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Équivalence logique

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Pour les articles homonymes, voirlogique (homonymie).

Enlogique classique, deuxpropositionsP etQ sont diteslogiquement équivalentes ou simplementéquivalentes quand il est possible de déduireQ à partir deP et de déduireP à partir deQ. Encalcul des propositions, cela revient à dire queP etQ ont mêmevaleur de vérité :P etQ sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses. L'équivalence logique s'exprime souvent sous la formesi et seulement si, dans des cadres comme l'enseignement ou lamétamathématique pour parler des propriétés de la logique elle-même, et non du connecteur logique qui lie deux propositions.

La relation d'équivalence logique entre propositions est étroitement liée au connecteur d’équivalence, souvent noté ⇔ ou ↔, qui peut être défini (de façon très générale, aussi bien en logique classique que par exemple enlogique intuitionniste) comme la conjonction de l'implicationP ⇒Q (« Q siP ») et de sa réciproqueQ ⇒P (Q seulement siP), soit (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).

L'affirmation queP ⇔Q revient à dire queP etQ sont équivalentes. Dit autrement (en logique classique), la propositionP ⇔Q prend la valeur « vraie » quandP etQ sont logiquement équivalentes, et seulement dans ce cas. En logique, la relation d'équivalence est parfois notée ≡ (la notation ⇔ ou ↔ étant réservée au connecteur).

Enélectronique, l'équivalence est appelée coïncidence, parfois appelée aussiET inclusif ; le symbole qui lui est associé est « ⊙ ». C'est la négation duou exclusif, dit aussi XOR.

L'équivalence dans la langue mathématique

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Dans les textes mathématiques, on exprime que deux propositionsP etQ sont équivalentes par :

Psi et seulement siQ (parfois abrégé enP ssiQ) ;
Pour queP,il faut et il suffit queQ ;
Unecondition nécessaire et suffisante (CNS) pourP estQ ;
P est une condition nécessaire et suffisante pourQ ;
P équivaut àQ.

Calcul propositionnel

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En logique classique, qui n'a que deux valeurs de vérité, latable de vérité du connecteur d'équivalence est :

P	Q	P ⇔ Q
Vrai	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Faux
Faux	Vrai	Faux
Faux	Faux	Vrai

La propositionP ⇔Q équivaut à :

(P ⇒Q) ∧ (Q ⇒P) ((P impliqueQ) et (Q impliqueP)) ;
(P ⇒Q) ∧ (¬P ⇒ ¬Q) ((P impliqueQ) et lacontraposée de (Q impliqueP)) ;
¬P ⇔ ¬Q (équivalence contraposée) ;
(P ∧Q) ∨ (¬Q ∧ ¬P) ((P etQ) ou (nonP et nonQ)).

Propriétés

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La relation d'équivalence logique, notée ≡ ci-dessous, est unerelation d'équivalence, soit :

P ≡P (la relation d'équivalence estréflexive) ;
SiP ≡Q, alorsQ ≡P (la relation d'équivalence estsymétrique) ;
SiP ≡Q etQ ≡R, alorsP ≡R (la relation d'équivalence esttransitive).

Cette relation d'équivalence est compatible avec les connecteurs logiques. De plus en logique classique :

¬¬P ≡ P.

Exemples

Pour tousréelsx non nul ety, on a $y=x\iff {\frac {y}{x}}=1.$
L’équivalence (x = y ⇔x² =y²) (en élevant au carré) n'est pas vraie pourtous réelsx ety : par exemple 2² = (–2)² n’implique pas 2 = –2.
Pour tousx réel positif ety réel, il y a équivalence entre les propositions suivantes : $y\geq {\sqrt {x}}\iff (y^{2}\geq x\quad \wedge \quad y\geq 0)$ En effet, en élevant au carré, on perd l’information que $y {\displaystyle y}$ est positif, donc pour conserver l’équivalence, on doit ajouter la propriété $y\geq 0$ .

Pour démontrer une équivalenceP ⇔Q, on démontre l’implicationP ⇒Q et sa réciproqueQ ⇒P.

Équivalence entre plusieurs propositions

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Soient trois propositionsP,Q etR.

Pour démontrer les 3 équivalencesP ⇔Q,Q ⇔R etP ⇔R, il suffit de démontrer 2 d'entre elles, ou encore il suffit de démontrer les 3 implications :

P ⇒Q,Q ⇒R etR ⇒P.

Démonstration :

Soient lesimplicationsP ⇒Q,Q ⇒R etR ⇒P établies.

DeQ ⇒R etR ⇒P on déduitQ ⇒P.

DeR ⇒P etP ⇒Q on déduitR ⇒Q.

DeP ⇒Q etQ ⇒R on déduitP ⇒R.

On peut généraliser àn propositionsP₁,P₂, … ,P_n : pour démontrer que ces propositions sont équivalentes il suffit de démontrer les implications

P₁ ⇒P₂,P₂ ⇒P₃…P_n-1 ⇒P_n etP_n ⇒P₁.

Exemples de formulations usuelles

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Soient deux propositions $P {\displaystyle P}$ et $Q {\displaystyle Q}$ .

On dit que $Q {\displaystyle Q}$ est une condition nécessaire à $P {\displaystyle P}$ si on a $P\Rightarrow Q$ et peut être traduit par "pour que $P {\displaystyle P}$ , il faut que $Q {\displaystyle Q}$ ".
On dit que $Q {\displaystyle Q}$ est une condition suffisante à $P {\displaystyle P}$ si on a $Q\Rightarrow P$ et peut être traduit par "pour que $P {\displaystyle P}$ , il suffit que $Q {\displaystyle Q}$ ".
On dit que $Q {\displaystyle Q}$ est une condition nécessaire et suffisante à $P {\displaystyle P}$ si on a $Q\Rightarrow P$ et si on a $P\Rightarrow Q$ et peut être traduit par "pour que $P {\displaystyle P}$ , il faut et il suffit que $Q {\displaystyle Q}$ ". Cela revient à dire que $Q {\displaystyle Q}$ est équivalent à $P {\displaystyle P}$ et se note $Q\Leftrightarrow P$ . Ainsi par commutativité de l'équivalence on peut aussi dire que $P {\displaystyle P}$ est une condition nécessaire et suffisante à $Q {\displaystyle Q}$ .

Voir aussi

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Sur les autres projets Wikimedia :

Implication et équivalence,surWikiversity

Liens externes

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Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :
- Britannica

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Règles de remplacement	Associativité Commutativité Distributivité Double négation Lois de De Morgan Transposition Implication Équivalence Exportation Tautologie Introduction de la négation

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