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Enmathématiques élémentaires,la racine carrée d'un nombre réel positifx est l'unique réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donnex, c'est-à-dire le nombre positif dont lecarré vautx. On le note√x oux1/2. Dans cette expression,x est appelé leradicande et le signe est appelé leradical[3]. Lafonction qui, à tout réel positif, associe sa racine carrée s'appelle lafonction racine carrée.
Enalgèbre etanalyse, dans unanneau ou uncorps, on appelleracine carrée de tout élément de dont le carré vaut. Par exemple, dans lecorps des complexes ℂ, on dira dei (ou de− i) qu'il est une racine carrée de. Selon la nature de l'anneau et la valeur de, on peut trouver 0, 1, 2 ou plus de 2 racines carrées de.
La recherche de la racine carrée d'un nombre, ou extraction de la racine carrée, donne lieu à de nombreuxalgorithmes. La nature de la racine carrée d'unentier naturel qui n'est pas le carré d'un entier est à l'origine de la première prise de conscience de l'existence denombres irrationnels. La recherche de racines carrées pour desnombres négatifs a conduit à l'invention desnombres complexes.
La construction géométrique suivante se réalise à larègle et aucompas et permet, étant donné unsegment OB de longueura et un segment de longueur 1, de construire un segment de longueur√a :
AO = 1, OB = a, OH =√a.
construire lesegment [AB] de longueur1 +a et contenant le point O avec AO = 1 ;
L’application est unebijection de ℝ+ sur ℝ+ dont la réciproque est notée. Cette fonction s’appelle lafonction racine carrée. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’uncarré duplan euclidien est la longueur de l'un de ses côtés.
La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifsx ety :
(sous la conditiony > 0)Photographie de la tabletteYBC 7289 avec des annotations traduisant les nombres écrits dans le système babylonien (crédits : Bill Casselman).
Elle estdérivable en tout réel strictement positifx, mais elle n’est pas dérivable enx = 0. En ce point, la courbe représentative admet une demi-tangente verticale. Safonction dérivée est donnée par :
Le calcul de la racine carré d'un nombre positif n'est pas toujours évident, notamment pour de grands nombres. Ainsi, plusieurs algorithmes ont été développés au cours de l'histoire afin d'obtenir ce nombre. Parmi les méthodes d'extraction de racine carrée, on peut citer notamment laméthode de Héron, qui est une méthode historique qui peut être vue d'un point de vue moderne comme un cas particulier de laméthode de Newton. D'autres méthodes sont basées sur dessuites adjacentes, sur desfractions continues ou sur un principe de dichotomie.
Soientx eta deux éléments d’unanneauA, tels quex2 =a. L'élémentx est alors une racine carrée dea. La notation√a est néanmoins souvent déconseillée car il peut exister plusieurs tels élémentsx.
En général (si l'anneau n'est pasintègre ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées. Par exemple dans l'anneau ℤ/9ℤ, les racines carrées de0 sont0,3 et –3, et dans lecorps gauche desquaternions, tout réel strictement négatif possède une infinité de racines carrées.
Dans le cas des nombres réels, un auteur parlant d'une racine carrée de 2, traite d'un des deux éléments√2 ou bien –√2. En revanche, l'expressionla racine carrée de deux évoque toujours la solution positive. Comme l'expression√2 est toujours positive et le termefonction racine définie sur les réels positifs désigne toujours la valeur positive, on évite cette confusion dans les enseignements un peu élémentaires des mathématiques en ne faisant usage que de l'expression :la racine carrée, alors toujours positive.
La racine carrée sur ℝ est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective deséquations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donne des résultats exacts. C’est ainsi que le corps desnombres complexes a été introduit[note 3] :
Pour tout nombre complexe non nulz = a + ib (aveca etb réels), il existe exactement deux nombres complexesw tels quew2 =z. Ils sont opposés l'un de l'autre.
Sib est non nul, ils sont donnés par :
, avec.
Sib est nul eta est négatif, cette formule se simplifie en :
Méthode de calcul des racines carréesw d'un nombre complexez =a + ib
Pour trouverw =x + iy tel quew2 =a + ib, on pose le système suivant :
Par identification de la partie réelle et imaginaire, on obtient :
On en déduit alorsx2 ety2 en ajoutant et soustrayant les première et troisième équations. Le signe du produitxy est celui deb, d'où la première expression des deux couples de solutions pourx ety.
Mais une manière moins traditionnelle de résoudre ce système est de faire dans un premier temps seulement la somme (des première et troisième équations) :
,
ce qui, siz n'est pas un réel négatif, mène à la dernière formule.
Pour des raisons de nature topologique, il est impossible[note 4] de prolonger la fonction racine carrée, de ℝ+ dans ℝ+, en une fonction continue vérifiantf(z)2 =z.
On appelledétermination de la racine carrée sur un ouvertU de ℂ toute fonction continue vérifiant.
Ladétermination principale de la racine carrée est la fonction de ℂ dans ℂ ainsi définie :siz s’écrit sous forme trigonométriquez =r eiφ avec–π <φ ≤ π, alors on posef(z) =√r eiφ/2. Cette détermination principale n’est continue en aucun point de lademi-droite des réels strictement négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.
Quand le nombre est dans sa forme algébriquez =a + ib, cette définition se traduit par :
où le signe de la partie imaginaire de la racine est
sib ≠ 0 : le signe deb
sib = 0 eta < 0 : le signe +
sib = 0 eta ≥ 0 : pas de signe (le nombre est nul).
Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation devientfausse en général.
SiA est unematrice autoadjointe positive ou unopérateur autoadjoint positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice autoadjointe positive ou un opérateur autoadjoint positifB tel queB2 =A. On pose alors :√A =B.
Plus généralement, pour toutematrice normale ou tout opérateur normal en dimension finieA, il existe des opérateurs normauxB tels queB2 =A. Cette propriété se généralise à toutopérateur borné normal sur unespace de Hilbert.
En général, il y a plusieurs tels opérateursB pour chaqueA et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie desopérateurs développent davantage ces aspects.
