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Coordonnées cartésiennes

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(Redirigé depuisAbscisse et ordonnée)

Page d’aide sur les redirections

« Abscisse » redirige ici. Pour l'adjectif « abscissique », voirAcide abscissique.

En coordonnées cartésiennes planaires, la position d'un pointA est donnée par les distancesx_A (abscisse à l'origine) ety_A (ordonnée à l'origine).

En coordonnées cartésiennes tridimensionnelles, la position d'un pointP est donnée par les distancesx,y etz.

Unsystème de coordonnées cartésiennes permet de déterminer la position d'unpoint dans unespace affine (droite,plan,espace de dimension 3, etc.) muni d'unrepère cartésien. Le motcartésien vient du mathématicien et philosophe françaisRené Descartes.

Les coordonnées cartésiennes ont été inventées par René Descartes etPierre de Fermat^[1]^,^[2]^,^[3].

Il existe d'autressystèmes de coordonnées permettant de repérer un point dans le plan ou dans l'espace.

Abscisse sur une droite affine

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Sur unedroite affine $D {\displaystyle D}$ , unrepère est la donnée de :

uneorigine $O {\displaystyle O}$ , c'est-à-dire un point distingué de $D {\displaystyle D}$ ;
unvecteur ${\vec {v}}$ de ladroite vectorielle directrice ${\vec {D}}$ . Ce vecteur porte deux informations :
- une orientation : un point $A {\displaystyle A}$ est à droite de $O {\displaystyle O}$ lorsque le vecteur ${\overrightarrow {OA}}$ est positivement colinéaire à ${\vec {v}}$ ;
- une unité : un point $A {\displaystyle A}$ est à la distance $r {\displaystyle r}$ de $O {\displaystyle O}$ lorsque ${\overrightarrow {OA}}=\pm r\cdot {\vec {v}}$ .

Repère cartésien sur une droite.

Dans ce cas, l'abscisse du point $M {\displaystyle M}$ est l'uniqueréel $r {\displaystyle r}$ tel que : ${\overrightarrow {OM}}=r\cdot {\vec {v}}$ .

Il y a donc unecorrespondance entre les points d'une droite affine et l'ensemble des réels.

On peut remarquer qu'il existe des systèmes de graduation non régulière mais le repère n'est plus appelé cartésien (voiréchelle logarithmique).

Coordonnées cartésiennes dans le plan

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Dans unplan affine, les coordonnées cartésiennes sont sans doute la manière la plus naturelle de définir unsystème de coordonnées. Unrepère (cartésien) du plan affine $P {\displaystyle P}$ est la donnée conjointe de :

un point d'origine $O {\displaystyle O}$ .
deux vecteurs ${\vec {i}}$ et ${\vec {j}}$ non colinéaires du plan vectoriel directeur ${\vec {P}}$ .

Lesaxes de coordonnées sont les droites affines $(Ox)=(O,{\vec {i}})$ et $(Oy)=(O,{\vec {j}})$ . Ces droites admettent des graduations respectives fournies par $O {\displaystyle O}$ et les vecteurs ${\vec {i}}$ et ${\vec {j}}$ .

représentation d'un repère dans un plan

Par un point $M {\displaystyle M}$ , on est en droit de tracer :

une droite parallèle à $(Oy)$ qui coupe $(Ox)$ en $m_{x}$ d'abscisse $x {\displaystyle x}$ , dans le repère $(O,{\vec {i}})$
une droite parallèle à $(Ox)$ qui coupe $(Oy)$ en $m_{y}$ d'abscisse $y {\displaystyle y}$ dans le repère $(O,{\vec {j}})$ .

Le couple de réels $(x,y)$ est uniquement déterminé par le point $M {\displaystyle M}$ , on l'appelle lescoordonnées de $M {\displaystyle M}$ dans le repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$ :

Le réel $x {\displaystyle x}$ est appelél'abscisse de $M {\displaystyle M}$ ;
Le réel $y {\displaystyle y}$ est appelél'ordonnée de $M {\displaystyle M}$ .

Réciproquement, à tout couple $(x,y)$ , correspond ununique point $M {\displaystyle M}$ de coordonnées d'abscisse $x {\displaystyle x}$ et d'ordonnée $y {\displaystyle y}$ . C'est le point d'intersection des deux droites suivantes :

La droite parallèle à $(Ox)$ passant par le point de $(Oy)$ d'abscisse $y {\displaystyle y}$ ;
La droite parallèle à $(Oy)$ passant par le point de $(Ox)$ d'abscisse $x {\displaystyle x}$ .

