lequel chaque élément de l'ensemble de gauche est plus petit que tout élément de l'ensemble de droite.
L'addition se formule alors de manière récursive par
Étant donnés quatre points,,, d'unespace affine tel que le plan ou l'espace euclidien, l'addition des deuxvecteurs et se construit en définissant un point tel que (en traçant le parallélogramme).
Le vecteur somme est donc égal à et larelation de Chasles nous permet alors d'avoir.
L'addition de vecteurs satisfait toutes les propriétés de l'addition numérique. Son neutre est levecteur nul et l'opposé d'un vecteur est un vecteur de même direction et même norme mais de sens opposé.
Lorsque les vecteurs sont définis sur une même droite munie d'un repère, l'addition des vecteurs s'identifie à celle desmesures algébriques.
Lescoordonnées des vecteurs dans unrepère cartésien permettent de traduire l'addition vectorielle en une succession d'additions de nombres. En effet, si deux vecteurs du plan ont pour coordonnées respectives et, le vecteur somme aura pour coordonnées.
Dans l'espace usuel, l'addition est représentée par l'opération sur les triplets de coordonnées
.
Le principe de l'addition terme à terme est repris pour d'autres structures mathématiques telles que l'ensemble des-uplets de nombres et lessuites :.
Lesmatrices de même taille et lesapplications à valeur numérique s'additionnent également de cette manière.
Puisque laparité d'une somme ne dépend que de la parité des opérandes, il peut être défini une addition sur les parités.
+
pair
impair
pair
pair
impair
impair
impair
pair
Cette opération se généralise pour tout entier strictement positif en uneaddition modulo sur les chiffres de 0 à, dans laquelle chaque nombre est remplacé par le reste de sadivision euclidienne par. L'addition sur les parités est alors représentée par l'addition modulo 2, où les nombres pairs sont remplacés par 0 et les nombres impairs par 1.
L'additionbooléenne est l'écriture duconnecteur logique « OU » avec les chiffres 0 pourFAUX et 1 pourVRAI. Elle est donc donnée par la table d'addition suivante :
+
1
0
1
1
1
0
1
0
L'opération est associative et commutative, l'élément 0 est neutre mais l'élément 1 n'a pas d'opposé.
Soient maintenant deux points quelconques de la courbe, et. La droite qui les joint recoupe la courbe en un troisième point (si, on prend comme droite les joignant la tangente en). Ce procédé définit bien une opération binaire sur la courbe. Elle n'a pas encore les propriétés attendues d'une addition : par exemple, il n'y a pas d'élément neutre. Pour y remédier, on fixe un point au choix sur la courbe, qu'on note, et l'on considère la droite passant par et : elle coupe encore la cubique en un troisième point. C'est ce point qu'on appelle « somme de et » (et que l'on note).
Le point choisi est l'élément neutre (le « zéro ») pour cette opération.Quant à l'« opposé » d'un point, c'est le troisième point d'intersection avec la courbe de la droite passant par et, où est le troisième point d'intersection avec la courbe de la tangente à la courbe en.