Cette construction peut être interprétée comme la mise en place d'unparallélogramme de sommets $O {\displaystyle O}$ et $M {\displaystyle M}$ .

En termes vectoriels, on obtient l'identité suivante :

{\overrightarrow {OM}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}

Ce qui permet de faire une correspondance entre le calcul sur des coordonnées et le calcul vectoriel.

Cas de la base orthonormée

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Article détaillé :Base orthonormée.

Les bases orthonormées n'ont de sens que dans lesplans affineseuclidiens. Dans un plan affine euclidien, une base $(O;{\vec {i}},{\vec {j}})$ est ditorthonormée lorsque les vecteurs ${\vec {i}}$ et ${\vec {j}}$ sont d'une part de longueur 1 (de norme 1) et d'autre part orthogonaux, c'est-à-dire que leproduit scalaire des deux vecteurs est nul.

Autrement dit, les axes de coordonnées sont deux droites affines orthogonales avec le même système de graduation.

Repère orthonormé dans le plan.

Dans ce cas, on peut calculer des distances et des orthogonalités en utilisant lethéorème de Pythagore. Voici un formulaire :

Pour un point $M {\displaystyle M}$ de coordonnées $(x,y)$ , la distance $O M {\displaystyle OM}$ s'écrit :

OM={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

Dans le dessin ci-à droite, on a placé dans un repère orthonormé les points

A {\displaystyle A}

de coordonnées

(1,1)

et

B {\displaystyle B}

de coordonnées

(4,5)

. Le calcul de la distance

A B {\displaystyle AB}

est alors :

AB={\sqrt {(4-1)^{2}+(5-1)^{2}}}=5

Les vecteurs ${\vec {u}}(x,y)$ et ${\vec {v}}(X,Y)$ sont orthogonaux si et seulement si $xX+yY=0$ .

Le calcul des distances et des angles étant souvent un objectif de la géométrie plane euclidienne, on privilégie particulièrement les repères orthonormés. À tel point que certains ouvrages réservent le terme de coordonnées cartésiennes à ce type de repère, les autres coordonnées étant appeléescoordonnées obliques.

Coordonnées cartésiennes dans l'espace

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Le principe de construction sera le même. Dans un espace affine $E {\displaystyle E}$ de dimension 3, unrepère (cartésien) est la donnée conjointe de :

un point d'origine $O {\displaystyle O}$ ,
et trois vecteursnon coplanaires ${\vec {i}}$ , ${\vec {j}}$ , et ${\vec {k}}$ .

Lesaxes de coordonnées sont les droites affines concourantes $(Ox)=(O;{\vec {i}})$ , $(Oy)=(O;{\vec {j}})$ et $(Oz)=(O;{\vec {k}})$ .

Repère cartésien "oblique" dans l'espace.

Pour un point $M {\displaystyle M}$ , on est en droit de tracer :

un plan parallèle au plan $O y z {\displaystyle Oyz}$ qui coupe $O x {\displaystyle Ox}$ en $m_{x}$ d'abscisse $x {\displaystyle x}$ ;
un plan parallèle au plan $O x z {\displaystyle Oxz}$ qui coupe $O y {\displaystyle Oy}$ en $m_{y}$ d'abscisse $y {\displaystyle y}$ ;
un plan parallèle au plan $O x y {\displaystyle Oxy}$ qui coupe $O z {\displaystyle Oz}$ en $m_{z}$ d'abscisse $z {\displaystyle z}$ .

Le triplet de réels $(x,y,z)$ est uniquement déterminé par la position du point $M {\displaystyle M}$ . Il s'appelle lescoordonnées (cartésiennes) de $M {\displaystyle M}$ dans le repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ :

le réel $x {\displaystyle x}$ s'appellel'abscisse ;
le réel $y {\displaystyle y}$ s'appellel'ordonnée ou laprofondeur ;
le réel $z {\displaystyle z}$ s'appellela cote ou lahauteur.

Réciproquement, à tout triplet de réels $(x,y,z)$ correspond ununique point $M {\displaystyle M}$ d'abscisse $x {\displaystyle x}$ , d'ordonnée $y {\displaystyle y}$ et de cote $z {\displaystyle z}$ . Ce point s'obtient comme l'intersection :

du plan parallèle au plan $O y z {\displaystyle Oyz}$ passant par le point de $O x {\displaystyle Ox}$ d'abscisse $x {\displaystyle x}$ ,
du plan parallèle au plan $O x z {\displaystyle Oxz}$ passant par le point de $O y {\displaystyle Oy}$ d'abscisse $y {\displaystyle y}$ et
du plan parallèle au plan $O x y {\displaystyle Oxy}$ passant par le point de $O z {\displaystyle Oz}$ d'abscisse $z {\displaystyle z}$ .

Ces trois plans ainsi que les trois plans de bases $O x y {\displaystyle Oxy}$ , $O x z {\displaystyle Oxz}$ et $O y z {\displaystyle Oyz}$ dessinent unparallélépipède.

Il y a correspondance biunivoque entre tout point $M {\displaystyle M}$ et tout triplet de réels appelés alors système de coordonnées de $M {\displaystyle M}$ .

De même que dans le plan, ces coordonnées se réinterprètent via l'écriture vectorielle :

{\overrightarrow {OM}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}

Repères orthonormés

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Article détaillé :Base orthonormée.

Repère orthonormé dans l'espace.

Dans un espace affine euclidien de dimension 3, un repère $(O;{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})$ est ditorthonormé lorsque les vecteurs ${\vec {i}}$ , ${\vec {j}}$ , et ${\vec {k}}$ sont unitaires et deux à deux orthogonaux. Cette deuxième condition s'écrit :

\langle \mathbf {i} \mid \mathbf {j} \rangle =0

;

\langle \mathbf {j} \mid \mathbf {k} \rangle =0

;

\langle \mathbf {k} \mid \mathbf {i} \rangle =0

Comme dans le plan, il sera nécessaire de prendre un repère orthonormé si l'on désire travailler sur des distances et des angles. La distance s'écrira alors :

OM={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}

Coordonnées cartésiennes en dimensionn

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Les observations précédentes permettent de remarquer un lien entre couple ou triplet de réels et vecteurs du plan ou de l'espace. Ce lien se généralise à toutespace vectoriel ou affine de dimension finie sur un corpsK.

Si $({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},\dots ,{\vec {e_{n}}})$ est une base d'un espace vectoriel sur un corpsK alors, pour tout vecteur ${\vec {v}}$ , il existe un uniquen-uplet $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\,$ élément deKⁿ tel que :

{\vec {v}}=x_{1}{\vec {e_{1}}}+x_{2}{\vec {e_{2}}}+\dots +x_{n}{\vec {e_{n}}}\,

.

Cen-uplet est appelé système de coordonnées cartésiennes du vecteur ${\vec {v}}$ dans la base $({\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}$ ). La correspondance entre chaque vecteur et chaquen-uplet permet de construire unisomorphisme d'espaces vectoriels entreV etKⁿ.

Pour travailler sur des systèmes de coordonnées de points, il suffit d'ajouter à la base précédente un pointO appelé origine. Les coordonnées du pointM étant celles du vecteur ${\overrightarrow {OM}}$ .

Enfin, pour travailler sur des distances, il sera nécessaire de construire unebase orthonormale (dans laquelle tous les vecteurs sont de norme 1 et chaque vecteur est orthogonal à tous les autres). La distanceOM s'exprimera alors sous la forme suivante :

OM={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}\,

Cinématique dans l'espace

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Les quantités cinématiques, position,vitesse etaccélération sont données par :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {OM}}&=x{\overrightarrow {u_{x}}}+y{\overrightarrow {u_{y}}}+z{\overrightarrow {u_{z}}}\\{\dot {\overrightarrow {OM}}}&={\dot {x}}{\overrightarrow {u_{x}}}+{\dot {y}}{\overrightarrow {u_{y}}}+{\dot {z}}{\overrightarrow {u_{z}}}\\{\ddot {\overrightarrow {OM}}}&={\ddot {x}}{\overrightarrow {u_{x}}}+{\ddot {y}}{\overrightarrow {u_{y}}}+{\ddot {z}}{\overrightarrow {u_{z}}}\\\end{aligned}}$

Coordonnées cartésiennes dans l'espace-temps

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Les coordonnées cartésiennes ont été imaginées par Descartes au XVII^e siècle et ont été largement utilisées par la suite enmécanique newtonienne pour décrire l'espace physique selontrois dimensions (souvent symbolisées par les lettresx,y,z). Larelativité restreinte a constitué une véritablerévolution scientifique, et a amené dès les années 1900 des scientifiques commeHenri Poincaré etHermann Minkowski à concevoir l'espace et letemps comme indissociablement liés, dans ce que l'on appelle l'espace-temps, théorisé par la notion d'espace de Minkowski. Aux trois dimensions d'espace s'ajoute ainsi la quatrième dimension dutemps.

Dans cette théorie, Minkowski utilise une représentation simplifiée de l'espace-temps en coordonnées cartésiennes, lediagramme de Minkowski, avec une dimension d'espace et la dimension de temps (symbolisée parct, oùc est lavitesse de la lumière ett le temps), pour rendre compte de phénomènes tels que ladilatation du temps, lacontraction des longueurs ou encore la notion desimultanéité, sans utiliser d'équation mathématique.

Introduction historique par Descartes

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L'introduction des coordonnées cartésiennes est faite dans le livre premier de la géométrie de René Descartes comme un outil afin de résoudre le problème de Pappus. Il montre en fait dans ce livre, comment résoudre un problème géométrique par uncalcul algébrique, participant à la naissance de lagéométrie analytique^[4].

« Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé x; et que BC soit nommé y ; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent ces deux aussi prolongées, s’il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles; comme vous voyez ici qu’elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T. (...) »

— René Descartes , La géométrie, livre premier^[5]^,^[6].

Notes et références

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Annexes

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Articles connexes

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Bibliographie

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[Borceux 2013](en) FrancisBorceux,Geometric trilogy,t. II : An algebraic approach to geometry [« Trilogie de géométrie »,t. II : « Une approche algébrique de la géométrie »], Cham,Springer, horscoll.,novembre 2013 (réimpr. août 20216),1^re éd.,XVII-430 p., 15,6 × 23,4 cm(ISBN 978-3-319-01732-7 et978-3-319-34752-3,EAN 9783319017327,OCLC 1129014536,BNF 44674751,DOI 10.1007/978-3-319-01733-4,S2CID 117005292,SUDOC 241124646,présentation en ligne,lire en ligne).
[Dieudonné 1985](en)JeanDieudonné (trad. du français par Judith D. Sally),History of algebraic geometry : an outline of the history and development of algebraic geometry [« Cours de géométrie algébrique traduction,t. I^er »] [« Histoire de la géométrie algébrique : un aperçu de l'histoire et du développement de la géométrie algébrique »], New York,Chapman & Hall, horscoll.,mai 1985 (réimpr. décembre 2019),1^re éd.,XII-186 p., 15,8 × 24,7 cm(ISBN 978-0-412-99371-8 et978-0-367-45170-7,EAN 9780412993718,OCLC 423998623,BNF 37411473,DOI 10.1201/9780203751800,S2CID 197441066,SUDOC 151803226,présentation en ligne,lire en ligne).
René Descartes,Le Livre Premier de La Géométrie de Descartes,1637, 18 p.(lire en ligne)

v ·m René Descartes (1596-1650)
Œuvres majeures	Discours de la méthode (1637) Méditations métaphysiques (1641) Les Principes de la philosophie (1644) Les Passions de l'âme (1649)
Autres œuvres	Abrégé de musique (1618, pub. 1650) Règles pour la direction de l'esprit (1628, pub. 1701) L'Homme (1630, pub. 1662(la), 1664 (fr)) Le Monde ou Traité de la lumière (1633, pub. 1664) La Géométrie (1637) La Dioptrique (1637) Les Météores (1637) Correspondance avec Élisabeth (1643-1649) Description du corps humain (1647)
Concepts	Doute cartésien Malin génie Cogito ergo sum Res extensa Res cogitans Animal-machine Coordonnées cartésiennes
Théories	Philosophie morale cartésienne Théories scientifiques de Descartes Théorème de Descartes Controverses du cartésianisme Argument du rêve
Tradition	Cartésianisme

v ·m Systèmes decoordonnées orthogonales
Nom de lacoordonnée	Abscisse Ordonnée Cote
Types de système	Système de coordonnées linéaires Système de coordonnées curvilignes
A deux dimensions	Coordonnées cartésiennes Coordonnées polaires Coordonnées paraboliques Coordonnées hyperboliques Coordonnées bipolaires Coordonnées elliptiques
A trois dimensions	Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques Coordonnées paraboloïdales Coordonnées ellipsoïdales Coordonnées toroïdales Coordonnées coniques

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